离散数学第14章-高等教育出版社.ppt

第五部分第五部分 图论图论本部分主要内容本部分主要内容l 图的基本概念图的基本概念l 欧拉图、哈密顿图欧拉图、哈密顿图l 树树l 1.第十四章第十四章 图的基本概念图的基本概念主要内容主要内容l图图l通路与回路通路与回路l图的连通性图的连通性l图的矩阵表示图的矩阵表示l图的运算图的运算预备知识预备知识l多重集合多重集合元素可以重复出现的集合元素可以重复出现的集合l无序积无序积A B=x,y|x A y B2.14.1 图图定义定义14.1 无向图无向图G=,其中其中(1)V 为顶点集，元素称为为顶点集，元素称为顶点顶点(2)E为为V V 的多重集，其元素称为无向边，简称的多重集，其元素称为无向边，简称边边实例实例 设设 V=v1,v2,v5,E=(v1,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v2,v3),(v2,v5),(v1,v5),(v4,v5)则则 G=为一无向图为一无向图3.有向图有向图定义定义14.2 有向图有向图D=,只需注意只需注意E是是V V 的多重子集的多重子集图图2表示的是一个有向图，试写出它的表示的是一个有向图，试写出它的V 和和 E 注意：图的数学定义与图形表示。注意：图的数学定义与图形表示。4.相关概念相关概念1.图图 可用可用G泛指图（无向的或有向的）泛指图（无向的或有向的）V(G),E(G),V(D),E(D)n阶图阶图2.有限图有限图3.n 阶零图与平凡图阶零图与平凡图4.空图空图5.用用 ek 表示无向边或有向边表示无向边或有向边6.顶点与边的关联关系顶点与边的关联关系 关联、关联次数关联、关联次数 环环 孤立点孤立点7.顶点之间的相邻关系顶点之间的相邻关系5.8.邻域与关联集邻域与关联集 v V(G)(G为无向图为无向图)v 的关联集的关联集 v V(D)(D为有向图为有向图)9.标定图与非标定图标定图与非标定图10.基图基图相关概念相关概念6.多重图与简单图多重图与简单图定义定义14.3 (1)无向图中的平行边及重数无向图中的平行边及重数(2)有向图中的平行边及重数（注意方向性）有向图中的平行边及重数（注意方向性）(3)多重图多重图(4)简单图简单图在定义在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念中定义的简单图是极其重要的概念 7.顶点的度数顶点的度数定义定义14.4 (1)设设G=为无向图为无向图,v V,d(v)v的度数的度数,简称度简称度 (2)设设D=为有向图为有向图,v V,d+(v)v的入度的入度 d(v)v的出度的出度 d(v)v的度或度数的度或度数 (3)(G),(G)(4)+(D),+(D),(D),(D),(D),(D)(5)奇顶点度与偶度顶点奇顶点度与偶度顶点8.定理定理14.1 设设G=为任意无向图，为任意无向图，V=v1,v2,vn,|E|=m,则则证证 G中每条边中每条边(包括环包括环)均有两个端点，所以在计算均有两个端点，所以在计算G中各顶点中各顶点度数之和时，每条边均提供度数之和时，每条边均提供2度，度，m 条边共提供条边共提供 2m 度度.本定理的证明类似于定理本定理的证明类似于定理14.1握手定理握手定理定理定理14.2 设设D=为任意有向图，为任意有向图，V=v1,v2,vn,|E|=m,则则9.握手定理推论握手定理推论推论推论 任何图任何图(无向或有向无向或有向)中，奇度顶点的个数是偶数中，奇度顶点的个数是偶数.证证 设设G=为任意图，令为任意图，令 V1=v|v V d(v)为奇数为奇数 V2=v|v V d(v)为偶数为偶数 则则V1 V2=V,V1 V2=，由握手定理可知，由握手定理可知由于由于2m,均为偶数，所以均为偶数，所以 为偶数，但因为为偶数，但因为V1中中顶点度数为奇数，所以顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数必为偶数.10.例例1 无向图无向图G有有16条边，条边，3个个4度顶点，度顶点，4个个3度顶点，其余度顶点，其余顶点度数均小于顶点度数均小于3，问，问G的阶数的阶数n为几？为几？解解 本题的关键是应用握手定理本题的关键是应用握手定理.设除设除3度与度与4度顶点外，还有度顶点外，还有x个顶点个顶点v1,v2,vx，则则 d(vi)2，i=1,2,x，于是得不等式于是得不等式 32 24+2x得得 x 4,阶数阶数 n 4+4+3=11.握手定理应用握手定理应用11.图的度数列图的度数列1.V=v1,v2,vn为无向图为无向图G的顶点集，称的顶点集，称d(v1),d(v2),d(vn)为为G的的度度数列数列 2.V=v1,v2,vn为有向图为有向图D的顶点集，的顶点集，D的的度数列度数列：d(v1),d(v2),d(vn)D的的入度列入度列：d+(v1),d+(v2),d+(vn)D的的出度列出度列：d(v1),d(v2),d(vn)3.非负整数列非负整数列d=(d1,d2,dn)在什么条件下是在什么条件下是可图化的可图化的，是，是可简单图化可简单图化的？的？定理定理14.4 p277易知：易知：(2,4,6,8,10)，(1,3,3,3,4)是可图化的，后者又是可是可图化的，后者又是可简单图化的，而简单图化的，而(2,2,3,4,5)，(3,3,3,4)都不是可简单图化都不是可简单图化的，特别是后者也不是可图化的的，特别是后者也不是可图化的12.n 阶完全图与竞赛图阶完全图与竞赛图定义定义14.6(1)n(n 1)阶无向完全图阶无向完全图每个顶点与其余顶点均相邻的每个顶点与其余顶点均相邻的无向简单图无向简单图，记作，记作 Kn.简单性质：边数简单性质：边数(2)n(n 1)阶阶有向完全图有向完全图每对顶点之间均有两条方向相每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的反的有向边的有向简单图有向简单图.简单性质：简单性质：(3)n(n 1)阶阶竞赛图竞赛图基图为基图为Kn的的有向简单图有向简单图.简单性质：边数简单性质：边数 13.n 阶阶 k 正则图正则图(1)为为K5，(2)为为3阶有向完全图，阶有向完全图，(3)为为4阶竞赛图阶竞赛图.(1)(2)(3)定义定义14.7 n 阶阶k正则图正则图=k 的的无向简单图无向简单图简单性质：边数（由握手定理得）简单性质：边数（由握手定理得）n阶完全图阶完全图Kn是是 n 1正则图，正则图，14.子图子图定义定义14.8 G=,G=(1)GG G 为为G的的子图子图，G为为G 的的母图母图(2)若若GG且且V=V，则称，则称G 为为G的的生成子图生成子图(3)若若VV或或EE，称，称G 为为G的的真子图真子图(4)V（VV且且V）的）的导出子图导出子图，记作，记作GV(5)E（EE且且E）的）的导出子图导出子图，记作，记作GE 15.例例2 画出画出K4的所有非同构的生成子图的所有非同构的生成子图实例实例16.补图补图定义定义14.9 设设G=为为n阶无向简单图，以阶无向简单图，以V为顶点集，以为顶点集，以所有使所有使G成为完全图成为完全图Kn的的添加边添加边组成的集合为边集的图，组成的集合为边集的图，称为称为G的的补图补图，记作，记作 .若若G ,则称则称G是是自补图自补图.例：见书例：见书P280 图图14.617.14.2 通路与回路通路与回路定义定义14.11 给定图给定图G=（无向或有向的），（无向或有向的），G中中顶点与顶点与边的交替序列边的交替序列 =v0e1v1e2elvl，vi 1,vi 是是 ei 的端点的端点.(1)通路与回路：通路与回路：为为通路通路；若；若 v0=vl，为为回路回路，l 为为回路长回路长 度度.(2)简单通路与回路：所有边各异，简单通路与回路：所有边各异，为为简单通路简单通路，又若，又若v0=vl，为为简单回路简单回路(3)初级通路初级通路(路径路径)与初级回路与初级回路(圈圈)：中所有顶点各异，则中所有顶点各异，则称称 为为初级通路初级通路(路径路径)，又若除，又若除v0=vl，所有的顶点各不相，所有的顶点各不相同且所有的边各异，则称同且所有的边各异，则称 为为初级回路初级回路(圈圈)(4)复杂通路与回路：有边重复出现复杂通路与回路：有边重复出现18.几点说明几点说明表示法表示法 定义表示法定义表示法 只用边表示法只用边表示法 只用顶点表示法（在简单图中）只用顶点表示法（在简单图中）混合表示法混合表示法环环（长为（长为1的圈）的长度为的圈）的长度为1，两条平行边构成的圈长度为，两条平行边构成的圈长度为 2，无向简单图中，圈长，无向简单图中，圈长 3，有向简单图中圈的长度，有向简单图中圈的长度 2.不同的圈（以长度不同的圈（以长度 3的为例）的为例）19.通路与回路的长度通路与回路的长度定理定理14.5 在在n 阶图阶图G中，若从顶点中，若从顶点vi 到到vj（vi vj）存在通路，）存在通路，则从则从vi 到到 vj 存在长度小于或等于存在长度小于或等于n 1 的通路的通路.推论推论 在在 n 阶图阶图G中，若从顶点中，若从顶点vi 到到 vj（vi vj）存在通路，则）存在通路，则从从vi 到到vj 存在长度小于或等于存在长度小于或等于n 1的初级通路（路径）的初级通路（路径）.定理定理14.6 在一个在一个n 阶图阶图G中，若存在中，若存在 vi 到自身的回路，则一到自身的回路，则一定存在定存在vi 到自身长度小于或等于到自身长度小于或等于 n 的回路的回路.推论推论 在一个在一个n 阶图阶图G中，若存在中，若存在 vi 到自身的简单回路，则一到自身的简单回路，则一定存在长度小于或等于定存在长度小于或等于n 的初级回路的初级回路.20.14.3 图的连通性图的连通性无向图的连通性无向图的连通性(1)顶点之间的连通关系：顶点之间的连通关系：G=为无向图为无向图 若若 vi 与与 vj 之间有通路，则之间有通路，则 vi vj 是是V上的等价关系上的等价关系 R=|u,v V且且u v(2)G的连通性与连通分支的连通性与连通分支 若若 u,v V，u v，则称，则称G连通连通 V1,V2,Vk，称，称GV1,GV2,GVk为为连通分连通分 支支，其个数，其个数 p(G)=k (k 1)；k=1，G连通连通21.短程线与距离短程线与距离(3)短程线与距离短程线与距离 u与与v之间的之间的短程线短程线：u v，u与与v之间长度最短的通路之间长度最短的通路 u与与v之间的之间的距离距离：d(u,v)短程线的长度短程线的长度 d(u,v)的性质：的性质：d(u,v)0,u v时时d(u,v)=d(u,v)=d(v,u)d(u,v)+d(v,w)d(u,w)22.无向图的连通度无向图的连通度1.删除顶点及删除边删除顶点及删除边 G v 从从G中将中将v及关联的边去掉及关联的边去掉 G V 从从G中删除中删除V 中所有的顶点中所有的顶点 G e 将将e从从G中去掉中去掉 G E 删除删除E 中所有边中所有边 2.点割集与边割集点割集与边割集 点割集与割点点割集与割点 书书p283定义定义14.15 G=,VV V 为为点割集点割集p(G V)p(G)且有极小性且有极小性 v为为割点割点v为点割集为点割集定义定义14.16 G=,EE E 是是边割集边割集p(G E)p(G)且有极小性且有极小性 e是是割边割边（桥）（桥）e为边割集为边割集23.点割集与割点点割集与割点例例3 v1,v4，v6是点是点割集，割集，v6是割点是割点.v2,v5是点割集吗？是点割集吗？e1,e2，e1,e3,e5,e6，e8等是边割集，等是边割集，e8是是桥，桥，e7,e9,e5,e6 是边割是边割集吗？集吗？几点说明：几点说明：lKn中无点割集，中无点割集，Nn中既无点割集，也无边割集，其中中既无点割集，也无边割集，其中Nn为为 n 阶零图阶零图.l若若G 连通，连通，E 为边割集，则为边割集，则 p(G E)=2，V 为点割集，为点割集，则则 p(G V)2 24.点连通度与边连通度点连通度与边连通度定义定义14.18 G为连通非完全图为连通非完全图 点连通度点连通度 (G)=min|V|V 为点割集为点割集 规定规定 (Kn)=n 1 若若G非连通，非连通，(G)=0 若若 (G)k，则称，则称G为为 k-连通图连通图 定义定义14.19 设设G为连通图为连通图 边连通度边连通度(G)=min|E|E 为边割集为边割集 若若G非连通，则非连通，则(G)=0 若若(G)r，则称，则称G是是 r 边边-连通图连通图图中，图中，=1，它是，它是 1-连通图连通图 和和 1边边-连通图连通图25.有向图的连通性有向图的连通性定义定义14.20 D=为有向图为有向图 vi vj（vi 可达可达 vj）vi 到到vj 有通路有通路 vi vj（vi 与与vj 相互可达）相互可达）性质性质 具有自反性具有自反性(vi vi)、传递性、传递性 具有自反性、对称性、传递性具有自反性、对称性、传递性 vi 到到vj 的短程线与距离的短程线与距离类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同类似于无向图中，只需注意距离表示法的不同(无向图中无向图中d(vi,vj)，有向图中，有向图中d)及及 d无对称性无对称性26.有向图的连通性及分类有向图的连通性及分类定义定义14.22 D=为有向图为有向图 D弱连通弱连通(连通连通)基图为无向连通图基图为无向连通图 D单向连通单向连通 vi,vj V，vivj 或或 vjvi D强连通强连通 vi,vj V，vivj易知，强连通易知，强连通单向连通单向连通弱连通弱连通判别法判别法定理定理14.8 D强连通当且仅当强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次中存在经过每个顶点至少一次的回路的回路定理定理14.9 D单向连通当且仅当单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一中存在经过每个顶点至少一次的通路次的通路27.二部图二部图定义定义14.23 设设 G=为一个无向图，若能将为一个无向图，若能将 V分成分成 V1和和V2(V1 V2=V，V1 V2=)，使得，使得 G 中的每条边的两个端点都是中的每条边的两个端点都是一个属于一个属于V1，另一个属于，另一个属于V2，则称，则称 G 为为二部图二部图(或称或称二分二分图图、偶图偶图等等)，称，称V1和和V2为为互补顶点子集互补顶点子集，常将二部图，常将二部图G记为记为.又若又若G是简单二部图，是简单二部图，V1中每个顶点均与中每个顶点均与V2中所有的顶点相中所有的顶点相邻，则称邻，则称G为为完全二部图完全二部图，记为，记为 Kr,s，其中，其中r=|V1|，s=|V2|.注意，注意，n 阶零图为二部图阶零图为二部图.28.14.4 图的矩阵表示图的矩阵表示无向图的关联矩阵（对图无限制）无向图的关联矩阵（对图无限制）P288定义定义14.24 无向图无向图G=，|V|=n，|E|=m，令，令 mij为为 vi 与与 ej的关联次数，称的关联次数，称(mij)n m为为G 的的关联矩阵关联矩阵，记为，记为M(G).性质性质29.有向图的关联矩阵（无环有向图）P288 定义定义14.25 有向图有向图D=，令，令则称则称(mij)n m为为D的的关联矩阵关联矩阵，记为，记为M(D).(4)平行边对应的列相同平行边对应的列相同性质性质有向图的关联矩阵30.有向图的邻接矩阵（无限制）有向图的邻接矩阵（无限制）定义定义14.26 设有向图设有向图D=,V=v1,v2,vn,E=e1,e2,em,令为顶点令为顶点 vi 邻接到顶点邻接到顶点 vj 边的条数，称为边的条数，称为D的的邻接矩邻接矩阵阵，记作，记作A(D)，或简记为，或简记为A.性质性质 31.推论推论 设设Bl=A+A2+Al（l 1），则），则 Bl中元素中元素为D中长度为 l 的通路总数，定理定理14.11 设设 A为有向图为有向图 D 的邻接矩阵，的邻接矩阵，V=v1,v2,vn为为顶点集，则顶点集，则 A 的的 l 次幂次幂 Al（l 1）中元素）中元素为D中vi 到vj长度为 l 的通路数，其中为vi到自身长度为 l 的回路数，而为为D中长度小于或等于中长度小于或等于 l 的回路数的回路数为为D中长度小于或等于中长度小于或等于 l 的通路数的通路数.邻接矩阵的应用邻接矩阵的应用为为D 中长度为中长度为 l 的回路总数的回路总数.32.例例5 有向图有向图D如图所示，求如图所示，求 A,A2,A3,A4，并回答诸问题：，并回答诸问题：(1)D 中长度为中长度为1,2,3,4的通路各有多少条？其中回路分别为多的通路各有多少条？其中回路分别为多少条？少条？(2)D 中长度小于或等于中长度小于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路的通路为多少条？其中有多少条回路？实例实例33.(1)D中长度为中长度为1的通路为的通路为8条，其中有条，其中有1条是回路条是回路.D中长度为中长度为2的通路为的通路为11条，其中有条，其中有3条是回路条是回路.D中长度为中长度为3和和4的通路分别为的通路分别为14和和17条，回路分别条，回路分别 为为1与与3条条.(2)D中长度小于等于中长度小于等于4的通路为的通路为50条，其中有条，其中有8条是回路条是回路.实例求解实例求解34.定义定义14.27 设设D=为有向图为有向图.V=v1,v2,vn,令令 有向图的可达矩阵（无限制）有向图的可达矩阵（无限制）称称(pij)n n 为为D的可达矩阵，记作的可达矩阵，记作P(D)，简记为，简记为P.由于由于 vi V，vivi，所以，所以P(D)主对角线上的元素全为主对角线上的元素全为1.由定义不难看出由定义不难看出,D 强连通当且仅当强连通当且仅当 P(D)为全为全1矩阵矩阵.下图所示有向图下图所示有向图 D 的可达矩阵为的可达矩阵为35.第十四章第十四章 习题课习题课主要内容主要内容l无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、补图；握手定理与推论；图的同构子图、补图；握手定理与推论；图的同构l通路与回路及其分类通路与回路及其分类l无向图的连通性与连通度无向图的连通性与连通度l有向图的连通性及其分类有向图的连通性及其分类l图的矩阵表示图的矩阵表示36.基本要求基本要求l深刻理解握手定理及推论的内容并能灵活地应用它们深刻理解握手定理及推论的内容并能灵活地应用它们l深刻理解图同构、简单图、完全图、正则图、子图、补图、深刻理解图同构、简单图、完全图、正则图、子图、补图、二部图的概念以及它们的性质及相互之间的关系二部图的概念以及它们的性质及相互之间的关系l记住通路与回路的定义、分类及表示法记住通路与回路的定义、分类及表示法l深刻理解与无向图连通性、连通度有关的诸多概念深刻理解与无向图连通性、连通度有关的诸多概念l会判别有向图连通性的类型会判别有向图连通性的类型l熟练掌握用邻接矩阵及其幂求有向图中通路与回路数的方熟练掌握用邻接矩阵及其幂求有向图中通路与回路数的方法，会求可达矩阵法，会求可达矩阵 37.19阶无向图阶无向图G中，每个顶点的度数不是中，每个顶点的度数不是5就是就是6.证明证明G中至少有中至少有5个个6度顶点或至少有度顶点或至少有6个个5度顶点度顶点.练习练习1证证 关键是利用握手定理的推论关键是利用握手定理的推论.方法一：穷举法方法一：穷举法设设G中有中有x个个5度顶点，则必有度顶点，则必有(9 x)个个6度顶点，由握手定度顶点，由握手定理推论可知，理推论可知，(x,9 x)只有只有5种可能：种可能：(0,9),(2,7),(4,5),(6,3),(8,1）它们都满足要求）它们都满足要求.方法二：反证法方法二：反证法否则，由握手定理推论可知，否则，由握手定理推论可知，“G至多有至多有4个个5度顶点并且度顶点并且至多有至多有4个个6度顶点度顶点”，这与，这与G是是 9 阶图矛盾阶图矛盾.38.2数组数组2,2,2,2,3,3能简单图化吗？若能，画出尽可能多图能简单图化吗？若能，画出尽可能多图来来.练习练习2只要能画出只要能画出6 阶无向简单图，就说明它可简单图化阶无向简单图，就说明它可简单图化.下图的下图的4个图都以此数列为度数列。个图都以此数列为度数列。39.(1)D中中v1到到v4长度为长度为1,2,3,4的通路各多少的通路各多少 条？其中几条是非初级的简单通路？条？其中几条是非初级的简单通路？(2)D中中v1到到v1长度为长度为1,2,3,4的回路各多少的回路各多少 条？讨论它们的类型条？讨论它们的类型.(3)D中长度为中长度为4的通路（不含回路）有多少条？的通路（不含回路）有多少条？(4)D中长度为中长度为4的回路有多少条？的回路有多少条？(5)D中长度中长度 4的通路有多少条？其中有几条是回路？的通路有多少条？其中有几条是回路？(6)写出写出D的可达矩阵的可达矩阵.4有向图有向图D如图所示，如图所示，回答下列诸问：回答下列诸问：练习练习440.解答解答为解为解(1)(6)，只需先求，只需先求D的邻接矩阵的前的邻接矩阵的前4次幂次幂.41.(1)v1到到v4长度为长度为1,2,3,4的通路数分别为的通路数分别为0,0,2,2.其中只有其中只有长度为长度为4的两条是非初级的简单通路（定义意义下），见的两条是非初级的简单通路（定义意义下），见下图所示下图所示.解答解答42.解答解答(2)v1到到v1长度为长度为1,2,3,4的回路数分别为的回路数分别为1,1,3,5.其中长度为其中长度为1的是初级的的是初级的(环环)；长度为；长度为2的是复杂的；长度为的是复杂的；长度为3的中有的中有1条条是复杂的，是复杂的，2条是初级的；长度为条是初级的；长度为4的有的有1条是复杂的，有条是复杂的，有4条是非初级的简单回路条是非初级的简单回路.请在图中行遍以上各回路请在图中行遍以上各回路.(3)长度为长度为4的通路的通路(不含回路不含回路)为为33条条.(4)长度为长度为4的回路为的回路为11条条.(5)长度长度 4的通路的通路88条，其中条，其中22条为回路条为回路.(6)4 4的全的全1矩阵矩阵.43.