人教版数学八年级上学期期末质量检测试题答案.doc

人教版数学八年级上学期期末质量检测试题答案
一、选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（       ）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（       ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．3a2﹣a2＝3 B．（a2）3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（2a）3＝6a3
4．要使分式有意义，则x的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
5．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（       ）
A．a(x+y)=ax+ay B．10x-5=5x(2-)
C．y2-4y+4=(y-2)2 D．t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t
6．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，AB＝DB，再添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBC的是（       ）

A．AC＝DC B．∠ACB＝∠DCB C．∠A＝∠D＝90° D．∠ABC＝∠DBC
8．若关于x的一次函数的图象不经过第四象限，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数m的值之和是（       ）
A．－13 B．－10 C．－8 D．－7
9．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边上．下列结论：①；②；③；④是直角三角形．其中正确的有（       ）

A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④
10．如图，线段，，.点，为线段上两点.从下面4个条件中：①；②；③；④.选择一个条件，使得一定和全等 .则所有满足条件的序号是（     ）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题
11．若分式的值为零，则b的值为______．
12．点与关于轴的对称，则______．
13．已知a+b＝5，ab＝3，＝_____．
14．若，，则___________．
15．如图，在中，，，，，点、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为______．

16．若二次三项式是完全平方式，则m的值为______．
17．已知． ，，则______．
18．如图，已知ABC中，AB＝AC＝16cm，∠B＝∠C，BC＝10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若当BPD与CQP全等时，则点Q运动速度可能为_____厘米/秒．

三、解答题
19．因式分解：
(1)；
(2)
20．先化简，再求值：，其中a＝2021．
21．如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，

（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
22．如图1，在中，P是与的平分线BP和CP的交点，通过分析发现，理由如下：
∵BP和CP分别是和的角平分线，
∴，．
∴．
又∵在中，，
∴．
∴．

(1)①如图2中，H是外角与外角的平分线BH和CH的交点，若，则________．
②若，则________（用含n的式子表示）．请说明理由．
(2)如图3中，在中，P是与的平分线BP和CP的交点，过点P作，交AC于点D．外角的平分线CE与BP的延长线交于点E，则根据探究1的结论，下列角中与相等的角是________；（填选项）
A．       B．       C．
23．为响应“地球熄灯一小时”的号召，某饭店准备在当天晚上推出烛光晚餐活动，计划用200元购进一定数量的蜡烛，由于是批量购买，每支蜡烛的价格比原价低20%，结果比原计划多购进25支，平均每支蜡烛的实际购买价格为多少元？
24．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为与
例如：
分析：

解：原式
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）
②（拆项法）
③________．
（2）已知：、、为的三条边，，求的周长．
25．如图1，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC且AC = BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF = FP.
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（3）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ.你认为（2）中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

26．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AB、射线CB上的动点，点D从点A出发沿射线AB移动，点E从点B出发沿BG移动，点D、点E同时出发并且运动速度相同．连接CD、DE．
（1）如图①，当点D移动到线段AB的中点时，求证：DE=DC．
（2）如图②，当点D在线段AB上移动但不是中点时，试探索DE与DC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，当点D移动到线段AB的延长线上，并且ED⊥DC时，求∠DEC度数．

【参考答案】
一、选择题
2．D
解析：D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：①⑤是轴对称图形，不是中心对称图形；
③不是轴对称图形，是中心对称图形；
②④既是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形的定义是解决本题的关键．
3．A
解析：A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000000076用科学记数法表示为，
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．B
解析：B
【分析】利用合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、3a2-a2=2a2，故A不符合题意；
B、（a2）3=a6，故B符合题意；
C、a6÷a3=a3，故C不符合题意；
D、（2a）3=8a3，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．B
解析：B
【分析】根据分式有意义的条件，可得：x-1≠0，据此求出x的取值范围即可．
【详解】解：要使分式有意义，
则x-1≠0，
解得：x≠1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零．
6．C
解析：C
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此解答即可．
【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、右边不是整式积的形式（含有分式），不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，是因式分解，故此选项符合题意；
D、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的知识，解答本题的关键是掌握因式分解的定义．
7．D
解析：D
【分析】根据分式的性质、分式的四则运算逐项分析判断即可求解．
【详解】解：
A. ，故该选项不正确，不符合题意；       
B. ，故该选项不正确，不符合题意；       
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的性质、分式的四则运算，正确的计算是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】由于AB＝DB，BC为公共边，则根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．
【详解】解：∵AB＝DB，BC＝BC，
∴当添加AC＝DC时，根据“SSS”可判断△ABC≌△DBC；
当添加∠A＝∠D时，根据“HL”可判断△ABC≌△DBC；
当添加∠ABC＝∠DBC时，根据“SAS”可判断△ABC≌△DBC．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
9．C
解析：C
【分析】根据题意和一次函数的性质、分式方程有意义的条件，可以得出m的取值范围，再写出符合要求的m的整数值，再计算即可．
【详解】∵一次函数的图象不经过第四象限
∴
解得
解方程可得，

∵分式方程有正数解
且
解得且
由上述可得，m的取值范围为且
∴m的整数值为

∴符合条件的所有整数m的值之和是．
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的性质、解分式方程、解一元一次不等式，解决本题的关键是明确题意，求出m的取值范围．
10．D
解析：D
【分析】根据△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，可得AC=BC，CE=CD，∠ECD=∠ACB=90°，∠CAB=∠CBA=∠E=∠CDE=45°，则有∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，所以∠ECA=∠BCD，即可用SAS证△ABC≌△ECD，可判定①正确；由全等三角形性质，可得∠BDC=∠E，再由三角形外角性质即可证得∠DAB=∠ACE，可判定②正确；根据三角形三边关系得BC+BD>CD，即可证得AE+AC>CD，可判定③错误；根据∠CBD+∠CDB+∠BCD=180°，即∠CBA+∠ABD+∠CDB+∠BCD=180°，又因为∠CBA=45°，∠CDB=∠E=45°，∠BCD=∠ACE=∠DAB，即可得出∠ABD+∠DAB =90°，从而得出∠ADB=90°，从而有是直角三角形，可判定④正确．
【详解】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ECD=∠ACB=90°，∠CAB=∠CBA=∠E=∠CDE=45°，
∴∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ECA=∠BCD，
∴△ABC≌△ECD（SAS），
故①正确；
∴∠BDC=∠E，
∵∠DAB+∠CAB=∠DAC=∠E+∠ACE，
∴∠DAB=∠ACE，
故②正确；
∵AC=BC，BC+BD>CD，
∴AC+BD>CD,
∵△ABC≌△ECD，
∴AE=BD，
∴AE+AC>CD，
故③错误；
∵∠CBD+∠CDB+∠BCD=180°，即∠CBA+∠ABD+∠CDB+∠BCD=180°，
∵∠CBA=45°，∠CDB=∠E=45°，∠BCD=∠ACE=∠DAB，
∴45°+∠ABD+45°+∠DAB =180°，
∴∠ABD+∠DAB =90°，
∵∠ABD+∠DAB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=90°，
∴是直角三角形，
故④正确，
综上，正确的有①②④，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理和三角形外角性质，利用等角灵活代换是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】利用全等三角形的判定定理对①②③④进行逐一判断即可.
【详解】解：①结合已知条件，判定条件为SSA.由于CE=5，AC=4，CE＜AC，∴E点在线段AB上有两个符合条件的点，同理F也有两个符合条件的点，由图可知不一定和全等，错误；

②结合已知条件，由SAS可以判定和全等，正确；
③由于CE=7，AC=4, CE＞AC，∴线段AB上只有一个符合条件的点E,同理只有一个符合条件的点F，如图，此时一定和全等.故正确；

④∵,∴∠AEC=∠DFB，再结合已知条件，根据AAS，可以判定和全等.正确.
故选D.
【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握判定定理是关键.
二、填空题
12．
【分析】分式的值为零，即分子为零，分母不为零，据此解答．
【详解】解：分式的值为零，

故答案为：．
【点睛】本题考查分式的值为零，分式有意义的条件等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
13．7
【分析】根据两个点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得a、b的值，进而可得a+b的值．
【详解】解：∵点M（a，-4）与N（3，b）关于x轴的对称，
∴a=3，b=4，
∴a+b=3+4=7，
故答案为：7
【点睛】此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标特点，关键是掌握：点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y）．
14．．
【分析】将a+b=5．ab=3代入原式=，计算可得．
【详解】当a+b=5．ab=3时，
原式=
=
=
=.
故答案为．
【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和完全平方公式．
15．
【分析】根据同底数幂除法逆运算及积的乘方逆运算解答．
【详解】∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查整式的运算公式：积的乘方计算及同底数幂除法计算，正确掌握计算公式并熟练应用是解题的关键．
16．【分析】作点C关于线段AB的对称点D，过点D作DH⊥AC，交AB于点，连接AD，则根据轴对称的性质及点到直线垂线段最短可知DH即为的最小值，进而根据△ADC的面积可进行求解．
【详解】解：作点
解析：
【分析】作点C关于线段AB的对称点D，过点D作DH⊥AC，交AB于点，连接AD，则根据轴对称的性质及点到直线垂线段最短可知DH即为的最小值，进而根据△ADC的面积可进行求解．
【详解】解：作点C关于线段AB的对称点D，过点D作DH⊥AC，交AB于点，连接AD，如图所示：

∴，
根据轴对称的性质及点到直线垂线段最短可知DH即为的最小值，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质、等积法及最短路径问题，熟练掌握利用轴对称的性质求最短路径问题是解题的关键．
17．9或-7
【分析】根据完全平方式的特点解答．
【详解】解：∵二次三项式是完全平方式，
∴，
解得m=9或-7，
故答案为：9或-7．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟记完全平方式并掌握其
解析：9或-7
【分析】根据完全平方式的特点解答．
【详解】解：∵二次三项式是完全平方式，
∴，
解得m=9或-7，
故答案为：9或-7．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟记完全平方式并掌握其构成特点是解题的关键．
18．5
【分析】把完全平方公式展开得，，由可以求出的值．
【详解】解：，，
，，
得：，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，考核学生的计算能力，熟悉公式的结构特点是解题
解析：5
【分析】把完全平方公式展开得，，由可以求出的值．
【详解】解：，，
，，
得：，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，考核学生的计算能力，熟悉公式的结构特点是解题的关键．
19．1或1.6
【分析】根据，推出当BPD与CQP全等时，存在两种情况，①②，设运动时间为秒，点的运动速度为厘米/秒，则 cm， cm， cm，再根据全等三角形对应边相等的性质解答即可．
【详解】解
解析：1或1.6
【分析】根据，推出当BPD与CQP全等时，存在两种情况，①②，设运动时间为秒，点的运动速度为厘米/秒，则 cm， cm， cm，再根据全等三角形对应边相等的性质解答即可．
【详解】解：∵
∴当BPD与CQP全等时，存在两种情况，①②
设运动时间为秒，点的运动速度为厘米/秒，则 cm， cm， cm
∵点是中点，cm
∴ cm
当时，
∴，解得：
当时，、
∴，解得：
综上所述：点Q运动速度可能为1厘米/秒或厘米/秒．
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，根据对应角相等分情况讨论是解答本题的关键．
三、解答题
20．(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再运用完全平方公式分解因式即可．
(1)
解：
；
(2)
．
【点睛
解析：(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因式，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再运用完全平方公式分解因式即可．
(1)
解：

；
(2)

．
【点睛】本题考查因式分解——提公因式法和公式法综合，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
21．，．
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：
，
当a=2021时，原式=．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确掌握相关运算
解析：，．
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：

，
当a=2021时，原式=．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键．
22．（1）见解析；（2）78°
【分析】（1）由AE＝DB得出AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE，利用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABC＝39°，
解析：（1）见解析；（2）78°
【分析】（1）由AE＝DB得出AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE，利用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABC＝39°，根据全等三角形的性质得∠ABC＝∠DEF＝39°，由三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE．
又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°．
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°．
∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°．
【点睛】本题主要考查直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．(1)①；②，理由见解析
(2)B
【分析】（1）①先根据三角形内角和定理得到的值，再根据角平分线得出的值，最后求得；
②借助题中的结论和角平分线的性质得出、，进而在四边形PBHC中得出结论
解析：(1)①；②，理由见解析
(2)B
【分析】（1）①先根据三角形内角和定理得到的值，再根据角平分线得出的值，最后求得；
②借助题中的结论和角平分线的性质得出、，进而在四边形PBHC中得出结论
（2）借助角三角形外角的性质得到，，对等角进行等量代换即可得出结论．
（1）①，，，BH和CH是外角与外角的平分线，故，；②若，则．理由：由图1结论可得，，∵H是外角与外角的平分线BH和CH的交点，P是与的平分线BP和CP的交点，∴，同理可得，∴四边形PBHC中，
（2）由题意可得，，，CP是的平分线，，，又；故答案为：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练应用各性质定理．
24．6元
【分析】设每支蜡烛的原价为x元，然后根据“计划用200元购进一定数量的蜡烛，由于是批量购买，每支蜡烛的价格比原价低20%，结果比原计划多购进25支”列分式方程求解即可．
【详解】解：设每支
解析：6元
【分析】设每支蜡烛的原价为x元，然后根据“计划用200元购进一定数量的蜡烛，由于是批量购买，每支蜡烛的价格比原价低20%，结果比原计划多购进25支”列分式方程求解即可．
【详解】解：设每支蜡烛的原价为x元，依题意得：
，
解得．
经检验是所列方程的根，且符合题意．
（元）．
答：平均每支蜡烛的实际购买价格为1.6元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出分式方程成为解答本题的关键．
25．（1）①，②，③；（2）7
【分析】（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；
（2）先利用
解析：（1）①，②，③；（2）7
【分析】（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；
（2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案．
【详解】解：（1）①

；
②

；
③；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴．
∴的周长为7．
【点睛】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键．
26．（1）AB=AP，AB⊥AP；（2）BQ=AP，BQ⊥AP；（3）成立，见解析.
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出AB=AP，∠BAC=∠PAC=45°，求出∠BAP=90°即可；
（2
解析：（1）AB=AP，AB⊥AP；（2）BQ=AP，BQ⊥AP；（3）成立，见解析.
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得出AB=AP，∠BAC=∠PAC=45°，求出∠BAP=90°即可；
（2）求出CQ=CP，根据SAS证△BCQ≌△ACP，推出AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，根据三角形内角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90°，推出∠PAC+∠AQG=90°，求出∠AGQ=90°即可；
（3）BO与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．证明方法与（2）一样．
【详解】（1）AB=AP且AB⊥AP，
证明：∵AC⊥BC且AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=,
又∵△ABC与△EFP全等，
同理可证∠PEF=45°，
∴∠BAP=45°+45°=90°，
∴AB=AP且AB⊥AP；
（2）BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ，
证明：延长BQ交AP于G，
由（1）知，∠EPF=45°，∠ACP=90°，
∴∠PQC=45°=∠QPC，
∴CQ=CP，
∵∠ACB=∠ACP=90°，AC=BC，
∴在△BCQ和△ACP中

∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBQ+∠BQC=90°，
∵∠CQB=∠AQG，
∴∠AQG+∠PAC=90°，
∴∠AGQ=180°-90°=90°，
∴AP⊥BQ；
（3）成立．
证明：如图，∵∠EPF=45°，
∴∠CPQ=45°．
∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ，
CQ=CP．
在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS）
∴BQ=AP；
延长BQ交AP于点N，
∴∠PBN=∠CBQ．
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠BQC=∠APC．
在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，
∴∠APC+∠PBN=90°．
∴∠PNB=90°．
∴BQ⊥AP．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
27．（1）见详解；
（2）DE=DC，理由见详解；
（3）∠DEC=45°
【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证
（2）猜测，寻找条件证明即可.最常用
解析：（1）见详解；
（2）DE=DC，理由见详解；
（3）∠DEC=45°
【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证
（2）猜测，寻找条件证明即可.最常用的是证明两个三角形全等，但图中给出的三角形中并未出现全等三角形，所以添加辅助线：在射线AB上截取，这样只要证明即可.利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，这样通过两个等边三角形即可证明.
（3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线CB上截取，用同样的方法证明，又因为ED⊥DC，所以为等腰之间三角形，则∠DEC度数可求.
【详解】由题意可知
∵D为AB的中点

∵为等边三角形，

（2）
理由如下：
在射线AB上截取，连接EF

∵为等边三角形

∴为等边三角形

由题意知

即

在和中，

（3）如图，在射线CB上截取，连接DF

∵为等边三角形

∴为等边三角形

由题意知

即

在和中，

∵ED⊥DC
∴为等腰直角三角形

【点睛】本题主要考查了等腰三角形，等边三角形，全等三角形的判定及性质，能够作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键.