北京上万中学数学八年级上册期末试卷.doc

北京上万中学数学八年级上册期末试卷
一、选择题
1、下列是我们一生活中常见的安全标识，其中不是轴对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
2、在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.00015米．用科学记数法表示0.00015是（　　）
A．1.5×104 B．0.15×10﹣3 C．1.5×10﹣4 D．0.15×103
3、下列运算中正确的是（       ）
A． B． C． D．
4、当分式有意义时，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
5、下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（       ）
A． B．
C． D．
6、下列各式从左到右的变形一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
7、如图，已知AD＝BC，再添一个条件仍然不可以证明△ACD≌△CAB的是（　　）

A．AB＝CD B．ADBC C．∠1＝∠2 D．ABDC
8、若关于x的分式方程的解是非负数，则b的取值范围是（     ）
A． B．
C．且 D．且
9、如图，，∠A＝40°，∠D＝45°，求∠2的度数   （       ）

A．85° B．90° C．75° D．45°
二、填空题
10、如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR=PS，则下面三个结论：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC﹣AQ=2SC，其中正确的是（　　）

A．②③④ B．①② C．①④ D．①②③④
11、若分式的值为零，则x＝_______．
12、若点和点关于轴对称，则____________．
13、已知，则的值是__________．
14、已知a2m﹣n＝2，am＝3，则an的值是 _____．
15、如图，已知，直线于点D，且，点P是直线a上一动点，连接PB，PC，若，，，则周长的最小值是______．

16、如图，四边形∽四边形，，，，则______．

17、已知，______．
18、如图，在中，，，，线段，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，当______时，和全等．

三、解答题
19、因式分解
(1)；
(2)．
20、解分式方程：
21、如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C、B，AB=DC，求证：∠A=∠D．

22、如图，将一副三角尺如此放置，，，，点D在边上，不动，将绕点D转动，使线段与相交，线段与相交．

(1)当时，如图1．求的度数；
(2)当与不平行时，如图2，的度数会不会变化？请说明由理．
23、阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．
解决下列问题：
(1)分式是__（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式__形式；
(2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值．
(3)若分式的值为m，则m的取值范围是____（直接写出结果）．
24、先阅读下列材料，然后解答后面的问题：材料：一个三位自然数 （百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”
(1)直接写出：最小的“欢喜数”是 ，最大的“欢喜数”是 ；
(2)求证：任意“欢喜数 ”一定能被11整除；
(3)若“欢喜数 ”m为奇数，且十位数字比个位数字大5， 求所有符合条件的“欢喜数 ”m．
25、如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；
（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．

一、选择题
1、B
【解析】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、B、D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2、C
【解析】C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00015＝1.5×10﹣3、
故选：C．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3、B
【解析】B
【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则逐一判断即可．
【详解】A.a3与2a2不是同类项，不能合并，原计算错误，不合题意；
B. ，计算正确，符合题意；
C. ，原计算错误，不合题意；
D. ，原计算错误，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方法则，解题的关键是熟练掌握整式运算的法则．
4、A
【解析】A
【分析】根据分式分母不为0解答即可．
【详解】解：由，得，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分母不为0是解本题的关键．
5、C
【解析】C
【分析】直接利用因式分解的意义分别判断得出答案．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、从左边到右边的变形，是因式分解，故此选项符合题意；
D、左右两边的式子不相等，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了因式分解，正确把握因式分解的意义是解题的关键．
6、C
【解析】C
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、当c=0时，此时不成立，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
7、D
【解析】D
【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】解：A：根据BC＝AD、AB＝CD、AC＝AC能推出△ABC≌△CDA（SSS），故不符合题意；
B：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2，
∴根据BC＝AD、∠2＝∠1、AC＝AC能推出△ABC≌△CDA（SAS），故不符合题意；
C：根据BC＝AD、∠2＝∠1、AC＝AC能推出△ABC≌△CDA（SAS），故不符合题意；
D：∵AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴根据BC＝AD、AC＝AC和∠BAC＝∠DCA不能推出△ABC≌△CDA，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题难度适中．
8、D
【解析】D
【分析】先解分式方程，用含b的代数式表示出解，令分式方程的解，再根据分母不为零，还可得，联立求解即可．
【详解】解：等号两边同时乘以，可得，
解得，
∵分式方程的解是非负数，
∴且，
解得且，
故选：D．
【点睛】本题考查解分式方程，解含参的分式方程时，一定要注意保证最简公分母不为零．
9、A
【解析】A
【分析】首先根据平行线的性质求得的大小，再根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，即可得出答案．
【详解】∵，
，

故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
二、填空题
10、B
【解析】B
【分析】连接AP,由已知条件利用角平行线的判定可得∠1 = ∠2,由三角形全等的判定得
△APR≌△APS,得AS=AR,由已知可得∠2 = ∠3,得QP=AQ,答案可得.
【详解】解:如图
连接AP,PR=PS,PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,
AP是∠BAC的平分线,∠1=∠2,
△APR≌△APS.
AS=AR,
又QP/AR,
∠2 = ∠3又∠1 = ∠2，
∠1=∠3,
AQ=PQ,
没有办法证明△PQR≌△CPS,③不成立,
没有办法证明AC-AQ=2SC,④不成立.
所以B选项是正确的.
【点睛】本题主要考查三角形全等及三角形全等的性质.
11、-3
【分析】由已知可得，分式的分子为零，分母不为零，由此可得x2-9=0，x-3≠0，解出x即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴x2-9=0，且x-3≠0，
解得x=-2、
故答案为：-2、
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
12、A
【解析】2
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出答案．
【详解】解：∵点A（a＋1，3b−2）和点B（b−1，−2b）关于x轴对称，
∴，
解得：，
．
故答案为：1、
【点睛】本题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
13、
【分析】先利用乘法公式算出的值，再根据分式的加法运算算出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式的求值，解题的关键是掌握分式的加法运算法则．
14、
【分析】根据同底数幂的运算法则及幂的乘方即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查同底数幂的除法及幂的乘方，熟练掌握运算法则，学会变形是解题关键．
15、8
【分析】先找出点关于的对称点，交于，则的周长最小，求出即可．
【详解】解：设直线与交于，当点与点重合时，最小，即的周长最小，
直线于点，且，
直线是的垂直平分线，
，
的周长，
周长的最小值是
【解析】8
【分析】先找出点关于的对称点，交于，则的周长最小，求出即可．
【详解】解：设直线与交于，当点与点重合时，最小，即的周长最小，

直线于点，且，
直线是的垂直平分线，
，
的周长，
周长的最小值是8，
故答案为：7、
【点睛】本题主要考查轴对称最短路线问题，解题的关键是确定点的位置．
16、【分析】利用相似多边形的对应角相等以及四边形内角和定理求得答案即可．
【详解】解：四边形∽四边形，，，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对
【解析】
【分析】利用相似多边形的对应角相等以及四边形内角和定理求得答案即可．
【详解】解：四边形∽四边形，，，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的对应角相等．也考查了四边形内角和定理．
17、11
【分析】将等式的两边同时平方，进而即可求得答案．
【详解】解：，
，
即，
11，
故答案为：11.
【点睛】本题考查完全平方公式的变形，掌握完全平方公式是关键．
【解析】11
【分析】将等式的两边同时平方，进而即可求得答案．
【详解】解：，
，
即，
11，
故答案为：11.
【点睛】本题考查完全平方公式的变形，掌握完全平方公式是关键．
18、5或10
【分析】分两种情况：当AQ=5时，当AQ=10时，利用全等三角形的判定及性质定理得到结论．
【详解】分两种情况：
当AQ=5时，
∵，
∴AQ=BC，
∵AD⊥AC，
∴∠QAP=∠ACB
【解析】5或10
【分析】分两种情况：当AQ=5时，当AQ=10时，利用全等三角形的判定及性质定理得到结论．
【详解】分两种情况：
当AQ=5时，
∵，
∴AQ=BC，
∵AD⊥AC，
∴∠QAP=∠ACB=，
∵AB=PQ，
∴≌△PQA（HL）；
当AQ=10时，
∵，
∴AQ=AC，
∵AD⊥AC，
∴∠QAP=∠ACB=，
∵AB=PQ，
∴△ABC≌△QPA，
故答案为：5或9、
【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质定理，运用分类思想，动点问题，熟记三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．
三、解答题
19、(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解即可求解；
（2）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可求解．
(1)

=     
=
(2)
=
=
=
【点睛】本题考查了因式分
【解析】(1)
(2)
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解即可求解；
（2）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可求解．
(1)

=     
=
(2)

=
=
=
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
20、x=2.
【分析】先去分母，再解一元一次方程得到方程的解，再将解代入最简公分母检验即可.
【详解】，
（x-2）+（x+2）=4，
2x=4，
x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解.
【点睛】此
【解析】x=2.
【分析】先去分母，再解一元一次方程得到方程的解，再将解代入最简公分母检验即可.
【详解】，
（x-2）+（x+2）=4，
2x=4，
x=2，
经检验，x=2是原分式方程的解.
【点睛】此题考查解分式方程，需将分式方程先去分母化为整式方程，解整式方程得解后代入最简公分母中，值为0时原分式方程无解，值不为0时，此解是原分式方程的解.
21、见解析
【分析】只需证明△ACB与△DBC全等即可．
【详解】证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB，
∴△ACB与△DBC均为直角三角形，
在Rt△ACB与Rt△DBC中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DB
【解析】见解析
【分析】只需证明△ACB与△DBC全等即可．
【详解】证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB，
∴△ACB与△DBC均为直角三角形，
在Rt△ACB与Rt△DBC中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△DBC（HL），
∴∠A=∠D，
【点睛】本题考查全等全角三角形的判定与性质，是基础题．注意本题是对两个直角三角形全等的判定，熟悉“HL”定理是解答的关键．
22、(1)；
(2)的度数不会变化，见解析
【分析】（1）根据得出，，即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理得出，，然后通过已知角度数和，即可得出的度数．
(1)
∵，
∴，，
∴
(2)
绕点D转
【解析】(1)；
(2)的度数不会变化，见解析
【分析】（1）根据得出，，即可得出结论；
（2）根据三角形内角和定理得出，，然后通过已知角度数和，即可得出的度数．
(1)
∵，
∴，，
∴
(2)
绕点D转动过程中，的度数不会变化．理由如下：
∵，，
∴

∴
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
23、(1)真分式，
(2)或或或
(3)
【分析】（1）根据分子的次数小于分母的次数可得第一空的答案，再把分子化为 逆用分式的加减法运算可得第二空的答案；
（2）先把原分式化为再结合为整数，为整数，可得
【解析】(1)真分式，
(2)或或或
(3)
【分析】（1）根据分子的次数小于分母的次数可得第一空的答案，再把分子化为 逆用分式的加减法运算可得第二空的答案；
（2）先把原分式化为再结合为整数，为整数，可得或或或从而可得答案；
（3）先把原分式化为再结合从而可得答案．
（1）解：根据新定义可得：是真分式，故答案为：真分式，
（2）∵且为整数，为整数，∴或或或 解得：或或或
（3）∵而 ∴ ∴ ∴ 所以
【点睛】本题考查的是新定义的理解，分式的加减运算的逆应用，不等式的基本性质，理解新定义，掌握分式的加减运算的逆运算是解本题的关键．
24、(1)110；990；
(2)见解析
(3)561和583
【分析】（1）按照题意写出最小的“欢喜数”与最大的“欢喜数”；
（2）可设“欢喜数”为，则有100a+10b+b-a=99a+11b=11
【解析】(1)110；990；
(2)见解析
(3)561和583
【分析】（1）按照题意写出最小的“欢喜数”与最大的“欢喜数”；
（2）可设“欢喜数”为，则有100a+10b+b-a=99a+11b=11(9a+b)，再通过计算即可；
（2）“欢喜数 ” 十位数字比个位数字大5， 且m为奇数，可得a=5，求出符合条件的奇数．
(1)
由题意可得：最小的“欢喜数”是110，最大的“欢喜数”是990；
故答案为：110；990；
(2)
由题意，可设“欢喜数”为，则有：
100a+10b+b-a=99a+11b=11(9a+b)
∵a，b是整数，∴9a+b是整数
∴任意“欢喜数 ”一定能被11整除
(3)
“欢喜数 ” 十位数字比个位数字大5， 且m为奇数
即a=5
∴符合条件的奇数为561和583
【点睛】此题考查了利用整式乘法解决数字新定义问题的能力，关键是能结合题意利用整式乘法进行计算求解．
25、（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．
【分析】（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BD
【解析】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．
【分析】（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN =60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC．
（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．
【详解】解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，
∵ ，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE
∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，
∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，
即：∠MDN =∠NDE=60°，
在△DMN与△DEN中，
∵ ，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．
（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．

理由：在CA上截取CE=BM．
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠DCE=90°，
在△BMD和△CED中
∵ ，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DM= DE，∠BDM=∠CDE
∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，
∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，
即：∠MDN =∠NDE=60°，
在△MDN和△EDN中
∵ ，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．