平面直角坐标系知识梳理及经典题型.doc

平面直角坐标系

知识结构图：

一、知识要点：
（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。记作（a ，b）
（二）平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；
1、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（）一一对应；其中，为横坐标，为 纵坐标坐标；
2、轴上的点，纵坐标等于0；轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限
（三）四个象限的点的坐标具有如下特征：
象限
横坐标
纵坐标
第一象限
正
正
第二象限
负
正
第三象限
负
负
第四象限
正
负

1、点P（）所在的象限 横、纵坐标、的取值的正负性；
2、点P（）所在的数轴 横、纵坐标、中必有一数为零；
P（）

（四）在平面直角坐标系中，已知点P，则
1、点P到轴的距离为；
2、点P到轴的距离为；
3、点P到原点O的距离为PO＝

（五）平行直线上的点的坐标特征：
1、在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；
Y
A
B

B

点A、B的纵坐标都等于；
X

Y
X
2、 2、在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；
C

D

点C、D的横坐标都等于；

（六）对称点的坐标特征：
1、点P关于轴的对称点为， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；
2、点P关于轴的对称点为， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；
X
y
P

O

X
y
P

O
X
y
P

O
3、点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；

关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称

（七）两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：
1、若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等；
2、若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；
y
P

O
X
X
y
P

O

在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上

（八）利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：
1、建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
2、根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
3、在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
P（x，y）
P（x，y－a）
P（x－a，y）
P（x＋a，y）
P（x，y＋a）
向上平移a个单位长度
向下平移a个单位长度
向右平移a个单位长度
向左平移a个单位长度
（九）用坐标表示平移：见下图

二、题型分析：
题型一： 代数式与点坐标象限判定
此类问题通常与不等式（组）联系在一起，或由点所在的象限确定字母的取值范围，或由字母的取值范围确定点所在的象限．
【例1】在平面直角坐标系中，点在（　　）
　　Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限
【解析】由各象限点的特征知，点在第四象限，故选D．
【点评】解答这类问题所需的知识点是第一、二、三、四象限内的点的坐标符号分别是（+，+）、（-，+）、（-，-）、（-，+）．
【例2】若点（）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点一定在（　　）
　　A．第一象限　　B．第二象限　　C．第三象限　　D．第四象限
【解析】由题意知，解得于是点P的坐标为（1，-1），于是点P在第二象限．选B．
【点评】本题设置了一个小小的障碍，即先根据横坐标与纵坐标互为相反数列出方程解出m，然后才能根据会标特点确定象限．
【例3】若点P（a，b）在第四象限，则点M（b-a，a-b）在 （ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
答案：B
分析：第四象限横坐标大于0，纵坐标小于0.
【例4】如果a－b＜0,且ab＜0,那么点(a，b)在 ( )
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限, D、第四象限.
答案：B
【例5】对任意实数x，点P（x，x2－2x）一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：C
【例7】点P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则P点的坐标是　　 　　。
答案：（3，-2）
【例8】若点M (1 – x，x + 2 ) 在第二象限内，则x的取值范围为 ；
答案：x＞2
习题演练：
1、在平面直角坐标系中，点P（）一定在 象限。
2、点P（x－1，x＋1）不可能在（ ）
A、第一象限　　B、第二象限　　C、第三象限　　D、第四象限
3、如果点M（a＋b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在第________象限。
4、点Q (3 – a，5 – a )在第二象限，则= ；

5、点M（a，a-1）不可能在 （ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
6、如果＜0，那么点P（x，y）在 （ ）
A、 第二象限 B、第四象限 C、第四象限或第二象限 D、第一象限或第三象限
题型二：用代数式求坐标轴上的点坐标
例1：在平面直角坐标系中，已知点P（）在轴上，则P点坐标为
答案： （7，0）
例2：已知:A(1,2),B(x,y),AB∥x轴,且B到y轴距离为2,则点B的坐标是 .
答案：（-2，2）或（2，2）

习题演练：
1、已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且直线AB∥x轴，则m的值为 。
2、已知线段AB=3，AB∥轴，若点A的坐标为（，2），则B点的坐标为 ；
3、已知点P（x2-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则x= .

题型三：求对称点的坐标
解答此类问题所需知识点是：点（a,b）关于x轴的对称点是(a,-b)，关于y轴的对称点是(-a,b)，关于原点的对称点是（-a,-b）．
图1
【例1】在如图1所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，如果以所在的直线为轴，以小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，使点与点关于原点对称，则这时点的坐标可能是（　　）
　　Ａ． Ｂ．
　　Ｃ． Ｄ．

【解析】根据题意，点与点关于原点对称，MN所在直线为y轴，于是可确定原点为图中O点位置，即x轴为过O点的一条横线，于是C点的坐标为（2，-1），即选B．
【点评】本题逆向考查了两点关于原点对称问题，求C点坐标的关键是确定直角坐标系的原点所在．

例1：点M（2，－3）关于轴的对称点N的坐标为 ； 关于轴的对称点P
的坐标为 ；关于原点的对称点Q的坐标为 。
答案：（2，3） ； （-2，-3） ； （3，-2）
例2 已知点A（a，－5），B（8，b）根据下列要求，确定a，b的值．
（1）A，B两点关于y轴对称；
（2）A，B两点关于原点对称；（3）AB∥x轴；
（4）A，B两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上．

【分析】（1）两点关于y轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同；
（2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数；
（3）两点连线平行于x轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）；
（4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同．
【解答】（1）当点A（a，－5），B（8，b）关于y轴对称时有：
（2）当点A（a，－5），B（8，b）关于原点对称时有
（3）当AB∥x轴时，有
（4）当A，B两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：
xA=yB且xA=yB即a=－5，b=8．
【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．

习题演练：
1、点P(，)关于轴的对称点的坐标是 ，关于轴的对称点的坐标是 ，关于原点的对称点的坐标是 ；
2、在平面直角坐标系下，下列各组中关于原点对称又关于y轴对称的点是（  ）
A、（3，－2）（－3，－2） B、（0，3）（0，－3）
C、（3，0）（－3，0） D、（3，－2）（－3，2）

题型四：根据坐标对称求代数式的值
例1：已知点P和点A关于轴对称，那么= ；
答案：
习题演练：
1、已知点A（2a+3b，－2）和点B（8，3a+2b）关于x轴对称，那么a+b=（ ）
A、2 B、－2 C、0 D、4
答案：A
2、已知：点P的坐标是(,)，且点P关于轴对称的点的坐标是(,)，则；
答案：-3 ；

题型五：根据到坐标轴的距离求坐标
例1：过点A（2，-3）且垂直于y轴的直线交y轴于点B，则点B坐标为 （ ）．
A、（0，2） B、（2，0） C、（0，-3） D、（-3，0）
答案：C
例2：已知点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则M点的坐标为（ ）．
A、（3，2） B、（-3，-2）
C、（3，-2） D、（2，3），（2，-3），（-2，3），（-2，-3）
答案：D
例3：若点P（，）到轴的距离是，到轴的距离是，则这样的点P有 （ ）
Ａ、１个　 　 Ｂ、２个　　 Ｃ、３个　 　　Ｄ、４个
答案：D

习题演练：
1、点P位于x轴下方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是 （ ）
A、（4，2） B、（－2，－4） C、（－4，－2） D、（2，4）
答案：B
2、点E（a,b）到x轴的距离是4，到y轴距离是3，则有 （ ）
A、a=3, b=4 B、a=±3,b=±4 C、a=4, b=3 D、a=±4,b=±3
答案：D
3、已知点P的坐标为（2 – a，3a + 6），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P坐标是 ( )
A、（3，3) B、(3，—3) C、(6，一6) D、(3，3)或(6，一6)
答案：D

题型六：根据图形的其他顶点坐标求点坐标
例1：在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，0），（0，-5），（-2，-2），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第_______象限．
答案：一
习题演练：
1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（–1,–1）、（–1，2）、（3,–1），则第四个顶点的坐标为（ ）
A、（2，2） B、（3，2） C、（3，3） D、（2，3）
答案：B

题型七：根据点的坐标求图形的面积
例1：已知点A（-2，0）B（4，0）C（-2，-3）。（1）求A、B两点之间的距离。（2）求点C到X轴的距离。（3）求△ABC的面积。
答案：（1）6 ； （2）3 ； （3）9

习题演练：
1、在坐标系中，已知A（2，0），B（－3，－4），C（0，0），则△ABC的面积为（ ）
A、4 B、6 C、8 D、3
答案：A
技巧：割补法求面积

题型八： 求平移后的坐标
例1：已知三角形的三个顶点坐标分别是（－1，4）、（1，1）、（－4，－1），现将这三个点先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ）
A、（－2，2），（3，4），（1，7） B、（－2，2），（4，3），（1，7）
C、（2，2），（3，4），（1，7） D、（2，－2），（3，3），（1，7）
答案：A
例2：线段CD是由线段AB平移得到的.点A（–1，4）的对应点为C（4，7），则点B（– 4，– 1）的对应点D的坐标为（ ）
A、（2，9） B、（5，3） C、（1，2） D、（– 9，– 4）
答案：C

习题演练：
1、已知点，将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点，则点的坐标是 ．
答案：（-1,1）

题型九：图形变换后点的坐标

　　【例4】将点沿轴的正方向平移个单位得到点的坐标是（　　）
　　Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【解析】将点P沿轴的正方向平移时，横坐标发生变化，然纵坐标是不变化的，于是点的坐标为（2，2），即选C．
图2

【点评】处理类似问题不妨新建一个直角坐标系草图分析一下，沿x轴正方向平移时，纵坐标的不变性就很直观了．
　　【例5】如图2，将绕点逆时针旋转，
得到．若点的坐标为，
则点的坐标为 ．

【解析】从图形上可以看出，逆时针旋转后，得到的所在位置也很特殊，即B`恰好落在y轴上，于是点的纵坐标为a,横坐标应该为-b;故点的坐标为（-b,a）．
【点评】本题分析出得到的所在位置很特殊还算容易，但在处理坐标时更容易粗心致错，即认为点的横坐标应该为b，忽视逆时针旋转后点A`所在象限变化到第二象限了．

例1：如图4所示，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=_______．
答案：2006

图1 图2
例2：已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图8所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A的坐标是（ ）
A．（－2，1） B．（2，1） C．（2，－1） D．（－2，－1）
答案：B

题型十：寻点构造等腰三角形
例1：在平面直角坐标系中，O是坐标原点，已知A点的坐标为（1，1），请你在坐标轴上找出点B，使△AOB为等腰三角形，则符合条件的点B共有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
答案：C

题型十一、平面直角坐标系下的作图问题
Ａ
Ｂ
Ｃ
图6
【例8】如图6，网络中每个小正方形的边长为1，点的坐标为．

　　（1）画出直角坐标系（要求标出轴，轴和原点）并写出点的坐标；
　　（2）以为基本图形，利用轴对称或旋转或平移设计一个图案，说明你的创意．
【解析】（1）由题意，分析给出的点的坐标为，可以确定出直角坐标系数的原点及坐标轴所在（如下图）， 于是点A的坐标可确定为（-4，3）；
　　 （2）此题较开放，如下图，图案设计的创意为：“比冀双飞”．

　　【点评】本题是一道新课标下的开放性试题，可以充分发挥考生的主观能动性，培养发散思维，值得同学们在今后学习时重视．

3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X
Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√

A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)