地下水数值模拟05-1.ppt

第四章第四章 有限单元法有限单元法.有限单元法基本原理有限单元法基本原理主要内容主要内容1 三角形单元的有限单元方程三角形单元的有限单元方程2 四边形单元四边形单元3 空间问题空间问题4第一节第一节有限单元法的基本原理有限单元法的基本原理一、概述一、概述有限单元法的基本思想有限单元法的基本思想 把连续系统离散成有限个单元，并在每一个单元中把连续系统离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体；的一组单元的集合体；选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律；律；建立用于求解节点未知量的有限元方程组。建立用于求解节点未知量的有限元方程组。一、概述一、概述有限单元法的基本步骤有限单元法的基本步骤（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）离散离散选择近似函数表示单元内部的未知量分布选择近似函数表示单元内部的未知量分布推导有限元方程推导有限元方程求解求解把渗流区划分为有限个单元。把渗流区划分为有限个单元。单元之间仅在有限单元之间仅在有限个节点上相连接。个节点上相连接。各个单元的结合点称为结点或节点。各个单元的结合点称为结点或节点。常采用多项式插值常采用多项式插值 分：建立单元内未知量的表达式分：建立单元内未知量的表达式单元分析单元分析合：集合单元方程形成代数方程组合：集合单元方程形成代数方程组整体分析整体分析常见的二维、三维单元常见的二维、三维单元 一、概述一、概述有限单元法的特点有限单元法的特点优点优点缺点缺点 1.1.计算程序的通用性强；计算程序的通用性强；2.2.计算单元划分灵活；对不规则边界处计算单元划分灵活；对不规则边界处理方便；理方便；3.3.适合各种物理问题适合各种物理问题 4.4.水流问题、物质输运问题解的精度一水流问题、物质输运问题解的精度一般较般较FDMFDM的精度高。的精度高。占用计算内占用计算内存大，工作存大，工作量大。量大。二、有限元法的分类二、有限元法的分类n以方程中未知数代表的意义分类以方程中未知数代表的意义分类有限元位移法：未知数为位移有限元位移法：未知数为位移有限元力法：未知数为力有限元力法：未知数为力有限元混合法：未知数为力和位移有限元混合法：未知数为力和位移n以推导方法分类以推导方法分类变分法变分法加权余量法加权余量法水均衡法水均衡法 加权余量法加权余量法设有一微分方程：设有一微分方程：将近似值 代入，会有误差或剩余加权余量法就是选择待定系数 ，使得误差在某种意义上成为最小。假设假设u u可以用近似函数来表示，一般形式为：可以用近似函数来表示，一般形式为：加权余量法加权余量法对对n n个未知数来说只有一个方程无法求解，故引入相互线性独立的权函数个未知数来说只有一个方程无法求解，故引入相互线性独立的权函数 取权函数，使得余量的加权积分为零，从而求得微分取权函数，使得余量的加权积分为零，从而求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。方程近似解的方法称为加权余量法。加权余量法分类加权余量法分类按照对权函数的不同选择就得到了不同的加权余量法按照对权函数的不同选择就得到了不同的加权余量法 u 子域法u 配点法u 最小二乘法u 迦辽金法（Galerkin）将求解域划分为若干个子域，在每个将求解域划分为若干个子域，在每个子域内权函数为子域内权函数为1 1，子域外权函数为，子域外权函数为0 0使余量在指定的配点上为使余量在指定的配点上为0 0使整个求解域上余量的平方和取极小值使整个求解域上余量的平方和取极小值使余量与一基函数正交使余量与一基函数正交三、地下水流动问题的伽辽金方程三、地下水流动问题的伽辽金方程数学模型数学模型试探函数试探函数:余量余量:根据迦辽金方法原理根据迦辽金方法原理地下水流动问题的伽辽金方程地下水流动问题的伽辽金方程利用分部积分公式、格林公式，移项整理得：利用分部积分公式、格林公式，移项整理得：单元分析：单元分析：整体分析：整体分析：简化：简化：