人教版部编版八年级数学下册期末试卷(Word版含解析).doc

人教版部编版八年级数学下册期末试卷（Word版含解析）
一、选择题
1．若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C． D．
2．在△ABC中，a，b，c为△ABC的三边，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．a：b：c＝1：：2 B．a＝32，b＝42，c＝52
C．a2＝（c﹣b）（c+b） D．a＝5，b＝12，c＝13
3．四边形中，．要判别四边形是平行四边形，还需满足条件（ ）

A． B．
C． D．
4．在脱贫攻坚工作中，为比较甲、乙两村扶贫攻坚工作的成效，从这两村中，各随机抽取20户对其年收入情况进行调查．统计结果是两村年人均收入的平均数相同，方差分别是S甲2=6000，S乙2=480，则年人均收入比较均衡的村是（ ）
A．甲村 B．乙村
C．甲、乙两村一样 D．无法确定
5．如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在格点上，结论错误的是（ ）

A．AB=2 B．∠BAC=90° C． D．点A到直线BC的距离是2
6．如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝DF，AB＝AE，若∠EAF＝75°，则∠C的度数为（　　）

A．85° B．90° C．95° D．105°
7．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，点H为AF与DG的交点．若AC＝9，则DH为（　　）

A．1 B．2 C． D．3
8．货车和轿车分别沿同一路线从A地出发去B地，已知货车先出发10分钟后，轿车才出发，当轿车追上货车5分钟后，轿车发生了故障，花了20分钟修好车后，轿车按原来速度的继续前进，在整个行驶过程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程y（米）与货车出发的时间x（分钟）之间的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：①货车的速度为1500米/分；②；③点D的坐标为；④图中a的值是，其中正确的结论有（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．若在实数范围内有意义，则的取值范围是____________．
10．如图，菱形的对角线与相交于点，若，，则菱形的面积为______．

11．直角三角形的三边长分别为、、，若，，则__________．
12．如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长是______．

13．若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），则k的值为_____．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是_____________．

15．如图,在平面直角坐标系中,函数和的图象分别为直线,,过点作轴的垂线交于点,过点作轴的垂线交于点,过点作轴的垂线交于点,过点作轴的垂线交于点,…依次进行下去,则点的坐标为______．

16．甲、乙两人分别加工100个零件，甲第1个小时加工了10个零件，之后每小时加工30个零件，乙在甲加工前已经加工了40个零件，在甲加工3小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务．设甲、乙两人各自加工的零件数为y（个），甲加工零件的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示，当甲、乙两人相差15个零件时，甲加工零件的时间为______________

三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18．如图，在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60°方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处，发现B在O的南偏东45°的方向上．问：此时快艇航行了多少米（即AB的长）？

19．如图，每个小正方形的边长都是1．A、B、C、D均在网格的格点上．

（1）求边BC、BD的长度．
（2）∠BCD是直角吗？请证明你的判断．
（3）找到格点E，画出四边形ABED，使其面积与四边形ABCD面积相等（一个即可，且E与C不重合）．
20．如图所示，的对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，．求证：四边形是菱形．

21．（1）若实数m、n满足等式，求2m+3n的平方根；
（2）已知，求的值．
22．某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费．
（1）分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式；
（2）印制800份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费3000元用于印刷上述宣传材料，选择哪一家印刷厂能多印制一些宣传材料？
23．如图，在菱形中，，是对角线上一点，是线段延长线上一点且，连接．
（1）如图，若是线段的中点，连接，其他条件不变，直接写出线段与的数量关系；

（2）如图，若是线段上任意一点，连接，其他条件不变，猜想线段与的数量关系是什么？并证明你的猜想；

（3）如图，若是线段延长线上一点，其他条件不变，且，菱形的周长为，直接写出的长度．

24．如图，已知直线AB的函数解析式为，与y轴交于点A，与x轴交于点B．点P为线段AB上的一个动点（点P不与A，B重合），连接OP，以PB，PO为邻边作▱OPBC．设点P的横坐标为m，▱OPBC的面积为S．
（1）点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　；
（2）①当▱OPBC为菱形时，S＝　 　；
②求S与m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）BC边的最小值为 　 　．

25．如图1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=6，动点P从B出发沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′．
（1）如图2，当点P在线段BC上运动时，直线PB′与CD相交于点M，连接AM，若∠PAM=45°，请直接写出∠B′AM和∠DAM的数量关系；
（2）在（1）的条件下，请求出此时a的值：
（3）当a=8时，
①如图3，当点B′落在AC上时，请求出此时PB的长；
②当点P在BC的延长线上时，请直接写出△PCB′是直角三角形时PB的长度．

26．在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD上一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG，连结BF．

（1）如图1，当点E与点A重合时，则BF的长为　 　．
（2）如图2，当AE＝1时，求点F到AD的距离和BF的长．
（3）当BF最短时，请直接写出此时AE的长．
【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据分式有意义，分母不为0，二次根式的被开方数是非负数列式解答即可．
【详解】
解：由题意得，，且，
∴实数x的取值范围是，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是分式有意义和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义，分母不为0，二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【详解】
解：A、∵a：b：c=1：：2，
∴设三边为：x，x，2x，
∵x2+（x）2=（2x）2，
∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；
B、∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故选项符合题意；
C、∵a2=（c-b）（c+b），
∴a2+b2=c2，该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；
D、∵52+122=132，
∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
四边形ABCD中，已经具备AD∥BC，再根据选项，选择条件，推出AB∥CD即可．
【详解】
∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∵，
∴∠B=∠C，
∴这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故A选项不符合题意，
∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴添加∠A＋∠B＝180°不能判别四边形是平行四边形，故B选项不符合题意，
∵，，
∴这样的四边形是等腰梯形，不是平行四边形，故C选项不符合题意，
∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∵，
∴∠A+∠D=180°，
∴AB//CD，
∴四边形是平行四边形，故D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据方差的意义求解即可，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【详解】
S甲2=6000，S乙2=480，
S乙2< S甲2，
年人均收入比较均衡的村是乙，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查方差的意义，属于基础题，比较简单，熟练掌握方差的意义是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案．
【详解】
解：AB=，故选项A正确，不符合题意；
∵AC＝，BC，
∴，
∴△ACB是直角三角形，
∴∠CAB=90°，故选项B正确，不符合题意；
S△ABC，故选项C错误，符合题意；
点A到直线BC的距离，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 ．熟记勾股定理的内容是解题得关键．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
由菱形的性质可得AB＝AD，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得∠DAF＝∠BAE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BAE＝10°，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠C＝∠BAD，
在△ABE和△ADF中，
∵，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠DAF＝∠BAE，
设∠BAE＝∠DAF＝x，
∴∠DAE＝75°＋x，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝75°＋x，
∵AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB＝75°＋x，
∵∠BAE＋∠ABE＋∠AEB＝180°，
∴x＋75°＋x＋75°＋x＝180°，
∴x＝10°，
∴∠BAD＝95°，
∴∠C＝95°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△ADF是解题的关键．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
依据DH是△AEF的中位线，即可得出DH=EF，再根据△BEF∽△BAC，即可得到EF的长，进而得出DH的长．
【详解】
解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，

∴BE=DE=AD，BF=GF=CG，AH=HF，
∴AB=3BE，DH是△AEF的中位线，
∴DH=EF，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即 ，
解得：EF=3，
∴DH=EF=×3=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
先设出货车的速度和轿车故障前的速度，再根据货车先出发10分钟后轿车出发，桥车发生故障的时间和两车相遇的时间，根据路程=速度×时间列出方程组求解可判断①；利用待定系数法求OA与CD解析式可判断②，先求出点C货车的时间，用轿车修车20分钟-BC段货车追上轿车时间乘以货车速度，求出点D的坐标可判断③；求出轿车速度2000×=1800（米/分），到x=a时轿车追上货车两车相遇，列方程（a-65）×（1800-1500）=27500，解得a=可判断④．
【详解】
解：由图象可知，当x=10时，轿车开始出发；当x=45时，轿车开始发生故障，则x=45-5=40（分钟），即货车出发40分钟时，轿车追上了货车，
设货车速度为x米/分，轿车故障前的速度为y米/分，根据题意，
得：，
解得：，
∴货车的速度为1500米/分，轿车故障前的速度是2000米/分，
故①货车的速度为1500米/分正确；
∵A(10,15000)
设OA解析式：过点O（0，0）与点A，代入坐标得

解得
∴OA解析式：
点C表示货车追上轿车，从B到C表示货车追及的距离是2500，货车所用速度为1500，
追及时间为分
点C（，0）
CD段表示货车用20-分钟行走的路程，
D点的横坐标为45+20=65分，纵坐标米，
∴D（65,27500）
故③点D的坐标为正确；
设CD解析式为，代入坐标得

解得
∴CD解析式为
∵OA与CD解析式中的k相同，
∴OA∥CD，
∴②正确；
D点表示轿车修好开始继续行驶时，轿车的速度变为原来的，即此时轿车的速度为：2000×=1800（米/分），
到x=a时轿车追上货车两车相遇，
∴（a-65）×（1800-1500）=27500，
解得a=65+，
即图中a的值是；
故④图中a的值是正确，
正确的结论有4个．
故选择D．
【点睛】
本题考查一次函数图像与行程问题的应用，解答本题的关键是明确题意，从图像中获取信息，利用一次函数的性质和数形结合的思想，方程思想解答．
二、填空题
9．且
【解析】
【分析】
根据分母不等于0，且被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】
由题意得且
解得
且
故答案为：且
【点睛】
本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数．
10．B
解析：24
【解析】
【分析】
首先求出对角线BD的长，根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，,
在Rt△ABO中，
,
∴BD=8,
∴菱形ABCD的面积为：，
故填：24．
【点睛】
此题主要考查菱形的对角线的性质和菱形的面积计算，熟练掌握菱形面积等于两条对角线乘积的一半是解题关键．
11．或5
【解析】
【分析】
根据斜边分类讨论，然后利用勾股定理分别求出c的值即可．
【详解】
解：①若b是斜边长
根据勾股定理可得：
②若c是斜边长
根据勾股定理可得：
综上所述：或5
故答案为：或5
【点睛】
此题考查的是勾股定理，掌握用勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
12．A
解析：
【分析】
根据矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，∠BAD=90°，求出△AOB是等边三角形，求出OB=AB=5，根据矩形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD, ∠BAD=90°，
∵
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=5，
∴BD=2BO=10，
在Rt△BAD中,
故答案为：
【点睛】
考查矩形的性质，勾股定理等，等边三角形的性质与判定，掌握矩形的对角线相等是解题的关键.
13．-2
【分析】
因为正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），代入解析式，解之即可求得k．
【详解】
解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），
∴﹣4＝2k，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】
此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
14．C
解析：3
【分析】
连接CE，设DE=x，则AE=8-x，判断出OE是AC的垂直平分线，即可推得CE=AE=8-x，然后在Rt△CDE中，根据勾股定理，求出DE的长是多少即可．
【详解】
详解：如图，连接CE，
，
设DE=x，则AE=8-x，
∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴CE=AE=8-x，
在Rt△CDE中，
x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴DE的长是3．
故答案为3．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质、中垂线的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的对角线互相平分和中垂线的性质是解题的关键．
15．【分析】
写出部分An点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律（n为自然数）,依此规律即可得出结论．
【详解】
在直线上,当x=1时,y=2,
∴点A1的坐标为 ,
∴在直线上,当y=2时,x=-2,
解析：
【分析】
写出部分An点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律（n为自然数）,依此规律即可得出结论．
【详解】
在直线上,当x=1时,y=2,
∴点A1的坐标为 ,
∴在直线上,当y=2时,x=-2,
∴点A2的坐标为,
同理可得: , , , , , ,
∴（n为自然数）,
∵ ,
∴的坐标为,
故答案为:．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化,解题的关键是找出变化规律（n为自然数），解决该题型题目时,写出部分An点的坐标,根据坐标的变化找出变化规律是关键．
16．或或
【分析】
结合题意，首先计算得甲加工到100个零件需要的时间、乙在3小时后的每小时加工零件数；再根据一次函数的性质，分别得甲、乙两人各自加工的零件数和加工零件的时间的函数解析式；再结合函数图像
解析：或或
【分析】
结合题意，首先计算得甲加工到100个零件需要的时间、乙在3小时后的每小时加工零件数；再根据一次函数的性质，分别得甲、乙两人各自加工的零件数和加工零件的时间的函数解析式；再结合函数图像，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】
根据题意，甲加工到100个零件，需要的时间为：（小时）
∴甲加工零件的时间（时）
∴甲加工的零件数为，即
∵乙在甲加工前已经加工了40个零件，在甲加工3小时后乙开始追赶甲，结果两人同时完成任务
∴乙在3小时后，每小时加工零件数为：（个）
∴乙加工的零件数为，即
甲、乙两人相差15个零件，分甲比乙少15个零件和甲比乙多15个零件两种情况；
根据y与x之间的函数图象，当甲比乙少15个零件时，得：
∴；
当甲比乙多15个零件时，分和两种情况；
当时，得
∴
当时，
∴；
故答案为：或或．
【点睛】
本题考查了一次函数、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解．
三、解答题
17．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据二次根式的混合运算的法则计算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
．
【点睛】
本题考查了二次根式
解析：（1）；（2）．
【分析】
（1）根据二次根式的混合运算的法则计算即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并即可．
【详解】
解：（1）

；
（2）

．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．快艇航行了（500+500）米．
【分析】
先根据题意得到∠AOE=60°，∠BOF=45°，从而得到∠AOC=30°，∠BOC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可.
【详
解析：快艇航行了（500+500）米．
【分析】
先根据题意得到∠AOE=60°，∠BOF=45°，从而得到∠AOC=30°，∠BOC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可.
【详解】
解：如图：在直角△AOC中，∠AOC＝30°，OA＝1000米，
∴AC＝OA＝500米，
∴米，
∵∠FOB=45°，
∴∠COB=45°，
∴OC=BC=米
∴AB＝500+（米）．
答：快艇航行了（500+）米．

【点睛】
本题主要考查了勾股定理，方位角，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
19．（1），；（2）不是直角，证明见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求解即可．
（2）利用勾股定理的逆定理判断即可．
（3）利用等高模型解决问题即可．
【详解】
解：（1）BC
解析：（1），；（2）不是直角，证明见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求解即可．
（2）利用勾股定理的逆定理判断即可．
（3）利用等高模型解决问题即可．
【详解】
解：（1）BC==，BD==．
（2）结论：不是直角．
理由：∵CD=，BC=，BD=，
∴BC2+CD2≠BD2，
∴∠BCD≠90°．
（3）如图，四边形ABED即为所求．

【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题，属于中考常考题型．
20．见解析
【分析】
根据题意先证明，即可证明四边形为平行四边形，根据可得结果．
【详解】
证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形
解析：见解析
【分析】
根据题意先证明，即可证明四边形为平行四边形，根据可得结果．
【详解】
证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，熟知判定定理以及性质是解题的关键．
21．（1）；（2）4
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的非负性和算数平方根的非负性得出m和n的值，代入即可求解；
（2）根据二次根式有意义的范围求解x，进而求得y，最后代入即可求解．
【详解】
（1
解析：（1）；（2）4
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的非负性和算数平方根的非负性得出m和n的值，代入即可求解；
（2）根据二次根式有意义的范围求解x，进而求得y，最后代入即可求解．
【详解】
（1）∵
∴，
∴
∴16的平方根为；
（2）∵
∴根据使二次根式有意义的条件得
∴x=24，y=-8
∴
∴原式的值为4．
【点睛】
本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，二次根式的定义，关键是掌握使二次根式有意义的条件．
22．（1）y甲＝x+1500，y乙＝2.5x；（2）印制800份宣传材料时，选择乙厂比较合算；商场计划花费3000元用于印刷上述宣传材料，选择甲厂能多印制一些宣传材料
【分析】
（1）根据“甲印刷厂的收
解析：（1）y甲＝x+1500，y乙＝2.5x；（2）印制800份宣传材料时，选择乙厂比较合算；商场计划花费3000元用于印刷上述宣传材料，选择甲厂能多印制一些宣传材料
【分析】
（1）根据“甲印刷厂的收费标准是：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费”可得甲厂关系式，根据“乙印刷厂的收费标准是：每份材料收2.5元印制费，不收制版费”可得乙厂关系式；
（2）把x＝800代入两厂关系式进行计算即可得哪厂比较合算；把y＝3000代入两厂关系式进行计算可得哪厂能多印制一些宣传材料．
【详解】
解：（1）根据题意得：
y甲＝x+1500，
y乙＝2.5x；
（2）当x＝800时，
y甲＝800+1500＝2300，
y乙＝2.5×800＝2000，
∵2300＞2000，
∴印制800份宣传材料时，选择乙厂比较合算；
当y＝3000时，
甲厂：3000＝x+1500，解得x＝1500，
乙厂：3000＝2.5x，解得x＝1200，
∵1500＞1200，
∴商场计划花费3000元用于印刷上述宣传材料，选择甲厂能多印制一些宣传材料．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
23．（1）；（2），证明见解析；（3）7
【分析】
（1）由菱形的性质和已知条件得出是等边三角形，得出，由等边三角形的性质和已知条件得出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，即可得出结论．
（2）
解析：（1）；（2），证明见解析；（3）7
【分析】
（1）由菱形的性质和已知条件得出是等边三角形，得出，由等边三角形的性质和已知条件得出，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出，即可得出结论．
（2）过点作交于点，先证明是等边三角形，得出，，再证明是等边三角形，得出，，然后由证得，即可得出结论．
（3）过点作交延长线于点，证明同（2），得出，证明，，则，，得出，，则，由勾股定理即可得出结果．
【详解】
解：（1）；理由如下：
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
是线段的中点，
，，
，
，
，
，
．
故答案为；
（2）猜想线段与的数量关系为：；
证明：过点作交于点，如图所示：

四边形为菱形，，
，，，与都是等边三角形，
，，
，
又，
，
又，
是等边三角形，
，
，，
又，
，
在和中，
，
，
；
（3）过点作交延长线于点，如图：

四边形为菱形，，菱形的周长为，
是等边三角形，，
，，
，
又，
，
又，
是等边三角形，
，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
由勾股定理得：．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质等知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形．
24．（1）（0，4），（﹣3，0）；（2）①3；②S＝4m＋12，﹣3＜m＜0；（3）
【解析】
【分析】
（1）在中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣3，即可得A（0，4），B（﹣3，0），
（2）
解析：（1）（0，4），（﹣3，0）；（2）①3；②S＝4m＋12，﹣3＜m＜0；（3）
【解析】
【分析】
（1）在中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣3，即可得A（0，4），B（﹣3，0），
（2）①当▱OPBC为菱形时，BP＝OP，可得P是△AOB斜边上的中点，即得S△BOP＝S△AOB＝3，故S菱形OPBC＝2S△BOP＝6；
②过P作PH⊥OB于H，由点P的横坐标为m，且P在线段AB上，直线AB为，可得P（m，m＋4），﹣3＜m＜0，从而S△BOP＝OB•PH＝2m＋6，即得S＝2S△BOP＝4m＋12，﹣3＜m＜0；
（3）根据四边形OPBC是平行四边形，得BC＝OP，BC最小即是OP最小，故OP⊥AB时，BC最小，在Rt△AOB中，AB＝＝5，由S△AOB＝OA•OB＝AB•OP，可得OP＝，即得BC最小为．
【详解】
解：（1）在中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣3，
∴A（0，4），B（﹣3，0），
故答案为：（0，4），（﹣3，0）；
（2）①当▱OPBC为菱形时，BP＝OP，
∴∠PBO＝∠POB，
∴90°﹣∠PBO＝90°﹣∠POB，即∠BAO＝∠POA，
∴PA＝OP，
∴PA＝OP＝PB，即P是△AOB斜边上的中点，
∴S△BOP＝S△AOB＝×OA•OB＝3，
∴S菱形OPBC＝2S△BOP＝6，
故答案为：3；
②过P作PH⊥OB于H，如图：

∵点P的横坐标为m，且P在线段AB上，直线AB为，
∴P（m，m＋4），﹣3＜m＜0，
∴PH＝m＋4，
∴S△BOP＝OB•PH＝×3（m＋4）＝2m＋6，
∴S＝2S△BOP＝4m＋12，﹣3＜m＜0；
（3）∵四边形OPBC是平行四边形，
∴BC＝OP，
BC最小即是OP最小，
∴OP⊥AB时，BC最小，如图：

在Rt△AOB中，AB＝＝5，
∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OP，
∴OP＝＝，
∴BC最小为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次函数综合应用，涉及三角形面积、平行四边形、菱形等知识，解题的关键是用m的代数式表示P点纵坐标和相关线段的长度．
25．（1）；（2）；（3）①；②PB的长度为8或或．
【分析】
（1）证明Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，即可得到∠B′AM=∠DAM；
（2）由Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，得到AD
解析：（1）；（2）；（3）①；②PB的长度为8或或．
【分析】
（1）证明Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，即可得到∠B′AM=∠DAM；
（2）由Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，得到AD=AB′=AB=a，即可求得a=6；
（3）①利用勾股定理求出AC，在Rt△PB′C中利用勾股定理即可解决问题；
②分三种情形分别求解即可，如图2-1中，当∠PCB′=90°时．如图2-2中，当∠PCB′=90°时．如图2-3中，当∠CPB′=90°时，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=∠BAD=90°，
∵△PAB′与△PAB关于直线PA的对称，
∴△PAB≌△PAB′，
∴AB′=AB，∠AB′P=∠B=90°，∠B′AP=∠BAP，
∵∠PAM=45°，即∠B′AP +∠B′AM =45°，
∴∠DAM +∠BAP =45°，
∴∠DAM=∠B′AM，
∵AM=AM，
∴Rt△MAD≌Rt△MAB′(AAS)，
∴∠B′AM=∠DAM；
（2）∵由（1）知：Rt△MAD≌Rt△MAB′，
∴AD=AB′=AB=a，
∵AD=BC=6，
∴a=6；
（3）①在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
由勾股定理得：AC==10，
设PB=x，则PC=6−x，
由对称知：PB′=PB=x，∠AB′P=∠B=90°，
∴∠PB′C=90°，
又∵AB′=AB=8，
∴B′C=2，
在Rt△PB′C中， ，
∴(6−x)2=22+x2，
解得：x=，
即PB=；
②∵△PAB′与△PAB关于直线PA的对称，
∴△PAB≌△PAB′，
∴AB′=AB，∠AB′P=∠B=90°，PB′=PB，
设PB′=PB=t，
如图2-1中，当∠PCB'=90°，B'在CD上时，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AB′=AB=CD=8，AD=BC=6，
∴DB′，
∴CB′=CD−DB′=8−2，
在Rt△PCB'中，∵B'P2=PC2+B'C2，
∴t2= (8−2)2+(6−t)2，
∴t=；
如图2-2中，当∠PCB'=90°，B'在CD的延长线上时，

在Rt△ADB'中，DB′，
∴CB′=8+2，
在Rt△PCB'中，则有：(8−2)2+(t−3)2=t2，
解得t=；
如图2-3中，当∠CPB'=90°时，

∵∠B=∠B′=∠BPB′=90°，AB=AB′，
∴四边形AB'PB为正方形，
∴BP=AB=8，
∴t=8，
综上所述，PB的长度为8或或；
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
26．（1）；（2）点F到AD的距离为3，BF=；（3）2
【分析】
（1）连接DF，证明△ADF≌△CDA，得出CDF共线，然后用勾股定理即可；
（2）过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC
解析：（1）；（2）点F到AD的距离为3，BF=；（3）2
【分析】
（1）连接DF，证明△ADF≌△CDA，得出CDF共线，然后用勾股定理即可；
（2）过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC交BC的延长线于K，证明△EHF≌△CDE，再用勾股定理即可；
（3）当B，D，F共线时，此时BF取最小值，求出此时AE的值即可．
【详解】
解：（1）如图，连接DF，

∵∠CAF=90°，∠CAD=45°，
∴∠DAF=45°，
在△CAD和△FAD中，
，
∴△CAD≌△FAD（SAS），
∴DF=CD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
∴C，D，F共线，
∴BF2=BC2+CF2=42+82=80，
∴BF＝，
故答案为：；
（2）如图，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC交BC的延长线于K，

∵四边形CEFG是正方形，∴EC=EF，∠FEC=90°，
∴∠DEC+∠FEH=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠FEH，
又∵∠EDC=∠FHE=90°，
在△ECD和△FEH中，
，
∴△ECD≌△FEH（AAS），
∴FH=ED，
∵AD=4，AE=1，
∴ED=AD-AE=4-1=3，
∴FH=3，即点F到AD的距离为3，
∴∠DHK=∠HDC=∠DCK=90°，
∴四边形CDHK为矩形，
∴HK=CD=4，
∴FK=FH+HK=3+4=7，
∵△ECD≌△FEH，
∴EH=CD=AD=4，
∴AE=DH=CK=1，
∴BK=BC+CK=4+1=5，
在Rt△BFK中，BF＝；
（3）∵当A，D，F三点共线时，BF的最短，
∴∠CBF=45°，
∴FH=DH，
由（2）知FH=DE，EH=CD=4，
∴ED=DH=4÷2=2，
∴AE=2．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定，关键是要作辅助线构造全等的三角形，在正方形和三角形中辅助线一般是垂线段，要牢记正方形的两个性质，即四边相等，四个内角都是90°．