资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图所示是二次函数y=ax2﹣x+a2﹣1的图象，则a的值是（ ）
A．a=﹣1 B．a= C．a=1 D．a=1或a=﹣1
2．如图，在⊙O中，是直径，是弦，于，连接，∠，则下列说法正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列四对图形中，是相似图形的是( )
A．任意两个三角形 B．任意两个等腰三角形
C．任意两个直角三角形 D．任意两个等边三角形
4．在 中，，，，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若点是直线上一点，已知，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．2
6．如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
7．如图，在△ABO中，∠B=90º ，OB=3,OA=5，以AO上一点P为圆心，PO长为半径的圆恰好与AB相切于点C，则下列结论正确的是（ ）．
A．⊙P 的半径为
B．经过A，O，B三点的抛物线的函数表达式是
C．点（3，2）在经过A，O，B三点的抛物线上
D．经过A，O，C三点的抛物线的函数表达式是
8．四边形内接于⊙，点是的内心，，点在的延长线上，则的度数为( )
A．56° B．62° C．68° D．48°
9．如图，在RtΔABC中∠C=90°，AC=6，BC=8，则sin∠A的值（ ）
A． B． C． D．
10．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，一路灯B距地面高BA＝7m，身高1.4m的小红从路灯下的点D出发，沿A→H的方向行走至点G，若AD＝6m，DG＝4m，则小红在点G处的影长相对于点D处的影长变长了_____m．
12．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为__________.
13．关于x的方程kx2-4x-=0有实数根，则k的取值范围是 ．
14．如图，P1是反比例函数(k＞0)在第一象限图象上的一点，点A1的坐标为(2，0)．若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，则A2点的坐标为_____．
15．计算：__________．
16．某人沿着有一定坡度的坡面前进了6米，此时他在垂直方向的距离上升了2米，则这个坡面的坡度为_____．
17．如图，在中，点分别是边上的点，， 则的长为________.
18．分解因式：=_________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）解方程：3x2+1＝2x．
20．（6分）如图，等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，已知A（0，0），B（4，0），反比例函数的图象经过点C．求点C的坐标及反比例函数的解析式．
21．（6分）问题背景：如图1，在中，，，，四边形是正方形，求图中阴影部分的面积．
（1）发现：如图，小芳发现，只要将绕点逆时针旋转一定的角度到达，就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解答.根据小芳的发现，可求出图1中阴影部分的面积为______；（直接写出答案）
（2）应用：如图，在四边形中，，，于点，若四边形的面积为，试求出的长；
（3）拓展：如图，在四边形中，，，，以为顶点作为角，角的两边分别交，于，两点，连接，请直接写出线段，，之间的数量关系．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BD于点B．已知∠A = 45°，∠C= 60°，，求AD的长．
23．（8分）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP，BP．
（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；
（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．
24．（8分）有A、B两组卡片共1张，A组的三张分别写有数字2，4，6，B组的两张分别写有3，1．它们除了数字外没有任何区别，
（1）随机从A组抽取一张，求抽到数字为2的概率；
（2）随机地分别从A组、B组各抽取一张，请你用列表或画树状图的方法表示所有等可能的结果.现制定这样一个游戏规则：若选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
25．（10分）如图直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于点，过作轴，交抛物线于点，连结．点为抛物线上上方的一个点，连结，作垂足为，交于点．
（1）求的长；
（2）当时，求点的坐标；
（3）当面积是四边形面积的2倍时，求点的坐标．
26．（10分）如图，圆的内接五边形ABCDE中，AD和BE交于点N，AB和EC的延长线交于点M，CD∥BE，BC∥AD，BM＝BC＝1，点D是的中点．
（1）求证：BC＝DE；
（2）求证：AE是圆的直径；
（3）求圆的面积．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】由图象得，此二次函数过原点（0，0），
把点（0，0）代入函数解析式得a2-1=0，解得a=±1；
又因为此二次函数的开口向上，所以a＞0；
所以a=1．
故选C．
2、C
【分析】先根据垂径定理得到，CE＝DE，再利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，则根据互余可计算出∠OCE的度数，于是可对各选项进行判断．
【详解】∵AB⊥CD，
∴，CE＝DE，②正确，
∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，③正确，
∴∠OCE＝90°−40°＝50°，④正确；
又，故①错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
3、D
【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，对题中条件一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、任意两个三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故A错误；
B、任意两个等腰三角形，形状不确定，不一定是相似图形，故B错误；
C、任意两个直角三角形，直角边的长度不确定，不一定是相似图形，故C错误；
D、任意两个等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似形的定义，故D正确；
故选：D.
【点睛】
本题考查的是相似形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．
4、A
【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．
【详解】解：sinA==．
故选A．
【点睛】
本题考查了锐角正弦函数的定义.
5、B
【分析】根据题意先确定点B在哪个位置时的最小值，先作点A关于直线CD的对称点E,点B、E、O三点在一条直线上，再根据题意，连结OE与CD的交点就是点B,求出OE的长即为所求．
【详解】解：在y=-x+2中，当x=0时， y=2,当y=0时， 0=-x+2，解得x=2,
∴直线y=-x+2与x的交点为C(2.0)，与y轴的交点为D(0，2)，如图，
∴OC=OD=2,
∵OC⊥OD,:OC⊥OD,
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴∠OCD=45°，
∴A(0,-2)，
∴OA=OC=2
连接AC，如图，
∵OA⊥OC,
∴△OCA是等腰直角三角形，
∴∠OCA= 45°，
∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=90°，
∴.AC⊥CD,
延长AC到点E，使CE=AC,连接BE，作EF⊥轴于点F，
则点E与点A关于直线y= -x+2对称，∠EFO= ∠AOC=90，
点O、点B、点E三点共线时，OB+AB取最小值，最小值为OE的长,
在△CEF和△CAO中，
∴△CEF≌OCAO(AAS),
∴EF=OA=2，CF=OC=2
∴OF=OC+CF=4,
即OB+AB的最小值为．
故选:B
【点睛】
本题考查的是最短路线问题，找最短路线是解题关键．找一点的对称点连接另一点和对称点与对称轴的交点就是B点．
6、A
【解析】试题解析：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=125°，∠BAC=90°﹣∠ABC=35°，∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，∴∠DCM=∠ADC﹣∠AMC=35°，∴∠ACD=∠MCA﹣∠DCM=55°﹣35°=20°．故选A．
7、D
【分析】A、连接PC，根据已知条件可知△ACP∽△ABO，再由OP=PC，可列出相似比得出；
B、由射影定理及勾股定理可得点B坐标，由A、B、O三点坐标，可求出抛物线的函数表达式；
C、由射影定理及勾股定理可计算出点C坐标，将点C代入抛物线表达式即可判断；
D、由A，O，C三点坐标可求得经过A，O，C三点的抛物线的函数表达式．
【详解】解：如图所示，连接PC，
∵圆P与AB相切于点C，所以PC⊥AB，
又∵∠B=90º，
所以△ACP∽△ABO，
设OP=x，则OP=PC=x，
又∵OB=3，OA=5，
∴AP=5-x，
∴，解得，
∴半径为，故A选项错误；
过B作BD⊥OA交OA于点D，
∵∠B=90º，BD⊥OA，
由勾股定理可得：，
由面积相等可得：
∴，
∴由射影定理可得，
∴
∴，
设经过A，O，B三点的抛物线的函数表达式为；
将A(5,0)，O(0,0)，代入上式可得：
解得 ，，c=0,
经过A，O，B三点的抛物线的函数表达式为，
故B选项错误；
过点C作CE⊥OA交OA于点E，
∵，
∴由射影定理可知，
∴，所以，
由勾股定理得，
∴点C坐标为，
故选项C错误；
设经过A，O，C三点的抛物线的函数表达式是，
将A(5,0)，O(0,0)，代入得，
解得：，
∴经过A，O，C三点的抛物线的函数表达式是，
故选项D正确．
【点睛】
本题考查相似三角形、二次函数、圆等几何知识，综合性较强，解题的关键是要能灵活运用相似三角形的性质计算．
8、C
【分析】由点I是 的内心知 ，，从而求得 ，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
【详解】∵点I是 的内心
∴ ，
∵
∴
∵四边形内接于⊙
∴
故答案为：C ．
【点睛】
本题考查了三角形的内心，圆内接四边形的性质，掌握三角形内心的性质和圆内接四边形的外角等于内对角是解题的关键．
9、B
【分析】由勾股定理可求得AB的长度，再根据锐角三角函数的定义式求得sin∠A的值．
【详解】∵AC=6，BC=8，∴AB==，
∴sin∠A=．
故选B．
【点睛】
本题考查勾股定理和锐角三角函数的综合应用，根据求得的直角三角形的边长利用锐角三角函数的定义求值是解题关键．
10、D
【分析】根据配方法的原理，凑成完全平方式即可.
【详解】解：
，
，
，
故选D．
【点睛】
本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1．
【分析】根据由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB，即、，据此求得DE、HG的值，从而得出答案．
【详解】解：由CD∥AB∥FG可得△CDE∽△ABE、△HFG∽△HAB，
∴、，即、，
解得：DE＝1.5、HG＝2.5，
∵HG﹣DE＝2.5﹣1.5＝1，
∴影长变长1m．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
12、0.4m
【分析】先证明△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可.
【详解】∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO.
∵∠AOB=∠COD,
∴△OAB∽△OCD，
∴AO:CO=AB:CD,
∴4:1=1.6:CD,
∴CD=0.4.
故答案为0.4.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用，正确地把实际问题转化为相似三角形问题，利用相似三角形的判定与性质解决是解题的关键．
13、k≥-1
【解析】试题分析：当k=0时，方程变为一元一次方程，有实数根；当k≠0时，则有△=（-4）2-4×（-）k≥0，解得k≥-1；综上可得k≥-1．
考点：根的判别式．
14、 (2，0)
【分析】由于△P1OA1为等边三角形，作P1C⊥OA1，垂足为C，由等边三角形的性质及勾股定理可求出点P1的坐标，根据点P1是反比例函数y＝ (k＞0)图象上的一点，利用待定系数法求出此反比例函数的解析式；作P2D⊥A1A2，垂足为D．设A1D＝a，由于△P2A1A2为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点P2的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A2点的坐标．
【详解】作P1C⊥OA1，垂足为C，
∵△P1OA1为边长是2的等边三角形，
∴OC＝1，P1C＝2×＝，
∴P1(1，)．
代入y＝，得k＝，
所以反比例函数的解析式为y＝．
作P2D⊥A1A2，垂足为D．
设A1D＝a，
则OD＝2+a，P2D＝a，
∴P2(2+a，a)．
∵P2(2+a，a)在反比例函数的图象上，
∴代入y＝，得(2+a)• a＝，
化简得a2+2a﹣1＝0
解得：a＝﹣1±．
∵a＞0，
∴a＝﹣1+．∴A1A2＝﹣2+2，
∴OA2＝OA1+A1A2＝2，
所以点A2的坐标为(2，0)．
故答案为：(2，0)．
【点睛】
此题综合考查了反比例函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，正三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
15、
【分析】先计算根号、负指数和sin30°，再运用实数的加减法运算法则计算即可得出答案.
【详解】原式=，故答案为.
【点睛】
本题考查的是实数的运算，中考必考题型，需要熟练掌握实数的运算法则.
16、
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再根据坡度的定义即可得．
【详解】由题意得：米，米，，
在中，（米），
则这个坡面的坡度为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理、坡度的定义，掌握理解坡度的定义是解题关键．
17、1
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】∵，，
∴，，
则，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18、
【解析】提取公因式法和公式法因式分解．
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
．
三、解答题(共66分)
19、x1＝x2＝
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】解：原方程化为：，
∴，
∴x1＝x2＝
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的解法，本题属于基础题型．
20、点C坐标为（2，2），y＝
【分析】过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y＝，根据等边三角形的知识求出AC和CD的长度，即可求出C点的坐标，把C点坐标代入反比例函数解析式求出k的值．
【详解】解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D，
设反比例函数的解析式为y＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，∠CAB＝60°，
∴AD＝3，CD＝sin60°×4＝×4＝2，
∴点C坐标为（2，2），
∵反比例函数的图象经过点C，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式：y＝；
【点睛】
考查了待定系数法确定反比例函数的解析式的知识，解题的关键是根据题意求得点C的坐标，难度不大．
21、（1）30；（2）；（3）．
【分析】（1）由题意根据全等三角形的性质以及运用等量代换得出，进而得出的面积即阴影部分的面积；
（2）由题意把绕点旋转到处，使与重合，利用全等三角形的性质进行等量代换得出，进而进行分析即可；
（3）根据题意延长AC到G，使CG=BE，并构造全等三角形，运用全等三角形的判定和性质进行分析即可 ．
【详解】解：（1）∵绕点逆时针旋转一定的角度到达，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴等量代换可知，
∵，，
∴阴影部分的面积即的面积为：.
（2）如图，把绕点旋转到处，使与重合，可得.
，
，
即，、、三点共线.
又，四个角都为，
四边形是正方形，易得.
，即.
（3）线段BE、CF、EF之间的数量关系为：EF=BE+CF.
理由：如图，延长AC到G，使CG=BE，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCG=180°，
∴∠B=∠DCG，
在△DBE和△DCG中，
，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴DE=DG，∠BDE=∠CDG，
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=60°，
∴∠CDG+∠CDF=60°，
∴∠EDF=∠GDF，
在△EDF和△GDF中，
，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=CG+CF，
∴GF=BE+CF，
∴EF=BE+CF．
【点睛】
本题考查四边形的综合问题，根据题意熟练掌握全等三角形的判定与性质以及四边形的性质，综合运用数形结合思维分析是解题的关键.
22、．
【分析】过点D作DE⊥BC于E，在Rt△CDE中，∠C = 60°，，则可求出DE,由已知可推出∠DBE =∠ADB = 45°，根据直解三角形的边角关系依次求出BD，AD即可.
【详解】过点D作DE⊥BC于E
∵ 在Rt△CDE中，∠C = 60°，，
∴，
∵ AB⊥BD，∠A = 45°，
∴∠ADB = 45°.
∵AD∥BC，
∴∠DBE =∠ADB = 45°
∴ 在Rt△DBE中，∠DEB = 90°，，
∴ ，
又∵ 在Rt△ABD中，∠ABD= 90°，∠A = 45°，
∴．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的知识，正确作出辅助线是解题的关键.
23、（1）证明见解析；（2）BM=MC．理由见解析．
【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C，然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，从而得到MN∥BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再求出△AMQ∽△ABM，根据相似三角形对应边成比例可得，从而得到，即可得解．
【详解】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，
在△ABM和△BCP中，
，
∴△ABM≌△BCP（SAS），
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM⊥BP，
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，
∴AM⊥MN，且AM=MN，
∴MN∥BP，
∴四边形BMNP是平行四边形；
（2）解：BM=MC．
理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
又∵∠ABC=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴，
∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，
∴，
∴，
∴BM=MC．
24、（1）P（抽到数字为2）=；（2）不公平，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．
试题解析: （1）P= ；
（2）由题意画出树状图如下：
一共有6种情况，
甲获胜的情况有4种，P=，
乙获胜的情况有2种，P=，
所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．
考点：游戏公平性；列表法与树状图法．
25、（1）6；（2）；（3）或
【分析】（1）令x=0求得A的坐标，再根据轴，令y=3即可求解；
（2）证明，则，即可求解；
（3）当的面积是四边形的面积的2倍时，则，，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线交轴于点，
∴，
∵轴，
∴B的纵坐标为3，
设B的横坐标为a，
则，解得，（舍），
∴，
∴；
（2）设
，，
，
，
，
解得．
（3）当的面积是四边形的面积的2倍时，
则
，
得：，，
或
【点睛】
本题考查的是二次函数综合，涉及到一次函数、三角形相似、图形的面积计算等，逐一分类讨论．
26、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据平行线得出∠DCE＝∠CEB，求出即可；
（2）求出AB＝BC＝BM，得出△ACB和△BCM是等腰三角形，求出∠ACE＝90°即可；
（3）根据求出∠BEA＝∠DAE＝22.5°，∠BAN＝45°，求出BN＝1，，根据勾股定理求出AE2的值，即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵CD∥BE，
∴∠DCE＝∠CEB，
∴，
∴DE＝BC；
（2）证明：连接AC，
∵BC∥AD，
∴∠CAD＝∠BCA，
∴，
∴AB＝DC，
∵点D是的中点，
∴，
∴CD＝DE，
∴AB＝BC．
又∵BM＝BC，
∴AB＝BC＝BM，即△ACB和△BCM是等腰三角形，
在△ACM中，，
∴∠ACE＝90°，
∴AE是圆的直径；
（3）解：由（1）（2）得：，
又∵AE是圆的直径，
∴∠BEA＝∠DAE＝22.5°，∠BAN＝45°，
∴NA＝NE，
∴∠BNA＝∠BAN＝45°，∠ABN＝90°，
∴AB＝BN，
∵AB＝BM＝1，
∴BN＝1，
∴．
由勾股定理得：AE2＝AB2+BE2＝，
∴圆的面积．
【点睛】
本题主要考察正多边形与圆、勾股定理、平行线的性质，解题关键是根据勾股定理求出AE2的值.
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