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苏教版八年级上册苏教版八年级上册 期末总复习典型题期末总复习典型题第一章全等三角形第三章勾股定理CONTENT 目 录第二章轴对称图形第四章实数第五章平面直角坐标系第四章一次函数第一章第一章 全等三角形全等三角形全全等等形形全全等等三三角角形形性质性质判定判定应用应用HL全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等解决问题解决问题SSSSASASAAAS一般三角形一般三角形直直角角三三角角形形知识结构图知识结构图 三角形全等判定方法三角形全等判定方法1用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在ABC与与DEF中中ABCDEF（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或“SASSAS”)知识梳理知识梳理:FEDCBAAC=DFC=FBC=EFA=D（已知（已知）AB=DE（已知（已知）B=E（已知（已知）在在ABC和和DEF中中 ABCDEF（ASA）有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等等等等(可以简写成可以简写成可以简写成可以简写成“角边角角边角角边角角边角”或或或或“ASAASA”）。）。）。）。用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：FEDCBA 三角形全等判定方法三角形全等判定方法2知识梳理知识梳理:三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：三角形全等判定方法三角形全等判定方法3知识梳理知识梳理:知识梳理知识梳理:思考思考思考思考:在在ABC和和DFE中中,当当A=D,B=E和和AC=DF时时,能否得到能否得到 ABCDFE?三角形全等判定方法三角形全等判定方法4 有两角和其中一个有两角和其中一个有两角和其中一个有两角和其中一个角的对边对应相等的两角的对边对应相等的两角的对边对应相等的两角的对边对应相等的两个三角形全等个三角形全等个三角形全等个三角形全等(可以可以可以可以 简写成简写成简写成简写成“角角边角角边角角边角角边”或或或或“AASAAS”）。）。）。）。知识梳理知识梳理:ABDABCSSASSA不能不能不能不能判定全等判定全等判定全等判定全等ABCABCABC知识梳理知识梳理:直角三角形全等判定：直角三角形全等判定：HL用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：用符号语言表达为：在在RtABC和和RtABC中中C=C=90AB=ABAC=AC ABC ABC（HL)二、几种常见全等三角形基本图形二、几种常见全等三角形基本图形平移平移旋转旋转翻折翻折ACDEFG找找复杂图形中的基本图形找找复杂图形中的基本图形设计意图：知道了这几种基本图形，那么在解决全等设计意图：知道了这几种基本图形，那么在解决全等三角形问题时，就容易从复杂的图形中分解出基本图三角形问题时，就容易从复杂的图形中分解出基本图形，解题就会变得简便。形，解题就会变得简便。典型题型1、证明两个三角形全等2、证明两个角相等3、证明两条线段相等一、全等三角形性质应用一、全等三角形性质应用1 1：如图，：如图，AOBCODAOBCOD，AB=7,C=60AB=7,C=60则则CD=CD=,A=,A=.ABCDO76060一、全等三角形性质应用一、全等三角形性质应用2 2：已知：已知ABCDEFABCDEF，A=60,C=50A=60,C=50则则E=E=.70解析；解析；全等三角形对应角相等全等三角形对应角相等一、全等三角形性质应用一、全等三角形性质应用3 3：如图，如图，ABCDEF，DE=4，AE=1，则，则BE的长是（的长是（）A5 B4 C3 D2C解析；解析；全等三角形对应边相等。既全等三角形对应边相等。既AB=ED,BE=AB-AE1 1、证明两个三角形全等、证明两个三角形全等例例例例1 1：如图：如图：如图：如图,点点点点B B在在在在AEAE上上上上,CAB=CAB=DAB,DAB,要使要使要使要使ABCABC ABD,ABD,可补充的一个可补充的一个可补充的一个可补充的一个条件是条件是条件是条件是 .分析：现在我们已知分析：现在我们已知分析：现在我们已知分析：现在我们已知 A ACAB=CAB=DABDAB用用用用SAS,SAS,需要补充条件需要补充条件需要补充条件需要补充条件AD=AC,AD=AC,用用用用ASA,ASA,需要补充条件需要补充条件需要补充条件需要补充条件CBA=CBA=DBA,DBA,用用用用AAS,AAS,需要补充条件需要补充条件需要补充条件需要补充条件C=C=D,D,此外此外此外此外,补充条件补充条件补充条件补充条件CBE=CBE=DBEDBE也可以也可以也可以也可以(?)(?)SASSASASAASAAASAASS S AB=AB(AB=AB(公共边公共边公共边公共边).).AD=AC AD=AC CBA=CBA=DBADBAC=C=D DCBE=CBE=DBEDBE2.2.已知：如图，已知：如图，AB=AC,1=3,AB=AC,1=3,请你再添请你再添一个条件，使得一个条件，使得E=DE=D？为什么？为什么？1.1.已知：如图，已知：如图，AB=AC,AD=AE,AB=AC,AD=AE,请你再添一个条请你再添一个条件，使得件，使得E=DE=D？为什么？为什么？2 2、证明两个角相等、证明两个角相等变式题：变式题：BE=EB(BE=EB(公共边公共边公共边公共边)又又又又 ACAC DB(DB(已知已知已知已知)DBE=DBE=CEB(CEB(两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等)例例例例3:3:如图如图如图如图,AC,AC DB,AC=2DB,EDB,AC=2DB,E是是是是ACAC的中点的中点的中点的中点,求证求证求证求证:BC=DE:BC=DE证明证明证明证明:AC=2DB,AE=EC(AC=2DB,AE=EC(已知已知已知已知)DB=ECDB=ECDB=ECDB=ECBE=EBBE=EB DBEDBE CEB(SAS)CEB(SAS)BC=DE(BC=DE(全等三角形的对应全等三角形的对应全等三角形的对应全等三角形的对应边相等边相等边相等边相等)3、证明两条线段相等例例例例4 4如如如如图图图图,A,E,B,D,A,E,B,D在同一直线上在同一直线上在同一直线上在同一直线上,AB=DE,AC=DF,AC,AB=DE,AC=DF,AC DF,DF,在在在在ABCABC和和和和DEF,(1)DEF,(1)求证求证求证求证:ABC:ABC DEF;DEF;(2)2)你还可以得到的结论是你还可以得到的结论是你还可以得到的结论是你还可以得到的结论是 .(写出一个写出一个写出一个写出一个,不再添加其他线段不再添加其他线段不再添加其他线段不再添加其他线段,不不不不再表注或使用其他字母再表注或使用其他字母再表注或使用其他字母再表注或使用其他字母)(1)(1)证明证明证明证明:ACAC DF(DF(已知已知已知已知)A=A=D(D(两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等)AB=DE(AB=DE(已知已知已知已知)A=A=D(D(已证已证已证已证)AC=DF(AC=DF(已知已知已知已知)ABCABC DEF(SAS)DEF(SAS)在在在在ABCABC和和和和DEFDEF中中中中综合题：综合题：（2 2 2 2）解）解）解）解:根据根据根据根据”全等三角形的对应边全等三角形的对应边全等三角形的对应边全等三角形的对应边(角角角角)相相相相等等等等”可知可知可知可知:C=C=F,F,ABC=ABC=DEF,DEF,EFEF BC,BC,AE=DBAE=DB等等等等BC=EF,BC=EF,综合题综合题:如图如图,A A是是CDCD上的一点上的一点,ABC,ADE ABC,ADE 都是正都是正三角形三角形,求证求证CE=BDCE=BDBACDEFG分析分析:证证ABDACEABDACE变式变式1 1:在原题条件不变的前提下在原题条件不变的前提下,可以可以探求以下结论探求以下结论:(1)(1)求证求证:AG=AF;AG=AF;(2)(2)求证求证:ABFACG;:ABFACG;(3)(3)连结连结GF,GF,求证求证AGFAGF是正三角形是正三角形;(4)(4)求证求证GF/CDGF/CD变式变式2:2:在原题条件下在原题条件下,再增加一个条件再增加一个条件,在在CE,BDCE,BD上分别取中点上分别取中点M,N,M,N,求证求证:AMN:AMN是正三角形是正三角形如图如图,A是是CD上的一点上的一点,ABC,ADE都是正三角形都是正三角形,求证求证CE=BDACDEFGB变式变式3:如图如图,点点C C为线段为线段ABAB延长线上一点延长线上一点,AMC,BNCAMC,BNC为正三角形为正三角形,且在线段且在线段ABAB同同侧侧,求证求证AN=MBAN=MBABCNM分析分析:此中考题与原题相比此中考题与原题相比较较,只是两个三角形的位置只是两个三角形的位置不同不同,此图的两个三角形重此图的两个三角形重叠在一起叠在一起,增加了难度增加了难度,其证其证明方法与前题基本相同明方法与前题基本相同,只只须证明须证明ABNBCMABNBCM变式变式4:如图如图,ABD,ACEABD,ACE都是正三角形都是正三角形,求求证证CD=BECD=BEABCDE分析分析:此题实质上是把题目中的条件此题实质上是把题目中的条件B,A,C三点改为三点改为不共线不共线,证明方法与前题基本相同证明方法与前题基本相同.变式变式6:如图如图,分别以分别以ABCABC的边的边AB,ACAB,AC为一边为一边画正方形画正方形AEDBAEDB和正方形和正方形ACFG,ACFG,连结连结CE,BG.CE,BG.求求证证BG=CEBG=CEABCFGED分析分析:此题是把两个三此题是把两个三角形改成两个正方形而角形改成两个正方形而以以,证法类同证法类同1.1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法和结论，选择恰当的判定方法2.2.全等三角形，是证明两条全等三角形，是证明两条线段线段或两个或两个角角相相等的重要方法之一，证明时等的重要方法之一，证明时要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。角形中。分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。什么条件。有公共边的，公共边一定是对应边，有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角是对应角 小结小结:3.3.注意正确地书写证明格式注意正确地书写证明格式(顺序和对应关系顺序和对应关系).).例题一例题一:已知已知已知已知:如图如图如图如图B=B=DEF,BC=EFDEF,BC=EF,补充条件求证补充条件求证补充条件求证补充条件求证:ABCABC DEFDEFD DE EF FA AB BC C(1)(1)若要以若要以若要以若要以“SAS”SAS”为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件 ；AB=DE(2)(2)若要以若要以若要以若要以“ASA”ASA”为依据，还缺条件；为依据，还缺条件；为依据，还缺条件；为依据，还缺条件；ACB=DFE(3)(3)若要以若要以若要以若要以“AAS”AAS”为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件 A=D(4)(4)若要以若要以若要以若要以“SSS”SSS”为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件 AB=DE AC=DF(5)(5)若若若若B=B=DEF=90DEF=90要以要以要以要以“HLHL”为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件为依据，还缺条件AC=DF例例2、如图、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃样的玻璃,那么最省事的办法是拿那么最省事的办法是拿()去去配配.证明题的分析思路：证明题的分析思路：要证什么要证什么 已有什么已有什么 还还缺什么缺什么缺什么缺什么 创造条件创造条件创造条件创造条件注意注意1、证明两个三角形全等，要结合题目的条件、证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法和结论，选择恰当的判定方法 2、全等三角形，是证明两条、全等三角形，是证明两条线段线段或两个或两个角角相等的重要方法之一，证明时相等的重要方法之一，证明时 要观察待证的线段或角，在哪两个可能全要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。等的三角形中。有有公共边公共边的，的，公共边公共边一定是对应边，一定是对应边，有有公共角公共角的，的，公共角公共角一定是对应角，有一定是对应角，有对顶角对顶角，对顶对顶角角也是对应角也是对应角总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。=_ _ _A AB BC CD DP P例例3已知：如图已知：如图已知：如图已知：如图,P,P是是是是BDBD上的任意一点上的任意一点上的任意一点上的任意一点AB=CB,AD=CD.AB=CB,AD=CD.求证求证求证求证:PA=PC:PA=PC要证明要证明要证明要证明PA=PCPA=PC可将其可将其可将其可将其放在放在放在放在APBAPB和和和和CPBCPB或或或或APDAPD和和和和CPDCPD考虑考虑考虑考虑已有两条边对应相等已有两条边对应相等已有两条边对应相等已有两条边对应相等（其中一条是公共边）（其中一条是公共边）（其中一条是公共边）（其中一条是公共边）还缺一组夹角对还缺一组夹角对还缺一组夹角对还缺一组夹角对应相等应相等应相等应相等 若能使若能使若能使若能使ABP=ABP=CBPCBP或或或或ADP=ADP=CDPCDP即可。即可。即可。即可。创造条件创造条件创造条件创造条件 分分析：析：=_ _ _A AB BC CD DP P例例例例3 3已知：已知：已知：已知：P P是是是是BDBD上的任意一点上的任意一点上的任意一点上的任意一点AB=CB,AD=CD.AB=CB,AD=CD.求证求证求证求证PA=PCPA=PC证明：在证明：在ABD和和CBD中中 AB=CB AD=CD BD=BD ABDCBD(SSS)ABD=CBD 在在ABP和和CBP中中 AB=BC ABP=CBP BP=BP ABP CBP(SAS)PA=PC例例4。已知。已知:如图如图AB=AE,B=E，BC=ED AFCD求证：求证：点点F是是CD的中点的中点分析：要证分析：要证CF=DF可以考虑可以考虑CF、DF所在的两个三角形全等，为此可所在的两个三角形全等，为此可添加辅助线构建三角形全等添加辅助线构建三角形全等，如何，如何添加辅助线呢添加辅助线呢?已有已有AB=AE,B=E，BC=ED 怎样构建三角形能得到两个三角怎样构建三角形能得到两个三角形全等呢？形全等呢？连结AC,AD 添添加加辅辅助助线线是是几几何何证证明明中很重要的一种思路中很重要的一种思路 证明：证明：连结和连结和在在和和中，中，B=E，（）（）（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）AFC=AFD=90，在在tAFC和和tAFD中中 （已证）（已证）（公共边）（公共边）tAFC tAFD（）（全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等）点点F是是CD的中点的中点如果把例如果把例4来个变身，聪明的同学来个变身，聪明的同学们来再试身手吧！们来再试身手吧！已知已知:如图如图AB=AE,B=E，BC=ED，点，点F是是CD的中点的中点 (1)求证：求证：AFCD (2)连接连接BE后，还能得出什么结论？后，还能得出什么结论？（写出两个（写出两个)小结：小结：1、全等三角形的定义，性质，、全等三角形的定义，性质，判定方法。判定方法。2、证明题的方法、证明题的方法 要证什么要证什么 已有什么已有什么 还还缺什么缺什么缺什么缺什么 创造条件创造条件创造条件创造条件 3、添加辅助线、添加辅助线第二章第二章 轴对称图形轴对称图形一、知识概况一、知识概况本章着重研究轴对称的概念，性本章着重研究轴对称的概念，性质，轴对称的作图，应用，以及轴质，轴对称的作图，应用，以及轴对称图形和几个常见的轴对称图形对称图形和几个常见的轴对称图形的性质和判定。的性质和判定。如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。两个图形中的对应点叫做对称点。如果把一个图形沿着一条直线折叠，如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。轴。（一）轴对称和轴对称图形（一）轴对称和轴对称图形1 1、概念、概念2 2、轴对称的性质：、轴对称的性质：成轴对称的两个图形全等；如果两个成轴对称的两个图形全等；如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。的垂直平分线。（二）几个轴对称图形的性质：（二）几个轴对称图形的性质：1、线段、射线、直线。线段是轴对称图形，它有两条对称轴，线段是轴对称图形，它有两条对称轴，它的对称轴是它所在的直线，和线段的垂它的对称轴是它所在的直线，和线段的垂直平分线。直平分线。线段垂直平分线上的点到线段两端的线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端的距离相等的点在距离相等；到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线上。2 2、角：、角：角是轴对称图形，它的对称轴是它角是轴对称图形，它的对称轴是它的角平分线所在的直线。的角平分线所在的直线。角平分线上的点到角的两边的距离相角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。角的平分线上。3、等腰三角形等边三角形二、重、难点剖析二、重、难点剖析1、轴对称和轴对称图形的区别和联系。、轴对称和轴对称图形的区别和联系。区别：区别：轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。对称轴只有一条。分沿某直线对折能完全重合。对称轴只有一条。轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。对关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。对称轴可能会有多条。称轴可能会有多条。联系：两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。2 2、轴对称的性质和几个简单的轴对称、轴对称的性质和几个简单的轴对称图形的性质，是这部分的重点知识，应引图形的性质，是这部分的重点知识，应引起足够的重视。起足够的重视。3 3、轴对称的实际应用应提高到足够、轴对称的实际应用应提高到足够的地位。的地位。4 4、用对称的眼光看问题，解决问题，、用对称的眼光看问题，解决问题，指导辅助线的添加。指导辅助线的添加。例例1 1：如图，如果：如图，如果ACDACD的周长为的周长为17cm17cm，ABCABC的周长为的周长为25cm25cm，根据这些条，根据这些条件，你可以求出哪条线段的长件，你可以求出哪条线段的长?思路点拨思路点拨：（1）ACDACD的周长的周长AD AD CDCDACAC1717；（2 2）ABCABC的周长的周长ABABACACBCBC2525；（3）由DE是BC的垂直平分线得：BDCD；所以ADCD ADBDAB。（4 4）由（）由（2 2）（）（1 1）得）得BCBC8cm.8cm.小结点评小结点评：（2 2）当条件中有线段的垂直平分线时，）当条件中有线段的垂直平分线时，要主动去寻找相等线段。要主动去寻找相等线段。（1 1）分析题意时，要将复杂条件简单化、）分析题意时，要将复杂条件简单化、具体化。具体化。例例2 2：如图，：如图，ADAD是是ABCABC的中线，的中线，ADCADC6060，把，把ADCADC沿直线沿直线ADAD折过来，折过来，C C落在落在CC的位置，的位置，（1 1）在图中找出点）在图中找出点CC，连结，连结BCBC；（2 2）如果）如果BCBC4 4，求，求BCBC的长。的长。思路点拨思路点拨：由于翻折后的图形与翻折前的图形关由于翻折后的图形与翻折前的图形关于折痕对称；所以于折痕对称；所以C C、CC关于直线关于直线ADAD对称，对称，ADAD垂直平分垂直平分CCCC，C 又处于对称位置的元素（线段、角）又处于对称位置的元素（线段、角）对应相等，这为问题解决提供了条件。对应相等，这为问题解决提供了条件。C 解：解：（1 1）画）画COCO垂直垂直ABAB，并延，并延长到长到CC，使得，使得OCOCOCOC，点，点CC即为所求。即为所求。O（2 2）连结）连结CDCD，由对称性得，由对称性得CDCDCDCD，CDACDACDACDA6060；所以；所以BDCBDC6060，所以，所以，CBD是等边三角形，是等边三角形，所以，所以，BCBD2。C 小结点评小结点评：1 1、翻折变换后得到的图、翻折变换后得到的图形与原图形关于折痕对称；对形与原图形关于折痕对称；对应点的连线段被折痕垂直平分；应点的连线段被折痕垂直平分；2 2、解决翻折问题，要注意隐含在图形中的相、解决翻折问题，要注意隐含在图形中的相等线段、相等角，全等三角形；因为一切处于对等线段、相等角，全等三角形；因为一切处于对称位置的线段相等，角相等，三角形全等。称位置的线段相等，角相等，三角形全等。3 3、从对称角度完善图形，让隐含条件显现、从对称角度完善图形，让隐含条件显现出来，这是这部分题目添加辅助线的一个重要规出来，这是这部分题目添加辅助线的一个重要规律。律。练习练习2 2如图，在一个规格为如图，在一个规格为4848的球台上，的球台上，有两个小球有两个小球P P和和Q Q。若击打小球。若击打小球P P经过球台的经过球台的边边ABAB反弹后，恰好击中小球反弹后，恰好击中小球Q Q，则小球，则小球P P击击出时，应瞄准出时，应瞄准ABAB边上的（边上的（）A A、O O1 1点点 B B、O O2 2点点 C C、O O3 3点点 D D、O O4 4点点B B第三章第三章 勾股定理勾股定理1.1.如图，如图，已知在已知在ABC 中，中，B=90，一直角边为一直角边为a，斜边为，斜边为b，则另一直角边，则另一直角边c满足满足c2=.【思考思考】为什么不是为什么不是？答案：因为答案：因为B B 所对的边是斜边所对的边是斜边.答案：答案：（一）知两边或一边一角型（一）知两边或一边一角型 题型一题型一勾股定理的直接应用勾股定理的直接应用考题分类考题分类 2.在在RtABC中，中，C=90.（1）如果）如果a=3，b=4，则则c=；（2）如果）如果a=6，c=10，则则b=；（3）如果）如果c=13，b=12，则，则a=；（4）已知）已知b=3，A=30，求，求a，c.585（一）知两边或一边一角型（一）知两边或一边一角型答案答案:（4 4）a=，c=.1.如图，已知在如图，已知在ABC中，中，B=90，若，若BC4，ABx，AC=8-x，则，则AB=,AC=.2.在在RtABC中中,B=90，b=34,a:c=8:15,则则a=,c=.3.（选做题）在（选做题）在RtABC中，中，C=90，若，若a=12,c-b=8,求求b,c.答案：答案：3.b=5，c=13.351630（二）知一边及另两边关系型（二）知一边及另两边关系型 1.1.对三角形边的分类对三角形边的分类.已知一个直角三角形的两条边长是已知一个直角三角形的两条边长是3 cm和和4 cm，求第三条边的长求第三条边的长注意：注意：这里并没有指明已知的两条边就是直角边，这里并没有指明已知的两条边就是直角边，所以所以4 cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论况讨论答案：答案：5 cm或或 cm.（三）分类讨论的题型（三）分类讨论的题型已知：在已知：在ABC中，中，AB15 cm，AC13 cm，高，高AD12 cm，求，求SABC答案：答案：第第1种情况：如图种情况：如图1，在，在RtADB和和RtADC中，分别由勾股定理，中，分别由勾股定理，得得BD9，CD5，所以，所以BCBD+CD9+514故故SABC84（cm2）第第2种情况，如图种情况，如图2，可得：，可得：SABC=24（cm2）2.对三角形高的分类对三角形高的分类.图图1图图2（三）分类讨论的题型【思考思考】本组题，利用勾股定理解决了哪些类型本组题，利用勾股定理解决了哪些类型题目？注意事项是什么？题目？注意事项是什么？利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段利用勾股定理能求三角形的边长和高等线段的长度的长度.注意没有图形的题目，先画图，再考虑注意没有图形的题目，先画图，再考虑是否需分类讨论是否需分类讨论.1.在一块平地上，张大爷家屋前在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大米远处有一棵大树在一次强风中，这棵大树从离地面树在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒米处折断倒下，量得倒下部分的长是下，量得倒下部分的长是10米出门在外的张大爷米出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到大树倒下时能担心自己的房子被倒下的大树砸到大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）砸到张大爷的房子吗？（）A一定不会一定不会B可能会可能会C一定会一定会D以上答案都不对以上答案都不对A题型二题型二用勾股定理解决简单的实际问题用勾股定理解决简单的实际问题2.如图，滑杆在机械槽内运动，如图，滑杆在机械槽内运动，ACB为直角，已为直角，已知滑杆知滑杆AB长长2.5米，顶端米，顶端A在在AC上运动，量得滑杆下上运动，量得滑杆下端端B距距C点的距离为点的距离为1.5米，当端点米，当端点B向右移动向右移动0.5米时，米时，求滑杆顶端求滑杆顶端A下滑多少米？下滑多少米？AECBD答案：答案：解：设解：设AE的长为的长为x 米，依题意米，依题意得得CE=AC-x,AB=DE=2.5,=2.5,BC=1.5,=1.5,C=90=90，AC=2.=2.BD=0.5,=0.5,AC=2.=2.在在RtECD中，中，CE=1.5.=1.5.2-2-x=1.5=1.5，x=0.5.=0.5.即即AE=0.5.=0.5.答：梯子下滑答：梯子下滑0.50.5米米思考：思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤是什么？是什么？ZxxkZxxk答案：答案：1.1.把实际问题转化成数学问题，找出相应的把实际问题转化成数学问题，找出相应的直角三角形直角三角形.2.2.在直角三角形中找出直角边，斜边在直角三角形中找出直角边，斜边.3.3.根据已知和所求，利用勾股定理解决问题根据已知和所求，利用勾股定理解决问题.1证明线段相等证明线段相等.已知：如图，已知：如图，AD是是ABC的高，的高，AB=10，AD=8，BC=12.求证：求证：ABC是等腰三角形是等腰三角形.答案：答案：证明：证明：AD是是ABC的高，的高，ADB=ADC=90.在在Rt ADB中，中，AB=10，AD=8，BD=6.BC=12,DC=6.在在Rt ADC中，中，AD=8，AC=10，AB=AC.即即ABC是等腰三是等腰三角形角形.分析：分析：利用勾股定理求出线段利用勾股定理求出线段BD的长，也能的长，也能求出线段求出线段AC的长，最后得出的长，最后得出AB=AC，即可，即可.题型三题型三会用勾股定理解决较综合的问题会用勾股定理解决较综合的问题【思考思考1】由由AB=8，BC=10,你可以知道哪些线段长你可以知道哪些线段长？请在图中标出来？请在图中标出来.答案：答案：AD=10，DC=8.2 2解决折叠的问题解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10,求求BE的长的长.2 2解决折叠的问题解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10,求求BE的长的长.【思考思考2】在在Rt DFC中，你可以求出中，你可以求出DF的长吗？请的长吗？请在图中标出来在图中标出来.答案：答案：DF=6.2 2解决折叠的问题解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10,求求BE的长的长.答案：答案：AF=4.【思考思考3】由由DF的长，你还可以求出哪条线段长？的长，你还可以求出哪条线段长？请在图中标出来请在图中标出来.2 2解决折叠的问题解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10,求求BE的长的长.【思考思考4】设设BE=x，你可以用含有，你可以用含有x的式子表示出的式子表示出哪些线段长？请在图中标出来哪些线段长？请在图中标出来.答案：答案：EF=x，AE=8-x，CF=10.2 2解决折叠的问题解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10,求求BE的长的长.Zxxk【思考思考5】你在哪个直角三角形中，应用勾股定你在哪个直角三角形中，应用勾股定理建立方程？你建立的方程是理建立方程？你建立的方程是 .答案：答案：直角三角形直角三角形AEF,A=90,AE=8-x，.2 2解决折叠的问题解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10,求求BE的长的长.【思考思考6】图中共有几个直角三角形？每一个直角图中共有几个直角三角形？每一个直角三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？三角形的作用是什么？折叠的作用是什么？答案：答案：四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化，四个，两个用来折叠，将线段和角等量转化，一个用来知二求一，最后一个建立方程一个用来知二求一，最后一个建立方程.2 2解决折叠的问题解决折叠的问题.已知如图，将长方形的一边已知如图，将长方形的一边BC沿沿CE折叠，折叠，使得点使得点B落在落在AD边的点边的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10,求求BE的长的长.【思考思考7】请把你的解答过程写下来请把你的解答过程写下来.答案：答案：设设BE=x，折叠，折叠，BCEFCE，BC=FC=10.令令BE=FE=x，长方形，长方形ABCD，AB=DC=8，AD=BC=10，D=90，DF=6,AF=4，A=90,AE=8-x，解得，解得 x=5.BE的长为的长为5.3.做高线，构造直角三角形做高线，构造直角三角形.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，B=45，C=60，AB=2.求（求（1）BC的长；（的长；（2）SABC.分析分析：由于本题中的：由于本题中的ABC不是直角三角形，所以添加不是直角三角形，所以添加BC边上的高这条辅助线，就可以求得边上的高这条辅助线，就可以求得BC及及S ABC.答案：答案：过点过点A作作AD BC于于D,ADB=ADC=90.在在ABD中，中，ADB=90，B=45，AB=2，AD=BD=.在在ABD中，中，ADC=90，C=60，AD=，CD=,BC=，S ABC=1+3.3.做高线，构造直角三角形做高线，构造直角三角形.已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，B=45，C=60，AB=2.求（求（1 1）BC 的长；（的长；（2 2）S SABCABC.思考思考：在不是直角三角形中如何求线段长和面积？解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三解一般三角形的问题常常通过作高转化成直角三角形，利用勾股定理解决问题角形，利用勾股定理解决问题.思考：思考：利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？利用勾股定理解决综合题的基本步骤是什么？1.1.画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造画图与标图，根据题目要求添加辅助线，构造直角三角形直角三角形.2.2.将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中.3.3.利用勾股定理列出方程利用勾股定理列出方程.4.4.解方程，求线段长，最后完成解题解方程，求线段长，最后完成解题.1 1下列线段不能组成直角三角形的是（下列线段不能组成直角三角形的是（）A Aa=8=8，b=15=15，c=17 B=17 Ba=9=9，b=12=12，c=15=15 C Ca=，b=，c=D=Da：b：c=2=2：3 3：4 42.2.如图，在由单位正方形组成的网格图中标有如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（）四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的是（）CD,EF,GHAB,EF,GHAB,CD,GHAB,CD,EFCEBHDFAGDB题型四题型四勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理的应用已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且且AB BC.求四边形求四边形 ABCD的面积的面积.分析：分析：本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理本题解题的关键是恰当的添加辅助线，利用勾股定理的逆定理判定的逆定理判定ADC的形状为直角三角形，再利用勾股定理的形状为直角三角形，再利用勾股定理解题解题.答案：答案：连接连接AC,AB BC，ABC=90.在在ABC中，中，ABC=90，AB=1，BC=2，AC=.CD=2，AD=3,ACD是直角三角形；是直角三角形；四边形的面四边形的面积为积为1+.由形到数由形到数实际问题实际问题(直角三角形边长计算直角三角形边长计算)勾股定理勾股定理勾股定理的勾股定理的逆定理逆定理实际问题实际问题(判定直角三角形判定直角三角形)由数到形由数到形互逆互逆 定定理理复习归纳复习归纳勾股定理勾股定理勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理题题设设在在RtABC 中中,C=900在在ABC 中中,三边三边a,b,c满足满足a2+b2=c2结结论论a2+b2=c2C=900作作用用1.用勾股定理进行计算用勾股定理进行计算2.证明与平方有关的问题证明与平方有关的问题3.解决实际问题解决实际问题1.判断某三角形是否为判断某三角形是否为直角三角形直角三角形2.解决实际问题解决实际问题联联系系1.两个定理都与两个定理都与“三角形的三边关系三角形的三边关系a2+b2=c2”有关有关;2.都与直角三角形有关；