八年级数学上册期末模拟检测试题.doc

八年级数学上册期末模拟检测试题
一、选择题
1．下面图形中，是轴对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（       ）
A．3.4×10-9 B．0.34×1010 C．3.4×10-10 D．3.4×10-11
3．下列运算正确的是（　　）
A．x2•x3＝x6 B．（2x）3＝6x3
C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．2xy2+3yx2＝5xy2
4．若分式有意义，则应满足的条件是（　　　）
A． B． C．且 D．
5．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（       ）
A． B．
C． D．
6．根据分式的基本性质，分式可变形为（       ）
A． B． C． D．
7．如图，AB＝DE，BF＝DC，若要使△ABC≌△EDF，则还需补充的条件可以是（       ）

A．AC＝EF B．∠A＝∠E C．∠B＝∠E D．AC∥EF
8．解关于的方程产生增根，则常数的值等于（       ）
A．-5 B．-4 C．-3 D．2
9．图（1）是一个长为2a，宽为的长方形，用剪刀沿它的所有对称轴剪开，把它分成四块，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间阴影部分的面积是（       ）．

A． B． C． D．
10．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．若分式的值为零，则b的值为______．
12．若点关于y轴的对称点为，则______．
13．已知，则实数A+B＝_____．
14．（﹣2a2）2·a＝_____；若am＝2，an＝3，则a3m+2n＝_____．
15．如图，在中，，，，，点、分别是、上的动点，连接、，则的最小值为______．

16．多项式是完全平方式，则________．
17．已知一个多边形的内角和是，则此多边形的边数是_____．
18．如图．已知中，厘米，，厘米，D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．若点Q的运动速度为a厘米/秒，则当与全等时，a的值为______．

三、解答题
19．分解因式：
(1)；
(2)．
20．解分式方程：
(1)；
(2)．
21．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=CF．求证：∠A=∠D．

22．在△ABC中，AD是角平分线．．

(1)如图（1），AE是高，，，求∠DAE的度数；
(2)如图（2），点E在AD上，于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；
(3)如图（3），点E在AD的延长线上．于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系是___（直接写出结论，不需证明）．
23．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙厂每天加工的数量是甲厂每天加工数量的1.5倍．
(1)根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
(2)为了尽快加工完，该公司计划让甲乙两个工厂共同来加工这批新产品，若甲工厂加工的费用是每天500元，乙工厂加工的费用是每天800元，则完成这批新产品的加工，该公司要支付多少费用？
24．[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式“”变形成或等形式，
问题：若x满足，求的值．
我们可以作如下解答；设，，则，
即：．
所以．
请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：
(1)若x满足，求的值．
(2)若x满足，求的值．
25．如图，中，，．

（1）如图1，，，求证：；
（2）如图2，，，请直接用几何语言写出、的位置关系____________；
（3）证明（2）中的结论．
26．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，在BD的延长线上取一点E满足：AE＝AB；AF平分∠CAE交BE于点F．

(1)如图1，连CF，求证：△ACF≌△AEF．
(2)如图2，当∠ABC＝60°时，线段AF，EF，BF之间存在某种数量关系，写出你的结论并加以证明．
(3)如图3，当∠ACB＝45°时，且AE∥BC，若EF＝3，请直接写出线段BD的长是 　 　（只填写结果）．
【参考答案】
一、选择题
2．B
解析：B
【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可．
【详解】解：A中图形不是轴对称图形，不符合题意；
B中图形是轴对称图形，符合题意；
C中图形不是轴对称图形，不符合题意；
D中图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形的定义，理解定义，找准对称轴是解答的关键．
3．C
解析：C
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：
故选C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4．C
解析：C
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项法则逐项判断即可．
【详解】解：A、x2•x3＝x5，原式错误，不符合题意；
B、（2x）3＝8x3，原式错误，不符合题意；
C、（﹣x2）3＝﹣x6，原式正确，符合题意；
D、2xy2和3yx2不是同类项，不能合并，原式错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】根据分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：若分式有意义，则，
∴且，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义分母不为零是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A．是整式的乘法，故A错误；
B．把一个多项式转化成几个整式积乘积的形式，故B正确；
C．因式分解出现错误，，故C错误；
D．没把一个多项式转化成几个整式积乘积的形式，故D错误；
故选B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟记因式分解的定义是解题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
7．A
解析：A
【分析】根据分式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：==．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的分子与分母同乘以或同除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变是解题关键．
8．A
解析：A
【分析】根据，即可推出，根据平行线的性质得出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】∵，
∴，
即，
选项A：，，，符合全等三角形的判定定理，能推出
△ABC≌△EDF，故本选项符合题意；
选项B：，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△ABC≌△EDF，故本选项不符合题意；
选项C：，，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△ABC≌△EDF，故本选项不符合题意；
选项D：∵AC∥EF
∴，
，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出
△ABC≌△EDF，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解答本题的关键，在此提醒大家三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
9．B
解析：B
【分析】先把分式方程化为整式方程得到x=a+6，由于原分式方程有增根，则增根只能为2，然后在整式方程中当x=2时，求出对应的a的值即可．
【详解】】解：去分母得x-6=a，
解得x=a+6，
因为关于x的方程产生增根，
所以x=2，即a+6=2，解得a=-4．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
10．D
解析：D
【分析】根据图形列出算式，再进行化简即可．
【详解】解：阴影部分的面积，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是能根据图形列出算式．
11．C
解析：C
【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．
【详解】解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；

分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；

∵平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．
二、填空题
12．
【分析】分式的值为零，即分子为零，分母不为零，据此解答．
【详解】解：分式的值为零，

故答案为：．
【点睛】本题考查分式的值为零，分式有意义的条件等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
13．－1
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征，即横坐标互为相反数，纵坐标相等，从而得到a、b的值，进而求得a+b的值．
【详解】解：∵点关于y轴的对称点为，
∴，
∴a+b=3+（-4）=-1,
故答案为：-1．
【点睛】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征应用，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征公式是解题关键．
14．A
解析：5
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求．
【详解】解：等式整理得：，
∴5x+1＝A(x+2)+B(x-1)
∴5x+1＝(A+B)x+2A-B，
即A+B＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了分式的加减．解题的关键是通分．
15．          72
【分析】积的乘方等于各个因式分别乘方的积；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；根据幂的运算法则和运算顺序进行计算即可．
【详解】（﹣2a2）2·a＝
a3m+2n==
故答案为：；72．
【点睛】本题主要考查了幂的运算，熟练地掌握幂的各种运算法则和运算顺序是解题的关键．
16．【分析】作点C关于线段AB的对称点D，过点D作DH⊥AC，交AB于点，连接AD，则根据轴对称的性质及点到直线垂线段最短可知DH即为的最小值，进而根据△ADC的面积可进行求解．
【详解】解：作点
解析：
【分析】作点C关于线段AB的对称点D，过点D作DH⊥AC，交AB于点，连接AD，则根据轴对称的性质及点到直线垂线段最短可知DH即为的最小值，进而根据△ADC的面积可进行求解．
【详解】解：作点C关于线段AB的对称点D，过点D作DH⊥AC，交AB于点，连接AD，如图所示：

∴，
根据轴对称的性质及点到直线垂线段最短可知DH即为的最小值，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质、等积法及最短路径问题，熟练掌握利用轴对称的性质求最短路径问题是解题的关键．
17．25
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：∵多项式是完全平方式，
∴m=25．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题
解析：25
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：∵多项式是完全平方式，
∴m=25．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18．4
【分析】由多边形的内角和公式进行计算，即可求出答案．
【详解】解：∵一个多边形的内角和是，
∴，
解得：；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是熟记多边
解析：4
【分析】由多边形的内角和公式进行计算，即可求出答案．
【详解】解：∵一个多边形的内角和是，
∴，
解得：；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是熟记多边形内角和公式进行计算．
19．2或3##3或2
【分析】此题要分两种情况：①当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求a；②当BD=CQ时，△BDP≌△CQP，计算出BP的长，进而可得运
解析：2或3##3或2
【分析】此题要分两种情况：①当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求a；②当BD=CQ时，△BDP≌△CQP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求a．
【详解】解：当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AB=6cm，
∵BD=PC，
∴BP=8-6=2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP=CQ=2cm，
∴a=2÷1=2；
当BD=CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD=6cm，PB=PC，
∴QC=6cm，
∵BC=8cm，
∴BP=4cm，
∴运动时间为4÷2=2（s），
∴a=6÷2=3（m/s），
故答案为：2或3．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
三、解答题
20．(1)
(2)
【分析】（1）原式运用平方差公式直接分解即可；
（2）原式先提取公因式a，再运用完全平方公式分解即可．
(1)
(2)
【点睛】本题考查了用提公因式法
解析：(1)
(2)
【分析】（1）原式运用平方差公式直接分解即可；
（2）原式先提取公因式a，再运用完全平方公式分解即可．
(1)

(2)

【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
21．(1)
(2)无解
【分析】（1）方程两边同乘，然后可求解方程；
（2）方程两边同乘，然后可求解方程．
(1)
解：去分母得：，
移项、合并同类项得：，
解得：；
经检验：当时，，
解析：(1)
(2)无解
【分析】（1）方程两边同乘，然后可求解方程；
（2）方程两边同乘，然后可求解方程．
(1)
解：去分母得：，
移项、合并同类项得：，
解得：；
经检验：当时，，
∴是原方程的解；
(2)
解：去分母得：，
移项、合并同类项得：，
经检验：当时，，
∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
22．见解析
【分析】由BE与CF相等，利用等式的性质得到BC=EF，利用SSS得到三角形ABC与三角形DFE全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
【详解】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=C
解析：见解析
【分析】由BE与CF相等，利用等式的性质得到BC=EF，利用SSS得到三角形ABC与三角形DFE全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
【详解】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
∵在△ABC和△DFE中，
∴△ABC ≌ △DFE，
∴∠A=∠D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．(1)15°
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据AE是高确定∠CEA的度数，再结合三角形内角和定理确定∠BAC和∠CAE的度数，根据AD是角平分线确定∠DAC的度数，进而即可求出∠
解析：(1)15°
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据AE是高确定∠CEA的度数，再结合三角形内角和定理确定∠BAC和∠CAE的度数，根据AD是角平分线确定∠DAC的度数，进而即可求出∠DAE的度数．
（2）过点A作AG⊥BC于G．根据两直线平行的判定定理和性质得到∠DEF=∠DAG，根据AG⊥BC确定∠CGA的度数，再结合三角形内角和定理用∠B和∠C表示∠BAC和∠CAG，根据AD是角平分线得到∠DAC，进而求出∠DAG，即可得到∠DEF与∠B、∠C的大小关系．
（3）过点A作AG⊥BC于G．根据两直线平行的判定定理和性质得到∠DEF=∠DAG，根据AG⊥BC确定∠CGA的度数，再结合三角形内角和定理用∠B和∠C表示∠BAC和∠CAG，根据AD是角平分线得到∠DAC，进而求出∠DAG，即可得到∠DEF与∠B、∠C的大小关系．
(1)
解：∵∠B=35°，∠C=65°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°．
∵AD是角平分线，AE是高，
∴，∠CEA=90°．
∴∠CAE=180°-∠C-∠CEA=25°．
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=15°．
(2)
解：如下图所示，过点A作AG⊥BC于G．

∵EF⊥BC于F，
∴．
∴∠DEF=∠DAG．
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C．
∵AD是角平分线，AG⊥BC，
∴，∠CGA=90°．
∴∠CAG=180°-∠C-∠CGA=90°-∠C．
∴∠DAG=∠DAC-∠CAG=．
∴．
∴．
(3)
解：如下图所示，过点A作AG⊥BC于G．

∵EF⊥BC于F，
∴．
∴∠DEF=∠DAG．
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C．
∵AD是角平分线，AG⊥BC，
∴，∠CGA=90°．
∴∠CAG=180°-∠C-∠CGA=90°-∠C．
∴∠DAG=∠DAC-∠CAG=．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，两直线平行的判定定理和性质，角平分线的性质，综合应用这些知识点是解题关键．
24．(1)甲工厂每天加工40件，则乙工厂每天加工60件
(2)完成这批新产品的加工，该公司要支付15600元
【分析】（1）设甲工厂每天能加工x件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x件新产品，利用工作
解析：(1)甲工厂每天加工40件，则乙工厂每天加工60件
(2)完成这批新产品的加工，该公司要支付15600元
【分析】（1）设甲工厂每天能加工x件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x件新产品，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出甲工厂每天加工新产品的数量，再将其代入1.5x中即可求出乙工厂每天加工新产品的数量；
（2）设甲、乙两个工厂合作m天完成这批新产品的加工任务，利用工作总量＝两个工厂的生产效率之和×工作时间，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再将其代入（500+800）m中即可得出结论．
（1）
解：设甲工厂每天加工x件，则乙工厂每天加工1.5x件，根据题意，得：

解得：，经检验，是原分式方程的根，
答：甲工厂每天加工40件，则乙工厂每天加工60件．
（2）
解：设甲、乙两个工厂合作m天完成这批新产品的加工任务，
依题意得：（40+60）m＝1200，
解得：m＝12，
∴（500+800）m＝（500+800）×12＝15600．
答：完成这批新产品的加工，该公司要支付15600元费用．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
25．(1)120
(2)2021
【分析】（1）设，，再求的值，然后借助完全平方公式求值．
（2）设，，再求出的值，然后借助完全平方公式求值．
（1）设，，则，所以，
（2）设，，则所以，
解析：(1)120
(2)2021
【分析】（1）设，，再求的值，然后借助完全平方公式求值．
（2）设，，再求出的值，然后借助完全平方公式求值．
（1）设，，则，所以，
（2）设，，则所以，
【点睛】本题考查完全平方公式的变式应用，解决本题的关键是理解题目所给的变形方式并正确应用．
26．（1）见解析；（2）⊥；（3）见解析
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°，根据余角的性质可得∠ACD=∠BAE，然后根据AAS即可证得结论；
（2）由于要得出、的位置关系，结
解析：（1）见解析；（2）⊥；（3）见解析
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°，根据余角的性质可得∠ACD=∠BAE，然后根据AAS即可证得结论；
（2）由于要得出、的位置关系，结合图形可猜想：⊥；
（3）如图，作CP⊥AC于点C，延长FD交CP于点P，先证明△BAE≌△FCP，可得∠3=∠P，AB=CP，然后证明△ACD≌△PCD，可得∠4=∠P，进一步即可推出∠4+∠2=90°，问题得证．
【详解】解：（1）证明：∵，，
∴∠ADC=∠E=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∵，
∴∠DAC+∠BAE=90°，
∴∠ACD=∠BAE，
在△DAC和△EBA中，
∵∠ADC=∠E，∠ACD=∠BAE，AC=AB，
∴（AAS）；
（2）结合图形可得：⊥；
故答案为：⊥；
（3）证明：如图，作CP⊥AC于点C，延长FD交CP于点P，
∵AF=CE，
∴AE=CF，
∵，
∴∠1=∠2，
∵∠BAE=∠FCP=90°，
∴△BAE≌△FCP，
∴∠3=∠P，AB=CP，

∵，，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠PCP=90°，AB=CP，
∴∠FCD=45°，AC=PC，
∴∠ACB=∠PCD，
∵CD=CD，
∴△ACD≌△PCD，
∴∠4=∠P，
∵∠3=∠P，
∴∠3=∠4，
∵∠3+∠2=90°，
∴∠4+∠2=90°，
∴∠AGE=90°，即⊥．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
27．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
(3)6
【分析】（1）由角平分线的定义可知，再根据等量代换得出AC =AE，由此可直接利用“SAS”证明；
（2）在BE上截取BM=CF，连接AM．由
解析：(1)证明见解析
(2)，证明见解析
(3)6
【分析】（1）由角平分线的定义可知，再根据等量代换得出AC =AE，由此可直接利用“SAS”证明；
（2）在BE上截取BM=CF，连接AM．由所作辅助线易证，得出，．由题意易判断为等边三角形，即可求出，即说明为等边三角形，得出，由此即得出；
（3）延长BA，CF交于点N．由题意可知为等腰直角三角形，即，．根据平行线的性质和等边对等角即得出BE为的角平分线，从而可求出，进而可求出．由角平分线的性质可得出，从而可求出．又易证，即得出．
(1)
∵AF平分∠CAE，
∴．
∵AB=AC，AB=AE，
∴AC =AE．
又∵AF=AF，
∴．
(2)

证明：∵，
∴，．
如图，在BE上截取BM=CF，连接AM．

在和中，，
∴，
∴，．
∵，，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴，即，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
即AF，EF，BF之间存在的关系为：；
(3)
如图，延长BA，CF交于点N．

∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，．
∵AE∥BC，
∴．
∵，
∴，
∴．
由（1）可知，
∴，
∴，即．
∵为的角平分线，
∴．
∵，
∴，即．
在和中，，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题为三角形综合题，考查等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的定义和性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，综合性强，较难．解题关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题．