八年级数学上册期末强化综合试卷附解析(一).doc

八年级数学上册期末强化综合试卷附解析（一）
一、选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   　   ）
A． B． C． D．
2．根据纸张的质量不同，厚度也不尽相同，500张打印纸（）约厚0.052m，因此，一张纸的厚度大约是0.000104m，数据“0.000104”用科学记数法可表示为(    )
A． B． C． D．
3．下列运算不正确的是（       ）
A． B． C． D．
4．要使分式有意义，则x的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
5．下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（       ）
A． B．
C． D．
6．若，则下列分式化简正确的是（       ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是 （       ）

A． B．
C． D．
8．若是分式方程的根，则a的值为（       ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，ABCD，点E在AB上，∠AEC＝60°，∠EFD＝130°．则∠CEF的度数是（       ）

A．60° B．70° C．75° D．80°
10．如图，与是两个全等的等边三角形，，下列结论不正确的是（       ）

A． B．直线垂直平分
C． D．四边形是轴对称图形
二、填空题
11．当x＝_____时，分式的值为零．
12．点M(3，－1)关于x轴的对称点的坐标为_________．
13．如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，则的值为 __；以此类推，若．n为正整数，则n的值为 __．

14．已知，则＝_____．
15．如图，在中，，，以BC为边在BC的右侧作等边，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当的值最小时，的度数为__________．

16．如果x2-mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________．
17．已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为______．
18．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，若使得与全等，则的值为 __．

三、解答题
19．分解因式：
(1)
(2)
20．解分式方程：．
21．如图，是的平分线，点是线段上的一点，，．

求证：．
22．问题引入：

(1)如图1，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝ （用表示）；如图2，∠COB＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝ （用表示）；
拓展研究：
(2)如图3，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝，求∠BOC的度数（用表示），并说明理由；
(3)BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝，∠BCO＝∠ECB，∠A＝，请猜想∠BOC＝ （直接写出答案）．
23．某超市准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同．
(1)求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件多少元？
(2)若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件，两种牛奶的总数不超过95件，该商场甲种牛奶的销售价格为49元，乙种牛奶的销售价格为每件55元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价－进价）不低于371元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶有哪几种方案？
24．阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．
例如：

根据以上材料，解答下列问题：
（1）用多项式的配方法将化成的形式；
（2）利用上面阅读材料的方法，把多项式进行因式分解；
（3）求证：，取任何实数时，多项式的值总为正数．
25．操作发现：如图1，D是等边△ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF，易证AF=BD（不需要证明）；
类比猜想：①如图2，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图1相同，猜想AF与BD在图1中的结论是否仍然成立。
深入探究：②如图3，当动点D在等边△ABC边BA上的一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′你能发现AF，BF′与AB有何数量关系，并证明你发现的结论。
③如图4，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图3相同，猜想AF，BF′与AB在上题②中的结论是否仍然成立，若不成立，请给出你的结论并证明。

26．如图，已知中，，，点是的中点，如果点在线段上以的速度由点向点移动，同时点在线段上由点向点以的速度移动，若、同时出发，当有一个点移动到点时，、都停止运动，设、移动时间为．
（1）求的取值范围．
（2）当时，问与是否全等，并说明理由．
（3）时，若为等腰三角形，求的值．

【参考答案】
一、选择题
2．B
解析：B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故B正确；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．D
解析：D
【分析】绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【详解】解：．
故选：D
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
4．D
解析：D
【分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法等运算，然后选择错误选项．
【详解】解：A、x2•x3=x5，计算正确，故本选项不合题意；
B、（x2）3=x6，计算正确，故本选项不合题意；
C、（-2x）3=-8x3，计算正确，故本选项不合题意；
D、x6÷x2=x4，计算错误，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的乘除法等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
5．D
解析：D
【分析】根据分式在意义的条件：分母不为零，则可求得x的取值范围．
【详解】解：由题意得：，则得，
故选：D．
【点睛】本题考查了使分式有意义的条件，解题的关键是掌握对于分式，一定要注意分母不为零这个条件．
6．C
解析：C
【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式，据此即可一一判定．
【详解】解：A．是多项式乘以多项式，和因式分解正好相反，故不是分解因式；
B．是利用完全平方公式进行运算，故不是分解因式；
C．是利用提公因式法分解因式，故是分解因式；
D．结果中含有差的形式，故不是分解因式；
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握和运用因式分解的判定方法是解决本题的关键．
7．D
解析：D
【分析】根据分式的基本性质（分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的数，分式的值不变）求解．
【详解】解：根据分式的基本性质，分式的分子和分母都乘以或除以同一个不等于零的数，分式的值不变，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握性质的本质是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BAC＝∠DCA后则不能．
【详解】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠BAC＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；
D、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．D
解析：D
【分析】首先根据题意，把代入分式方程中，然后根据一元一次方程的解法，求出a的值即可．
【详解】解：将代入分式方程中，
可得：，
解得，
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解题的关键是熟练掌握分式方程解的意义．
10．B
解析：B
【分析】先利用平行线的性质求出∠C，再利用三角形外角性质求出∠CEF即可．
【详解】解：∵ABCD，
∴∠C=∠AEC=60°，
∵∠C+∠CEF=∠EFD＝130°，
∴∠CEF=∠EFD-∠C=130°-60°=70°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】根据与是两个全等的等边三角形，可得到，，，然后结合，先计算出的大小，便可计算出的大小，从而判定出AD与BC的位置关系及BE与DC的关系，同时也由于与是等腰三角形，也容易确定四边形ABCD的对称性．
【详解】（1）∵与是两个全等的等边三角形
∴，，
∴
∵
∴
∴，
∴，所以选项A错误；
（2）由（1）得：

∴
∴，所以选项C正确；
（3）延长BE交CD于点F，连接BD．
∵，
∴
∴
∴
即

在与中

∴
∴
∴，综上，BE垂直平分CD,所以答案B正确；
（4）过E作，由得
而和是等腰三角形，则MN垂直平分AD、BC，所以四边形ABCD是軕对称图形，所以选项Ｂ正确．
故选：Ａ

【点睛】本题考查的知识点主要是等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的判定及其轴对称图形的定义，添加辅助线构造全等三角形是本题的难点．
二、填空题
12．-3
【分析】当x+3=0，且2x-5≠0时，分式的值为零．
【详解】∵分式的值为零，
∴x+3=0，且2x-5≠0，
∴x= -3，
故答案为：-3．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，熟记分子等于零，且分母不等于零是解题的关键．
13．(3，1)
【分析】根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果．
【详解】解：∵两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴点M（3，−1）关于x轴的对称点的坐标是（3，1），
故答案为：（3，1）．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
14．          4040
【分析】先根据已知图形归纳出规律，然后代入到方程中，最后再利用所得规律化简即可．
【详解】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，
∴＝+＝2×（1﹣+﹣+-）＝．
∵
∴+…+＝，
∴2×（1﹣+﹣+-+…+﹣）=，
2×＝，解得：n＝4040．
故答案为：，4040．
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据已知图形归纳出规律是解答本题关键．
15．
【分析】先根据幂的乘方求出，再根据同底数幂的除法的逆运算法则求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂除法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
16．15°
【分析】连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，利用等边三角形的性质证得∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，PD=BP，根据两点之间线段最短得出当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，A
解析：15°
【分析】连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，利用等边三角形的性质证得∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，PD=BP，根据两点之间线段最短得出当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，连接BP1，根据等边对等角证得∠CBP1=∠CDP1=∠CAD，再根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，
∵△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，
∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE，
∴CE为线段BD的垂直平分线，
∴PD=BP，
∴当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，
∴当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，
连接BP1，则BP1=DP1，
∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC，
∴∠CBP1=∠CDP1，
∵AC=BC=CD，
∴∠CDP1=∠CAD，即
延长AC至Q，
∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，
∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1，
∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°，
∴当的值最小时，=15°，
故答案为：15°．

【点睛】本题考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握相关性质的联系与运用，会利用两点之间线段最短解决最值问题是解答的关键．
17．±8
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】解：∵x2-mx+16=x2-mx+42，
∴m=±2×4，
解得m=±8．
故答案为：
解析：±8
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】解：∵x2-mx+16=x2-mx+42，
∴m=±2×4，
解得m=±8．
故答案为：±8．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
18．【分析】利用完全平方公式：，进行转化，即可求出结果．
【详解】解：∵．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查的是整式乘除中完全平方公式的运用，掌握其变形形式是解题的关键．
解析：
【分析】利用完全平方公式：，进行转化，即可求出结果．
【详解】解：∵．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查的是整式乘除中完全平方公式的运用，掌握其变形形式是解题的关键．
19．或
【分析】根据点的运动速度为，，若使与全等，有两种情况：①，；②，，列出方程，然后求出方程的解即可．
【详解】解：∵点的运动速度为，点的运动速度为，它们运动的时间为，
又∵，，
∴，，，
解析：或
【分析】根据点的运动速度为，，若使与全等，有两种情况：①，；②，，列出方程，然后求出方程的解即可．
【详解】解：∵点的运动速度为，点的运动速度为，它们运动的时间为，
又∵，，
∴，，，
∵，
∴当与全等时，有两种情况：
①，，
则：，，
解得：，；
②，，
则：，，
解得：，；
∴的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定的应用，路程、速度、时间之间的关系，方程等知识．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．
三、解答题
20．(1)2x（x+2）（x-2）；
(2)（4-x+y）2
【分析】（1）利用提公因式法和平方差公式分解；
（2）利用完全平分公式分解．
(1)
解：
=2x2（x-4）
=2x（x+2
解析：(1)2x（x+2）（x-2）；
(2)（4-x+y）2
【分析】（1）利用提公因式法和平方差公式分解；
（2）利用完全平分公式分解．
(1)
解：
=2x2（x-4）
=2x（x+2）（x-2）
(2)

=（4-x+y）2
【点睛】此题考查了多项式的分解因式，正确掌握因式分解的定义及解法是解题的关键．
2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，
解析：
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验是分式方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
22．见解析．
【分析】由是的平分线可知，再根据题意利用“角角边”易证．
【详解】∵是的平分线，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．由角平分线的性质得出和熟练掌握三角形
解析：见解析．
【分析】由是的平分线可知，再根据题意利用“角角边”易证．
【详解】∵是的平分线，
∴，

，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．由角平分线的性质得出和熟练掌握三角形全等的判定条件是解答本题的关键．
23．(1)，
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）如图1，根据角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理
解析：(1)，
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）如图1，根据角平分线的定义可得∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=90°+α；如图2，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°+α；
（2）如图3，根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=120°﹣α；
（3）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得∠BOC=．
(1)
如图1，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=90°+α；
如图2，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=120°+∠A=120°+α；
(2)
如图3，在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠DBC+∠ECB）=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+ABC）=180°﹣（∠A+180°）=120°﹣α；
(3)
在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠DBC+∠ECB）=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°﹣（∠A+180°）
=．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，解题关键在于掌握内角和定理，以及几何图形中角度的计算．
24．(1)甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元
(2)方案一：商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；方案二：商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案三：商场购进甲种牛奶70件，乙种牛
解析：(1)甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元
(2)方案一：商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；方案二：商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；方案三：商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件
【分析】（1）设甲种牛奶进价为x元，则乙种牛奶进价为元，根据“甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元，其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同”列出方程组，解之即可；
（2）设该商场购进乙种牛奶数量为m件，则该商场购进甲种牛奶数量为件，根据“两种牛奶的总数不超过95件，销售的总利润不低于371元”列出不等式，再进一步求出可行的方案即可．
（1）
解：设甲种牛奶进价为x元，则乙种牛奶进价为元
根据题意，得：
∴
当时，，且
∴是方程的解
∴
∴甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是每件45元、50元；
（2）
设该商场购进乙种牛奶数量为m件，则该商场购进甲种牛奶数量为件
∵两种牛奶的总数不超过95件
∴
∴
∵销售的总利润（利润＝售价－进价）不低于371元
∴
∴
∴
∴
∴方案一：商场购进甲种牛奶64件，乙种牛奶23件；
方案二：商场购进甲种牛奶67件，乙种牛奶24件；
方案三：商场购进甲种牛奶70件，乙种牛奶25件．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式组的应用，解题关键是理清题意找到等量关系及不等关系列出方程组（或不等式组）．
25．（1）；（2）；（3）见解析
【分析】（1）根据题意，利用配方法进行解答，即可得到答案；
（2）根据题意，根据材料的方法进行解答，即可得到答案；
（3）利用配方法把代数式进行化简，然后由完全平
解析：（1）；（2）；（3）见解析
【分析】（1）根据题意，利用配方法进行解答，即可得到答案；
（2）根据题意，根据材料的方法进行解答，即可得到答案；
（3）利用配方法把代数式进行化简，然后由完全平方的非负性，即可得到结论成立.
【详解】解：（1）
=
；
（2）

；
（3）证明：

；
∵，，
∴的值总是正数．
即的值总是正数．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握配方法、因式分解的方法是解本题的关键．
26．①成立，证明见详解；②AF+BF′=AB，证明见详解；③不成立，AF=AB+BF′，证明见详解.
【分析】类比猜想：①通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD；
深入探究：②AF+BF′=
解析：①成立，证明见详解；②AF+BF′=AB，证明见详解；③不成立，AF=AB+BF′，证明见详解.
【分析】类比猜想：①通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AF=BD；
深入探究：②AF+BF′=AB，利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BD=AF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，所以AF+BF′=AB；
③结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；再结合（2）中的结论即可证得AF=AB+BF′．
【详解】解：类比猜想：①如图2中，

∵△ABC是等边三角形（已知），
∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）；
同理知，DC=CF，∠DCF=60°；
∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA，即∠BCD=∠ACF；
在△BCD和△ACF中，

∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）；
深入探究：②如图示

AF+BF′=AB；
证明如下：由①条件可知：∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF，
∴同理可证△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF；
同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD，
∴AF+BF′=BD+AD=AB；
③结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′；
如图示：

证明如下：
∵等边△DCF和等边△DCF′，由①同理可知：
在△BCF′和△ACD中，

∴△BCF′≌△ACD（SAS），
∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）；
又由②知，AF=BD；
∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.
27．（1）；（2）时，与全等，证明见解析；（3）当或时，为等腰三角形
【分析】（1）由题意根据图形点的运动问题建立不等式组，进行分析求解即可；
（2）根据题意利用全等三角形的判定定理（SAS），进行
解析：（1）；（2）时，与全等，证明见解析；（3）当或时，为等腰三角形
【分析】（1）由题意根据图形点的运动问题建立不等式组，进行分析求解即可；
（2）根据题意利用全等三角形的判定定理（SAS），进行分析求证即可；
（3）根据题意分和以及三种情况，根据等腰三角形的性质进行分析计算.
【详解】（1）依题意，
，
.
（2）时，与全等，

证明：时，，，在和中，
∵，，点是的中点，
，，，
(SAS).
（3）①当时，有；
②当时，
∵，
∴，
∴
有，
∵，
∴（舍去）；
③当时，
∵，
∴，
∴
有，
∴；
综上，当或时，为等腰三角形.
【点睛】本题考查等腰三角形相关的动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定以及相似三角形的判定与性质并运用数形结合的思维将动点问题转化为代数问题进行分析是解题的关键.