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八年级期末试卷练习（Word版含答案）
一、选择题
1．二次根式中字母x的取值可以是（　　）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝5
2．下列线段，，能组成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．如图，以的顶点为圆心，以长为半径作弧；再以顶点为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，则四边形是平行四边形的理由是（ ）

A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4．小君周一至周五的支出分别是（单位：元）：，，，，则这组数据的平均数是（ ）
A． B． C． D．
5．在棱长为1的正方体中，顶点A，B的位置如图所示，则A、B两点间的距离为（ ）

A．1 B． C． D．
6．如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝4，将纸片沿对角线AC对折，使得点B落在点B′的位置，连接DB'，则DB'的长为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．15
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）

A．5 B．6 C．12 D．13
8．如图，已知直线，过点作轴的垂线交直线于点过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；······，按此作法继续下去，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
9．使式子有意义的x的取值范围是______．
10．若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为__________．
11．《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图所示，中，求的长．在这个问题中，可求得的长为_________．

12．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DE，若AB＝4，BC＝3，则AE的长是____．

13．一次函数的图象经过点，那么______．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于_____．

15．如图1，点P从的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则的边的长度为___．

16．如图，，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为________．

三、解答题
17．计算：
（1）．
（2）．
18．春节期间，乐乐帮妈妈挂灯笼时，发现，如图长2.5米的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为1.5米，当梯子的底端向右移动0.5米到处时，你能帮乐乐算算梯子顶端下滑多少米吗？（处）．

19．如图，网格中的，若小方格边长为，请你根据所学的知识，
（1）判断是什么形状？并说明理由；
（2）求的面积．

20．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．

21．先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：（a＞b）
例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12
即，
∴=
（1）填空：＝　 　，＝　 　；
（2）化简：．
22．在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间的关系如图所示．其中甲蜡烛燃烧前的高度是，乙蜡烛燃烧前的高度是，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛从点燃到燃尽所用的时间分别是 ；
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时，与之间的函数关系式；
（3）当为何值时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等（不考虑都燃尽时的情况)？在什么时间段内甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内甲蜡烛比乙蜡烛低？

23．共顶点的正方形ABCD与正方形AEFG中，AB=13，AE=5．
（1）如图1，求证：DG=BE；
（2）如图2，连结BF，以BF、BC为一组邻边作平行四边形BCHF．
①连结BH，BG，求的值；
②当四边形BCHF为菱形时，直接写出BH的长．

24．如图，直线1与直线m交于点Q，直线m与坐标轴分别交于A、B两点，直线l与y轴交与点C，已知B、C两点关于x轴对称且BC＝6．
（1）求直线l和直线m的解析式；
（2）若P为直线l上一动点，S△PAB＝S△OAB，求点P的坐标；
（3）M为直线l上一动点，N为平面内一点，直接写出所有使得以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．

25．已知中，.点从点出发沿线段移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点.
（1）如图①，当点为的中点时，求的长；
（2）如图②，过点作直线的垂线，垂足为，当点、在移动的过程中，设，是否为常数？若是请求出的值，若不是请说明理由.
（3）如图③，E为BC的中点，直线CH垂直于直线AD，垂足为点H，交AE的延长线于点M；直线BF垂直于直线AD，垂足为F；找出图中与BD相等的线段，并证明.

【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数得到，求解即可．
【详解】
解：由题意，得，
解得，
故可以取，
故选：D．
【点睛】
考查了二次根式的意义和性质，解题的关键是掌握概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．C
解析：C
【分析】
根据如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【详解】
解：、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
、，不能组成直角三角形，故此选项错误；
、，能组成直角三角形，故此选项正确；
、，不能组成直角三角形，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定解答即可．
【详解】
解：由题意可知，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题关键．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
用这组数据的和除以数据的个数就可计算出这组数据的平均数，据此解答即可．
【详解】
解：（7+10+14+7+12）÷5=50÷5=10（元），
故选：B．
【点睛】
此题主要考查的是平均数的含义及其计算方法，关键是要熟练掌握平均数的计算方法．
5．C
解析：C
【分析】
根据Rt△ABC和勾股定理可得出AB两点间的距离．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝，

可得：AB＝，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，得出正方体上A、B两点间的距离为直角三角形的斜边是解题关键．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
先利用平行四边形的性质得到，再由折叠的性质得到，，由此可得到，再利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
由折叠的性质可知：，，
∴，
∴，
∴在直角三角形中，
故选A．

【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：∵∠C=90∘，
∴AB2=AC2+BC2=32+22=13，
∴正方形面积S=AB2=13，
故选D.
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，属于基础题.
8．C
解析：C
【分析】
先根据所给一次函数判断出直线与轴夹角是30°，在含有30°角的直角三角形中依次得到线段长度，表示出A、A1、A2…及B、B1、B2…的坐标，找到规律后求出A2020的坐标，再根据A2020的坐标与B2020的纵坐标相同即可得出结论．
【详解】
解：∵直线l的解析式为：，
∴直线l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO＝30°，
∵OA＝1，
∴AB＝，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1＝60°，
∴AA1＝3，
∴A1（0，4），B1（，4），
同理可得B2（，16），
…
∴A2020纵坐标为：，
∴A2020（0，），
∴B2020（，），
故选C．
【点睛】
本题考查了一次函数的综合题应用，从可求得的坐标中寻找规律，得出结论，解决本题的关键是判断出直线与轴的夹角．
二、填空题
9．且
【解析】
【分析】
根据分式的分母不能为0，二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可．
【详解】
由题意得：3-5x≥0且x+1≠0，
解得 x≤且 x≠−1 ，
故答案为： x≤且 x≠−1．
【点睛】
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式和二次根式的定义．
10．30
【解析】
【分析】
因为菱形的对角线互相垂直，互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
【详解】
解：菱形的面积为：．
故答案为：30．
【点睛】
本题考查菱形的性质，关键知道菱形的对角线互相垂直，然后根据面积等于对角线乘积的一半求出结果．
11．A
解析：55
【解析】
【分析】
设AC=x，可知AB=10-x，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】
解：设AC=x，
∵AC+AB=10，
∴AB=10-x．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x)2
解得：x=4.55，
即AC=4.55．
故答案为：4.55．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
12．A
解析：
【分析】
由折叠的可知，AD=A'D，AE=A'E，∠A=∠DA'E，分别求出A'D=3，BD=5，A'B=2，在Rt△A'EB中，由勾股定理得（4-AE）2=AE2+22，即可求AE=．
【详解】
解：由折叠的可知，AD=A'D，AE=A'E，∠A=∠DA'E，
∵AB=4，BC=3，
∴A'D=3，BD==5，
∴A'B=2，
在Rt△A'EB中，EB2=A'E2+A'B2，
∴（4-AE）2=AE2+22，
∴AE=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质，熟练应用勾股定理是解题的关键．
13．
【分析】
直接把点代入一次函数，求出的值即可．
【详解】
解：一次函数的图象经过点，
，解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是掌握一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
14．A
解析：
【详解】
解：设AC与BD相交于点O，连接OP，过D作DM⊥AC于M，

∵四边形ABCD是矩形，
∴，AC=BD，∠ADC=90°．
∴OA=OD．
∵AB=3，AD=4，∴由勾股定理得：AC= ．
∵ ，∴DM=．
∵，
∴ ．
∴PE+PF=DM=．故选B．
15．10
【分析】
根据图2中的曲线可得，当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，图1中的AC=BC=13，当点P运动到AB中点时，此时CP⊥AB，根据图2点Q为曲线部分的最低点，可得CP=12，根
解析：10
【分析】
根据图2中的曲线可得，当点P在△ABC的顶点A处，运动到点B处时，图1中的AC=BC=13，当点P运动到AB中点时，此时CP⊥AB，根据图2点Q为曲线部分的最低点，可得CP=12，根据勾股定理可得AP=5，再根据等腰三角形三线合一可得AB的长．
【详解】
根据题图②可知：
当点P在点A处时，
，
当点P到达点B时，
，
∴为等腰三角形，当点P在AB上运动且CP最小时，时，，∴的AB边的高为12，
如解图，当时，，
在中，，
∴．

故答案为：10.
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
16．【分析】
根据折叠性质和余角定理可知是等腰直角三角形，是直角三角形，运用勾股定理求出DF的值，最后用勾股定理得出的值．
【详解】
解：根据折叠的性质可知，，，，，
∴；
∵，(三角形外角定理)，
解析：
【分析】
根据折叠性质和余角定理可知是等腰直角三角形，是直角三角形，运用勾股定理求出DF的值，最后用勾股定理得出的值．
【详解】
解：根据折叠的性质可知，，，，，
∴；
∵，(三角形外角定理)，
(、都是的余角，同角的余角相等)，
∴，
∵在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵和互为补角，
∴，
∴，为直角三角形，
∵，
∴，
∵根据勾股定理求得，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查折叠性质与勾股定理的应用，掌握折叠性质及勾股定理，运用等面积法求出CE的值是解题关键．
三、解答题
17．（1）；（2）
【分析】
（1）根据二次根式的除法法则计算，二次根式的性质化简即可；
（2）根据二次根式的乘法以及二次根式的加减法运算进行计算即可
【详解】
（1）
；
（2）
．
【点睛】
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）根据二次根式的除法法则计算，二次根式的性质化简即可；
（2）根据二次根式的乘法以及二次根式的加减法运算进行计算即可
【详解】
（1）

；
（2）

．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质以及二次根式的运算法则是解题的关键．
18．5米
【分析】
在中，由勾股定理可求出AC的值，在中，由勾股定理可求出CE的值，最后根据线段的和差关系即可得出答案．
【详解】
解：∵，在中，由勾股定理得，，
∴米，（负值已舍去）
∵米，
∴在中，
解析：5米
【分析】
在中，由勾股定理可求出AC的值，在中，由勾股定理可求出CE的值，最后根据线段的和差关系即可得出答案．
【详解】
解：∵，在中，由勾股定理得，，
∴米，（负值已舍去）
∵米，
∴在中，，
∴米
∴（米）
答：梯子顶端下滑0.5米．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，在直角三角形里根据勾股定理，知道其中两边就可求出第三边，从而可求解．
19．（1）直角三角形，理由见解析；（2）5
【解析】
【分析】
（1）根据网格及勾股定理分别求出AB2、BC2、AC2的长，得出，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC的形状；
（2）判断出AB和AC
解析：（1）直角三角形，理由见解析；（2）5
【解析】
【分析】
（1）根据网格及勾股定理分别求出AB2、BC2、AC2的长，得出，再根据勾股定理的逆定理判断出三角形ABC的形状；
（2）判断出AB和AC分别为底和高，利用公式直接计算出面积．
【详解】
解：（1）∵，
，
，
，
为直角三角形；
（2）由（1）可知：

；
的面积为．
【点睛】
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，三角形的面积，充分利用网格是解题关键．
20．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先根据已知条件，证明四边形DBCE是平行四边形，可得EC∥AB，且EC＝DB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则可得四边形是平行四边形，根据邻边相
解析：（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先根据已知条件，证明四边形DBCE是平行四边形，可得EC∥AB，且EC＝DB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则可得四边形是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
（2）根据已知条件可得是等边三角形，进而求得，根据，进而根据菱形的性质求得面积．
【详解】
（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴EC∥AB，且EC＝DB．
在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴AD＝DB＝CD．
∴EC＝AD．
四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是菱形．
（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，

是等边三角形
∴AD＝DB＝CD＝6．
∴AB＝12，由勾股定理得．
∵四边形DBCE是平行四边形，
∴DE＝BC＝6．
∴菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
21．（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）化简时，根据范例确定a，b值为3和1，化简时，根据范例确定a，b值为4和5，再根据范例求解.（2）化简时，根据范例确定a，b值为15和4，再根据范例求
解析：（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）化简时，根据范例确定a，b值为3和1，化简时，根据范例确定a，b值为4和5，再根据范例求解.（2）化简时，根据范例确定a，b值为15和4，再根据范例求解.
【详解】
解：（1）在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3
即，
∴=；
首先把化为，这里m＝9，n＝20，由于4+5＝9，4×5＝20
即，
∴=
（2）首先把化为，这里m＝19，n＝60，由于15+4＝19，15×4＝60
即，
∴=
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键.
22．（1），；（2），；（3）当时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等；当时，甲蜡烛比乙蜡烛高，当时，甲蜡烛比乙蜡烛低．
【分析】
（1）根据函数图象可以解答本题；
（2）先设出甲、乙两根蜡烛燃烧时，
解析：（1），；（2），；（3）当时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等；当时，甲蜡烛比乙蜡烛高，当时，甲蜡烛比乙蜡烛低．
【分析】
（1）根据函数图象可以解答本题；
（2）先设出甲、乙两根蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式，然后根据函数图象中的数据即可求得相应的函数解析式；
（3）根据题意，令（2）中的两个函数解析式的值相等，即可解答本题．
【详解】
解：（1）由图象可知，
甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是从点燃到烧尽所用小时分别是
故答案为：；
（2）设甲蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式

即甲蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式
设乙蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式

即乙蜡烛燃烧时，y与x之间的函数解析式y=-10x+25；
∴，；
（3）由得即当时，甲、乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等；观察图像可知，当时，甲蜡烛比乙蜡烛高，当时，甲蜡烛比乙蜡烛低．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
23．（1）证明见解析；（2）①；②BH的长为17或7．
【分析】
（1）证，即可得出结论；
（2）①连接，延长交于，设与的交点为，证，得，，证为等腰直角三角形，即得结论；
②分两种情况，证出点、、在一条
解析：（1）证明见解析；（2）①；②BH的长为17或7．
【分析】
（1）证，即可得出结论；
（2）①连接，延长交于，设与的交点为，证，得，，证为等腰直角三角形，即得结论；
②分两种情况，证出点、、在一条直线上，求出，则，由勾股定理求出，求出，即可得出答案．
【详解】
（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AD=AB=CB，AG=AE，∠DAB=∠GCE=90°，
∴∠DAB﹣∠GAF=∠GCE﹣∠GAF，
即∠DAG=∠BAE，
在△DAG和△BAE中，
，
∴△DAG≌△BAE(SAS)，
∴DG=BE；
（2）①连接GH，延长HF交AB于N，设AB与EF的交点为M，如图2所示：

∵四边形BCHF是平行四边形，
∴HFBC，HF=BC=AB．
∵BC⊥AB，
∴HF⊥AB，
∴∠HFG=∠FMB，
又AGEF，
∴∠GAB=∠FMB，
∴∠HFG=∠GAB，
在△GAB和△GFH中，
，
∴△GAB≌△GFH(SAS)，
∴GH=GB，∠GHF=∠GBA，
∴∠HGB=∠HNB=90°，
∴△GHB为等腰直角三角形，
∴BHBG，
∴；
②分两种情况：
a、如图3所示：

连接AF、EG交于点O，连接BE．
∵四边形BCHF为菱形，
∴CB=FB．
∵AB=CB，
∴AB=FB=13，
∴点B在AF的垂直平分线上．
∵四边形AEFG是正方形，
∴AF=EG，OA=OF=OG=OE，AF⊥EG，AE=FE=AG=FG，
∴点G、点E都在AF的垂直平分线上，
∴点B、E、G在一条直线上，
∴BG⊥AF．
∵AE=5，
∴AF=EGAE=10，
∴OA=OG=OE=5，
∴OB12，
∴BG=OB+OG=12+5=17，
由①得：BHBG=17；
b、如图4所示：

连接AF、EG交于点O，连接BE，
同上得：点B、E、G在一条直线上，OB=12，BG=OG+OB﹣OG=12﹣5=7，
由①得：BHBG=7；
综上所述：BH的长为17或7．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．（1）直线l的解析式为，直线m的解析式为；（2）P（，）或P（，）；（3）N1（，）或N2（，）或N3（，）或N4（，）或N5（，）
【解析】
【分析】
（1）根据B、C两点关于x轴对称且BC＝6，
解析：（1）直线l的解析式为，直线m的解析式为；（2）P（，）或P（，）；（3）N1（，）或N2（，）或N3（，）或N4（，）或N5（，）
【解析】
【分析】
（1）根据B、C两点关于x轴对称且BC＝6，得出B、C两点的坐标，然后用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）先求出A点和B点的坐标，从而求出三角形AOB的面积，即可得到三角形PAB的面积，过点P作PD∥y轴，交直线m于D，根据三角形PAB的面积可以得到PD的长度，即可求解；
（3）利用菱形的对角线互相平分和邻边相等的性质进行分类讨论求解即可.
【详解】
解：（1）∵B、C两点关于x轴对称且BC＝6，
∴B（0，3），C（0，-3），
设直线l的解析式为，直线m的解析式为，
∵直线l经过Q（，），C（0，-3），
∴，
解得：，
∴直线l的解析式为，直线m的解析式为；
（2）过点P作PD∥y轴，交直线m于D，
∵直线m的解析式为与x轴交于A点，
∴A（4，0），
∴OA=4，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
设P（a，3a-3），则D（a，），
∴，
∴
∴解得或
∴P（，）或P（，）；

（3）设M（m，3m-3），N（p，q），A（4，0），B（0，3），
①如图，以AB为对角线时，AM=AN，
由菱形的对角线互相平分得
，解得，
∵AM=AN，
∴，
解得，
∴N1（，）；

②如图，当以AM为对角线时，AN=AB，由菱形的对角线互相平分得
，解得，
∵AN=AB，
∴，
解得：或，
∴N2（，），N3（，）；

③当以AN为对角线时，AM=AB，由菱形的对角线互相平分得
，解得，
∵AM=AB，
∴，
解得：或，
∴N4（，），N5（，）；
∴综上所述，存在N1（，）或N2（，）或N3（，）或N4（，）或N5（，）使得以A、B、M、Q为顶点的四边形是菱形.
【点睛】
本题考查了待定系数 法求一次函数解析式，三角形的面积，菱形的性质，中点坐标公式，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
25．（1）3；（2）6（3）BD=AM，证明见解析
【分析】
（1）因为速度相等和等腰三角形的已知条件，作平行线构造全等三角形，问题得以解决. （2）这类题一般结论成立，根据（1）中的思路，加上等腰三角
解析：（1）3；（2）6（3）BD=AM，证明见解析
【分析】
（1）因为速度相等和等腰三角形的已知条件，作平行线构造全等三角形，问题得以解决. （2）这类题一般结论成立，根据（1）中的思路，加上等腰三角形的性质，可以求出定值. （3）根据已知条件可以判断是等腰直角三角形，近而求出≌，得出ED=EM,即可得出结论.
【详解】
（1）

如图，过P点作PF∥AC交BC于F，
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，
∴BP=CQ，
∵PF//AQ，
∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠PFB，
∴BP=PF，
∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，
∴△PFD≌△QCD，
∴DF=CD=CF，
又因P是AB的中点，PF∥AQ，
∴F是BC的中点，即FC=BC=6，
∴CD=CF=3；
（2）为定值.

如图②，点P在线段AB上，
过点P作PF//AC交BC于F，
则有（1）可知△PBF为等腰三角形，
∵PE⊥BF
∴BE=BF
∵有（1）可知△PFD≌△QCD
∴CD=
∴
(3)BD=AM
证明：∵
∴
∴是等腰直角三角形
∵E为BC的中点
∴
∴,
∴，
∵AH⊥CM
∴
∵
∴
∴≌ (ASA)
∴
∴
即：