高考数学知识点专题复习检测2.doc

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第三讲　导数及应用
一、选择题
1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能
为 (　　)

答案：D
2．(2009·江西)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x
＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为 (　　)
　 A．4 B．－ C．2 D．－
解析：依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x，f′(1)＝g′(1)＋2＝4.
答案：A
3．(2010·江西)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则
f′(0)＝ (　　)
A．26 B．29 C．212 D．215
解析：函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，
而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故选C.
答案：C
4．若f(x)＝－x2＋bln (x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是 (　　)
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
解析：由题意知f′(x)＝－x＋≤0，
x∈(－1，＋∞)，
即f′(x)＝≤0，
即－x2－2x＋b＝－(x＋1)2＋1＋b≤0.
∴1＋b≤0，b≤－1.
答案：C
5．(2010·天津理)设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则方程f(x)＝0 (　　)
A．在区间，(1，e)内均有实根
B．在区间，(1，e)内均无实根
C．在区间内有实根，在区间(1，e)内无实根
D．在区间内无实根，在区间(1，e)内有实根
解析：因为f′(x)＝－，令f′(x)＝0，则x＝3.当x∈(0,3)时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,3)
上单调递减．因为f·f(1)＝·＝>0，
因此f(x)在内无零点．
又f(1)·f(e)＝·＝<0.
因此f(x)在(1，e)内有零点．
答案：D
二、填空题
6．若过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________．切线的斜率为________．
解析：y′＝ex，设切点的坐标为(x0，y0)则＝ex0，即＝ex0，∴x0＝1.因此切点的
坐标为(1，e)，切线的斜率为e.
答案：(1，e)　e
7．(2009·苏北四市联考)已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f＝________.
解析：由已知，得f′(x)＝f′cos x－sin x.
则f′＝－1，因此f(x)＝－sin x＋cos x，f＝0.
答案：0
8．(2009·福建理)若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是
________．
解析：∵f′(x)＝5ax4＋，x∈(0，＋∞)，
∴由题知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解．
即a＝－在(0，＋∞)上有解．
∵x∈(0，＋∞)，∴－∈(－∞，0)．
∴a∈(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
9．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝2x－9，且f(0)的值为整数，当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，则n＝________.
解析：由题可设f(x)＝x2－9x＋c(c∈R)，又f(0)的值为整数，即c为整数，∴f(n)＝
n2－9n＋c为整数，f(n＋1)＝(n＋1)2－9(n＋1)＋c＝n2－7n＋c－8为整数，又x∈[n，
n＋1](n∈N*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，∴n2－7n＋c－8＝n2－9n
＋c，即n＝4.
答案：4
三、解答题
10．(2010·江西)设函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．
解：函数f(x)的定义域为(0,2)，
f′(x)＝－＋a.
(1)当a＝1时，f′(x)＝，
所以f(x)的单调递增区间为(0，)，
单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0,1]时f′(x)＝＋a>0，
即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.
11．(2010·课标全国)设函数f(x)＝ex－1－x－ax2.
(1)若a＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，0)单调
减少，在(0，＋∞)单调增加．
(2)f′(x)＝ex－1－2ax.
由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．
故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，
从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.
由ex>1＋x(x≠0)可得e－x>1－x(x≠0)．
从而当a>时，f′(x)<ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x·(ex－1) (ex－2a)，
故当x∈(0，ln 2a)时，f′(x)<0，而f(0)＝0，于是当x∈(0，ln 2a)时，f(x)<0.
综合得a的取值范围为.
12．(2010·陕西)已知函数f(x)＝，g(x)＝aln x，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切
线方程；
(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；
(3)对(2)中的φ(a)和任意的a>0，b>0，
证明：φ′≤≤φ′.
解：(1)f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，
由已知得解得a＝，x＝e2，
∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)．
切线的斜率为k＝f′(e2)＝，
∴切线的方程为y－e＝(x－e2)．
(2)由条件知h(x)＝－aln x(x>0)，
∴h′(x)＝－＝，
(i)当a>0时，令h′(x)＝0，解得x＝4a2，
∴当0<x<4a2时，h′(x)<0，h(x)在(0,4a2)上递减；当x>4a2时， h′(x)>0，h(x)在
(4a2，＋∞)上递增．
∴x＝4a2是h(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小
值点．
∴最小值φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln 4a2＝2a(1－ln 2a)．
(ii)当a≤0时，h′(x)＝>0，h(x)在(0，＋∞)上递增，无最小值．
故h(x)的最小值φ(a)的解析式为φ(a)＝2a(1－ln 2a)(a>0)．
(3)证明：由(2)知φ′(a)＝－2ln 2a，
对任意的a>0，b>0，
＝－
＝－ln (4ab)，①
φ′＝－2ln＝－ln(a＋b)2≤ln (4ab)，②
φ′＝－2ln≥－2ln
＝－ln (4ab)，③
故由①②③得φ′≤≤φ′.

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