动态法测量杨氏模量.doc

南昌大学大学物理实验报告
学生姓名:___________ 学号:_______________ 专业班级:______________

实验时间:_____时_____分 第____周 星期:______ 座位号:________

动态法测量杨氏模量

一.实验目的
1、理解动态法测量杨氏模量的基本原理。
2、掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，熟悉信号源和示波器的使用。

二．实验原理
如图1所示，长度L远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动力学方程（横振动方程）为棒的轴线沿x方向，

（1）
y L

0 x x
图 1

式中y为棒上距左端x处截面的y方向位移，E为杨氏模量，单位为Pa或N/m²;ρ为材料密度，S为截面面积，J为某一截面的转动惯量，J=。
横振动方程的边界条件为：棒的两端（x=0，L）是自由端，端点既不受正应力也不受切向力。用分离变量法求解方程（1），令y（x，t）=X（x）T（t），既有
（2）
由于等式两边分别是两个变量x和t的函数，所以只有当等式两边都等于两边都等于同一个常数时等式才成立，假设此常数为,则可得到下列两个方程
(3)
(4)
如果棒中每点都作简谐振动，则上述两方程的通解分别为
（5）
于是可以得出
y（x，t）=（） （6）
式中
(7)
式中（7）称为频率公式，适用于不同边界条件任意形状截面的试样。如果试样的悬挂点（或支撑点）在试样的节点，则根据边界条件得到
cosKL•chKL=1 （8）
采用数值法可以得出本征值K和棒长L应满足如下关系：
KnL=0,4.730,7.835,10.996,14.137，…… （9）
其中第一根=0对应试样静止状态；第二根记为=4.730，所对应的试样振动频率称为基振频率（基频）或者称为固有频率，此时的振动状态如图2所示，第三根=7.853所对应的振动状态如图3所示，称为一次谐波。由此可知，试样在作基频振动时存在两个节点，它们的位置分别距端面0.224L和0.776L。将基频对应的K1值代入频率公式，可得到杨氏模量为
E （10）

图2 图3
如果试样为圆棒（d<<L），则，所以式（10）可改写为
（11）
同样，对于矩形棒试样则有
（12）
式中，m为棒的质量，f为基频振动的固有频率，d为圆棒直径，b和h分别为矩形棒的宽度和高度。
如果，圆棒试样不能满足d<<L时，式（11）应乘以一个修正系数，T1，即
T1 （13）
式（13）中的修正系数T1可以根据径长比d/L的泊松比有
径长比与修正系数的对应关系
径长比
d/L
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.08
0.010
修正系数T1
1.001
1.002
1.005
1.008
1.014
1.019
1.038
1.055
由式（10）~（12）可知，对于圆棒或矩形棒试样只要测出固有频率就可以计算试样的动态杨氏模量，所以整个实验的主要任务就是测量试样的基频振动的固有频率。
本实验只能测出试样的共振频率，物体固有频率f固和共振频率f共是相关的两个不同概念，二者之间的关系为
(14)
式（14）中Q为试样的机械品质因数。一般Q值远大于50，共振频率和固有频率相比只偏低0.005%，两者相差很小，通常忽略二者的差别，用共振频率代替固有频率。
试样在做基频振动时，存在两个节点，分别在0.2241和0.7761处，显然节点是不振动的，实验时支撑点不能放在节点处，而本实验又同时要求在试样两端自由的条件下，检测出共振频率。显然这两条矛盾的。支撑点离节点越远，可以检测到的共振信号就越强，但试样受外力越大，这样产生的系统误差就越大。图4为两端自由杆基频弯曲振动波形。

0.224L 0.776L

图4

为了消除误差，可采用内插法测量法测出换能器支撑点在节点时，式样的共振频率，具体测量法是改变支撑点的位置，逐步测出试样的共振频率f，设试样端面离支撑点的距离为x，以x/l为横坐标，共振频率f为纵坐标，用orgin耦合一下数据，求出最低点。

三、实验仪器和装置
电源，铜棒，螺旋测微计，游标卡尺，天平，示波器，信号发生器，换能器。

图5

四、实验步骤
1，用螺旋测微计测量试样的直径。
2，游标卡尺测量试样的长度。
3，用天平测量棒的质量。
4，支撑法测量步骤：
（1） 安装试样棒。将棒放在支撑架上，保持棒横向水平，换能器到试样棒端点的距离相同。
（2） 连接测量仪器。动态弹性模量测定仪激振信号输出端接激振器的输入端，拾振信号的输入端接拾振器的输出端，拾振信号的输出端接示波器Y通道。将示波器X通道接激振信号的输出端，用李萨如图形测量。
（3） 开机调试。开启仪器电源，调节示波器处于正常工作状态，信号发生器的频率置于5kHz挡，连续调节输出频率，此时激发换能器应发出声响。轻敲桌面，示波器Y轴信号大小立即变动并与敲击强度有关，说明该装置已处于工作状态。，说明该装置已处于工作状态。，说明该装置已处于工作状态。
（4） 检频与测量。由低到高调节信号发生器的输出频率，正确找出试样棒的基频共振状态，从频率计上读出共振频率。
（5） 测量基频共振频率。在两节点位置两侧各取几个测试点，各点间隔5mm左右，从外向内依次同时移动两个支撑点的位置，每次移动5mm，测出不同位置处基频共振频率。
5，根据公式（13）计算杨氏模量。

五，数据处理
实验数据如下
距离x/mm
5.000
10.000
15.000
20.000
25.000
30.000
35.000
40.000
45.000
x/l
0.028
0.056
0.084
0.112
0.140
0.169
0.197
0.225
0.253
频率f/Hz
763.364
761.658
759.191
756.413
754.493
753.001
752.802
节点附近
751.992
棒长L=178mm，棒直径D=8mm，棒质量m=75g，T1 =0.04

耦合的曲线如图
最低点x/l=0.02243 f=751.778Hz

利用公式T1

=pa

六、思考题
1、如何尽快找到试样基频共振频率?
答：测试前根据试样的材质、尺寸、质量，通过公式式估算出共振频率的数值，在上述频率附近寻找。

2、测量时为何要将换能器放在在试样的节点附近？
答：理论推导时要求试样做自由振动，应把换能器在试样的节点上，但这样做就不能激发试样振动。因此，实际换能器位置都要偏离节点。偏离节点越大，引入的误差就越大。故要将换能器放在试样的节点附近。

3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X
Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√

A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)