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2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1． “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
2．已知点关于轴的对称点在反比例函数的图像上，则实数的值为（ ）
A．-3 B． C． D．3
3．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF中点，连接PC，则PC的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．2 D．4
4．已知反比例函数的解析式为，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是( )
A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜ D．c＜1
7．已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
8．抛物线的顶点坐标为
A． B． C． D．
9．下列运算中，正确的是（ ）．
A．2x - x = 2 B．x2 y ¸ y = x2 C．x × x4 = 2x D．(-2x)3 = -6x3
10．二次函数y＝﹣x2+2x﹣4，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是（ ）
A．﹣7＜y＜﹣4 B．﹣7＜y≤﹣3 C．﹣7≤y＜﹣3 D．﹣4＜y≤﹣3
11．三角形的两边长分别为3和2，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是( )
A．10 B．8或7 C．7 D．8
12．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2，下列说法中不正确的是（ ）
A．当1<a<5时，点B在⊙A内 B．当a<5时，点B在⊙A内
C．当a<1时，点B在⊙A外 D．当a>5时，点B在⊙A外
二、填空题（每题4分，共24分）
13．计算：________．
14．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 度．
15．关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是_____．
16．再读教材：如图，钢球从斜面顶端静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m/s，在这个问题中，距离=平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒时的速度.如果斜面的长是18m，钢球从斜面顶端滚到底端的时间为________s.
17．一元二次方程的两根之积是_________．
18．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E,
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
20．（8分）用配方法解下列方程.
(1) ;
(2) .
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．
（1）在图1中，作AD的中点P；
（2）在图2中，作AB的中点Q．
22．（10分）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=1．
23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，且∠BAD＝80°，求∠DAC的度数．
24．（10分）甲、乙、丙三个球迷决定通过抓阄来决定谁得到仅有的一张球票．他们准备了三张纸片，其中一张上画了个五星，另两张空白，团成外观一致的三个纸团．抓中画有五角星纸片的人才能得到球票．刚要抓阄，甲问：“谁先抓？先抓的人会不会抓中的机会比别人大？”你认为他的怀疑有没有道理？谈谈你的想法并用列表或画树状图方法说明原因．
25．（12分）已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程的两个实根为，且满足，求实数的值．
26．已知直线与是的直径，于点．
（1）如图①，当直线与相切于点时，若，求的大小；
（2）如图②，当直线与相交于点时，若，求的大小．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】∵，
∴，，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
.
故答案为D.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
2、A
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为，然后把A′的坐标代入中即可得到k的值．
【详解】解：点关于x轴的对称点A'的坐标为，
把A′代入，
得k=-1×1=-1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
3、D
【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当CP⊥P1P2时，PC取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知CP1⊥P1P2，故CP的最小值为CP1的长，由勾股定理求解即可．
【详解】解：如图：
当点F与点D重合时，点P在P1处，AP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝AP2，
∴P1P2∥DE且P1P2＝DE
当点F在ED上除点D、E的位置处时，有AP＝FP
由中位线定理可知：P1P∥DF且P1P＝DF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当CP⊥P1P2时，PC取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，
∴△ABE、△CDE、△DCP1为等腰直角三角形，DP1＝2
∴∠BAE＝∠DAE＝∠DP1C＝45°，∠AED＝90°
∴∠AP2P1＝90°
∴∠AP1P2＝45°
∴∠P2P1C＝90°，即CP1⊥P1P2，
∴CP的最小值为CP1的长
在等腰直角CDP1中，DP1＝CD＝4，
∴CP1＝4
∴PB的最小值是4．
故选：D．
【点睛】
本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．
4、C
【分析】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得.
【详解】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得a≠±2.
故选C.
【点睛】
本题考核知识点：反比例函数定义. 解题关键点：理解反比例函数定义.
5、B
【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．
【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
6、B
【分析】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，由此可知方程x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，即△=1-4c>0，再由题意可得函数y= x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，由此可得关于c的不等式组，解不等式组即可求得答案.
【详解】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，
所以x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等的实数根，
整理，得：x2+x+c＝0，
所以△=1-4c>0，
又x2+x+c＝0的两个不相等实数根为x1、x2，x1＜1＜x2，
所以函数y= x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，
即1+1+c<0，
综上则，
解得c＜﹣2，
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题中的定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.
7、A
【分析】根据题意，将代入方程得，移项即可得结果.
【详解】∵是方程的一个根,
∴,
∴,
故选A.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，已知方程的根，只需将根代入方程即可.
8、B
【分析】利用顶点公式 ，进行计算
【详解】
顶点坐标为
故选B.
【点睛】
本题考查二次函数的性质，熟练运用抛物线顶点的公式是解题关键.
9、B
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】A. 2x - x = x,故本选项错误，
B. x2 y ¸ y = x2 ,故本选项正确，
C. ,故本选项错误，
D. ,故本选项错误.
故选B.
【点睛】
此题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法，解题关键在于掌握运算法则.
10、B
【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可．
【详解】解：∵y＝﹣x2+2x﹣4，
＝﹣（x2﹣2x+4）
＝﹣（x﹣1）2﹣1，
∴二次函数的对称轴为直线x＝1，
∴﹣1＜x＜2时，x＝1取得最大值为﹣1，
x＝﹣1时取得最小值为﹣（﹣1）2+2×（﹣1）﹣4＝﹣7，
∴y的取值范围是﹣7＜y≤﹣1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键．
11、B
【分析】因式分解法解方程求得x的值，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形，最后求出周长即可．
【详解】解：∵，
∴（x－2）（x－3）＝0，
∴x－2＝0或x－3＝0，
解得：x＝2或x＝3，
当x＝2时，三角形的三边2＋2＞3，可以构成三角形，周长为3＋2＋2＝7；
当x＝3时，三角形的三边满足3＋2＞3，可以构成三角形，周长为3＋2＋3＝8，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力和三角形三边的关系，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12、B
【解析】试题解析：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，
∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；
当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；
当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．
由以上结论可知选项A、C、D正确，选项B错误．
故选B．
点睛：若用d、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．
14、1．
【分析】根据圆周角定理进行分析可得到答案.
【详解】解：
∵∠BAC=∠BOC，∠ACB=∠AOB，
∵∠BOC=2∠AOB，
∴∠ACB=∠BAC=1°．
故答案为1．
考点：圆周角定理．
15、且
【解析】利用判别式，根据不等式即可解决问题.
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝1有实数根，
∴△≥1且k≠1，
∴9+4k≥1，
∴，且k≠1，
故答案为且k≠1．
【点睛】
本题考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝1（a≠1）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞1时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝1时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜1时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
16、
【分析】根据题意求得钢球到达斜面低端的速度是1.5t．然后由“平均速度时间t”列出关系式，再把s=18代入函数关系式即可求得相应的t的值．
【详解】依题意得s=×t=t2，
把s=18代入，得18=t2，
解得 t=，或t=-（舍去）．
故答案为
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据实际问题列出二次函数关系式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
17、
【分析】根据一元二次方程两根之积与系数的关系可知．
【详解】解：根据题意有两根之积x1x2==-1．
故一元二次方程-x2+3x+1=0的两根之积是-1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题重点考查了一元二次方程根与系数的关系，是基本题型．两根之积x1x2=．
18、
【解析】根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标．
【详解】解：∵点坐标为，
∴直线为，，
∵，
∴直线为，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴直线为，
解得或，
∴，
∴
…，
∴，
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）见解析（2）2：1
【分析】（1）连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线．
（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．
【详解】解：（1）证明：连接DO，
∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO．
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS）．
∴∠CDO=∠CBO=90°.
又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线.
（2）∵△COD≌△COB．∴CD=CB．
∵DE=2BC，∴ED=2CD．
∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO．
∴AD：OC=DE：CE=2：1．
20、 (1); (2).
【分析】（1）先移项，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，解方程即可；
（2）先把原方程方程进行去括号，移项合并运算，然后再利用配方法进行解方程即可.
【详解】解：，
，
即，
或，
原方程的根为：.
，
，
，
，即，
或，
原方程的根为：.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法解一元二次方程.
21、 (1)画图见解析；(2)画图见解析.
【解析】（1）先连接矩形的对角线交于点O，再连接MO并延长，交AD于P，则点P即为AD的中点；
（2）先运用（1）中的方法，画出AD的中点P，再连接BP，交AC于点K，则点E，再连接DK并延长，交AB于点Q，则点Q即为AB的中点．
【详解】(1)如图点P即为所求；
(2)如图点Q即为所求；
【点睛】
本题考查的是作图的应用，掌握矩形的性质和三角形中位线定理、正确作出图形是解题的关键．
22、2．
【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再将x2=x+2代入即可.
【详解】解：原式=×
=×
=，
∵x2﹣x﹣2=2，
∴x2=x+2，
∴==2．
23、40°
【解析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠DAC=∠CAO，得到答案．
【详解】如图：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠CAO＝∠BAD＝40°，
【点睛】
本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24、甲的怀疑没有道理， 先抓后抓抓中的机会是一样的，图表见解析
【分析】先正确画出树状图，根据树状图求出每人抓到五星的概率即可解答．
【详解】答：甲的怀疑没有道理， 先抓后抓抓中的机会是一样的 ．
用树状图列举结果如下：
从图中发现无论三个人谁先抓阄，抓到五星纸片的概率都是一样的，各为．
【点睛】
本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
25、（1）；（2）．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式即可得；
（2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得求出，再代入方程即可得．
【详解】（1）∵原方程有实数根，
∴方程的根的判别式，
解得；
（2）由一元二次方程的根与系数的关系得：，
又，
，
将代入原方程得：，
解得．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式、以及根与系数的关系，较难的是题（2），熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
26、（1）30°；（2）18°
【分析】(1)连接OC,根据已知条件得出，，根据平行线的性质得出，进而求得答案
(2)连接EB，得出，从而得出，与为同弧所对的角，因此两角相等.
【详解】解：（1）连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
（2）连接，
是的直径，
，
，
，
，
，
【点睛】
本题是一道关于圆的综合性题目，考查到的知识点有圆的切线定理，平行线的性质，等边三角形的判定以及圆周角定理等，通过作辅助线综合分析是解题的关键.
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