人教版初二上册压轴题强化数学综合试卷含答案.doc

人教版初二上册压轴题强化数学综合试卷含答案
1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足a2-4a+4+＝0．
（1）求a，b的值；
（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧，且∠ACB＝45°，求点C的坐标；
（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与 x轴交于点D，BC与y轴交于点E，连接 DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．
①求证：CF=BC；
②直接写出点C到DE的距离．

2．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=________度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

3．如图1,在平面直角坐标系中, ,动点从原点出发沿轴正方向以的速度运动,动点也同时从原点出发在轴上以的速度运动,且满足关系式,连接,设运动的时间为秒.
(1)求的值;
(2)当为何值时，
(3)如图2,在第一象限存在点,使,求.

4．在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，点A与点C关于y轴对称．

(1)如图1，OA=OB，AF平分∠BAC交BC于F，BE⊥AF交AC于E，请直接写出EF与EC的数量关系为　 　；
(2)如图2，AF平分∠BAC交BC于F，若AF=2OB，求∠ABC的度数；
(3)如图3，OA=OB，点G在BO的垂直平分线上，作∠GOH=45°交BA的延长线于H，连接GH，试探究OG与GH的数量和位置关系．
5．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．

(1)如图（1），已知C点的横坐标为-1，直接写出点A的坐标；
(2)如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE．求证：∠ADB=∠CDE；
(3)如图（3），若点A在x轴上，且A（-4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连结CD交，轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．
6．如图，在等边中，，分别为，边上的点，，．

(1)如图1，若点在边上，求证：；
(2)如图2，连．若，求证：；
(3)如图3，是的中点，点在内，，点，分别在，上，，若，直接写出的度数（用含有的式子表示）．
7．[背景]角的平分线是常见的几何模型，利用轴对称构造三角形全等可解决有关问题．
[问题]在四边形ABDE中，C是BD边的中点．

(1)如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）
(2)如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
(3)如图3，若∠ACE＝120°，AB＝4，DE＝9，BD＝12，则AE的最大值是______．（直接写出答案）
8．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．

【参考答案】
2．（1）a＝2，b＝-1；（2）满足条件的点C（2，1）或（1，-1）；（3）①证明见解析；②1．
【分析】（1）可得(a−2)2+＝0，由非负数的性质可得出答案；
（2）分两种情况：∠BAC=9
解析：（1）a＝2，b＝-1；（2）满足条件的点C（2，1）或（1，-1）；（3）①证明见解析；②1．
【分析】（1）可得(a−2)2+＝0，由非负数的性质可得出答案；
（2）分两种情况：∠BAC=90°或∠ABC=90°，根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质可求出点C的坐标；
（3）①如图3，过点C作CL⊥y轴于点L，则CL=1=BO，根据AAS可证明△BOE≌△CLE，得出BE=CE，根据ASA可证明△ABE≌△BCF，得出BE=CF，则结论得证；
②如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，根据SAS可证明△CDE≌△CDF，可得∠BAE=∠CBF，由角平分线的性质可得CK=CH=1．
【详解】（1）∵a2−4a+4+＝0，
∴(a−2)2+＝0，
∵（a-2）2≥0，≥0，
∴a-2=0，2b+2=0，
∴a=2，b=-1；
（2）由（1）知a=2，b=-1，
∴A（0，2），B（-1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵△ABC是直角三角形，且∠ACB=45°，
∴只有∠BAC=90°或∠ABC=90°，
Ⅰ、当∠BAC=90°时，如图1，

∵∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=CB，
过点C作CG⊥OA于G，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∵∠BAO+∠CAG=90°，
∴∠BAO=∠ACG，
在△AOB和△BCP中，
，
∴△AOB≌△CGA（AAS），
∴CG=OA=2，AG=OB=1，
∴OG=OA-AG=1，
∴C（2，1），
Ⅱ、当∠ABC=90°时，如图2，

同Ⅰ的方法得，C（1，-1）；
即：满足条件的点C（2，1）或（1，-1）
（3）①如图3，由（2）知点C（1，-1），
过点C作CL⊥y轴于点L，则CL=1=BO，

在△BOE和△CLE中，
，
∴△BOE≌△CLE（AAS），
∴BE=CE，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAO+∠BEA=90°，
∵∠BOE=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF，
∴CF＝BC；
②点C到DE的距离为1．
如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，

由①知BE=CF，
∵BE=BC，
∴CE=CF，
∵∠ACB=45°，∠BCF=90°，
∴∠ECD=∠DCF，
∵DC=DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∴CK=CH=1．
【点睛】此题考查三角形综合题，非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，角平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
3．（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．
【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB
解析：（1）90；（2）①，理由见解析；②当点D在射线BC．上时，a+β=180°，当点D在射线BC的反向延长线上时，a=β．
【分析】（1）可以证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，证明∠ACB＝45°，即可解决问题；
（2）①证明△BAD≌△CAE，得到∠B＝∠ACE，β＝∠B＋∠ACB，即可解决问题；
②证明△BAD≌△CAE，得到∠ABD＝∠ACE，借助三角形外角性质即可解决问题．
【详解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：；
（2）①．
理由：∵，
∴．
即．
又，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：当点D在射线BC上时，α+β=180°，连接CE，

∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=∠BAC+∠BCE=180°，
即：∠BCE+∠BAC=180°，
∴α+β=180°，
如图：当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．连接BE，

∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠ABD=∠ACE=∠ACB+∠BCE，
∴∠ABD+∠ABC=∠ACE+∠ABC=∠ACB+∠BCE+∠ABC=180°，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE．
∴α=β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β=180°或α=β．
【点睛】该题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；应牢固掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及其性质等几何知识点．
4．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把满足的关系式转化为非负数和的形式即可解答；
（2）画出图形，动点运动方向有两种情况，分情况根据列方程解答即可；
【详解】解：（1）
（
解析：（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把满足的关系式转化为非负数和的形式即可解答；
（2）画出图形，动点运动方向有两种情况，分情况根据列方程解答即可；
【详解】解：（1）

（2）当动点沿轴正方向运动时，如解图-2-1：

当动点沿轴负方向运动时，如解图-2-2：

（3）过作，连

在与

∴，

在与中

∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
又∵
∴
∵
∴
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造三角形是本题的关键．
5．(1)EF＝EC
(2)72°
(3)GH＝GO，GH⊥GO
【分析】（1）如图1中，设AF交BE于点J．首先证明AB=AE，再证明∠AEF=∠ABF=90°，可得结论；
（2）如图2中，取
解析：(1)EF＝EC
(2)72°
(3)GH＝GO，GH⊥GO
【分析】（1）如图1中，设AF交BE于点J．首先证明AB=AE，再证明∠AEF=∠ABF=90°，可得结论；
（2）如图2中，取CF的中点T，连接OT．由OA=OC，BO⊥AC，推出BA=BC，推出∠BAC=∠BCA，∠ABO=∠CBO，设∠BAC=∠BCA=2α，利用三角形内角和定理，构建方程求解即可；
（3）结论：OG=GH，OG⊥GH．如图3中，连接GB，在BA上取一点H′，使得GB=GH′，连接OH′，设AB交DG于点W，交OG于点K，连接OW．证明∠GOH′=GOH=45°，推出点H与点H′重合，可得结论．
（1）解：（1）结论：EF=EC．理由：如图1中，设AF交BE于点J．∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF，∵BE⊥AF，∴∠BAF+∠ABE=90°，∠CAF+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∵A，C关于y轴对称，∴OA=OC，∵OA=OB，∴OA=OB=OC，∴∠OAB=∠OBA=45°，∠OCB=∠OBC=45°，∴∠ABC=90°，在△ABF和△AEF中，，∴△ABF≌△AEF（SAS），∴∠AEF=∠ABF=90°，∴∠CEF=90°，∴∠ECF=∠EFC=45°，∴EF=EC；
（2）解：如图2中，取CF的中点T，连接OT．∵AO=OC，FT=TC，∴OT∥AF，OT=AF，∵AF=2OB，∴OB=OT，∴∠OBT=∠OTB，∵OA=OC，BO⊥AC，∴BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，∠ABO=∠CBO，设∠BAC=∠BCA=2α，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF=∠CAF=α，∵OT∥AF，∴∠TOC=∠CAF=α，∴∠OBT=∠OTB=∠TOC+∠TCO=3α，∵∠OBC+∠OCB=90°，∴5α=90°，∴α=18°，∴∠OBC=36°，∴∠ABC=2∠OBC=72°；
（3）解：结论：OG=GH，OG⊥GH．理由：如图3中，连接GB，在BA上取一点H′，使得GB=GH′，连接OH′，设AB交DG于点W，交OG于点K，连接OW．设∠OGB=m，∠OGH′=n，∵GD垂直平分线段OB，∴GB=GO，∠DGB=∠DGO=m，∵GB=GO=GH′，∴∠GH′O=（180°-n）=90°-n，∠GH′B=（180°-m-n）=90°-m-n，∴∠KH′O=∠GH′O-∠GH′B=90°-n-（90°-m-n）=m，∴∠KH′O=∠KGW，∵∠GKW=∠H′KO，∴∠H′OK=∠GWK，∵DG∥OA，∴∠GWK=∠OAB=45°，∴∠COH′=45°，∵∠COH=45°，∴∠COH=∠COH′，∴点H与点H′重合，∴OG=GH，∴∠GHO=∠GOH=45°，∴∠OGH=90°，∴GH=GO，GH⊥GO．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，第三个问题比较难，采用了同一法解决问题．
6．(1)A（0，1）；
(2)见解析；
(3)不变，BP= 2．
【分析】（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，构建全等三角形：△ACF≌△ABO（AAS），结合该全等三角形的对应边相等易
解析：(1)A（0，1）；
(2)见解析；
(3)不变，BP= 2．
【分析】（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，构建全等三角形：△ACF≌△ABO（AAS），结合该全等三角形的对应边相等易得OA的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标；
（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△ABD（ASA），即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G，由∠DCE=∠GCE=45°，可证△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G，从而得到结论；
（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E，构建全等三角形：△CBE≌△BAO（AAS），结合全等三角形的对应边相等推知：CE=BO，BE=AO=4．再结合已知条件和全等三角形的判定定理AAS得到：△CPE≌△DPB，故BP=EP=2．
（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，∵CF⊥y轴于点F，∴∠CFA=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∵∠CAB=90°，∴∠CAF+∠BAO=90°，∴∠ACF=∠BAO，在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS），∴CF=OA=1，∴A（0，1）；
（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∵CG⊥AC，∴∠ACG=90°，∠CAG+∠AGC=90°，∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠DAO=90°，∴∠AGC=∠ADO，在△ACG和△ABD中，，∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG=AD=CD，∠ADB=∠G，∵∠ACB=45°，∠ACG=90°，∴∠DCE=∠GCE=45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE=∠G，∴∠ADB=∠CDE；
（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．∵∠ABC=90°，∴∠CBE+∠ABO=90°．∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBE=∠BAO．∵∠CEB=∠AOB=90°，AB=AC，∴△CBE≌△BAO（AAS），∴CE=BO，BE=AO=4．∵BD=BO，∴CE=BD．∵∠CEP=∠DBP=90°，∠CPE=∠DPB，∴△CPE≌△DPB（AAS），∴BP=EP=2．
【点睛】本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．
7．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接DF，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形，则DF=EF，又△ABC是等边三角形，根据三角形内角和可
解析：(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接DF，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可判断△DEF是等边三角形，则DF=EF，又△ABC是等边三角形，根据三角形内角和可得出，∠AFD=∠FEC，所以△ADF≌△CFE（AAS），则AD=CF；
（2）过点F作JKAC交AB于点J，交BC于点K，过点F作PIAB交AC于P，交BC于点I，连接DF，则△BJK和△CPI是等边三角形，△BDE≌△JFD≌KEF，所以DJ=BE=FK，因为ABPI，FKAC，所以四边形AJFP是平行四边形，则AJ=PF，易得△CPI为等边三角形，由∠FCB=30°可得CF平分∠PCI，则FI=FP，所以FP=AJ，FK=BE=DJ，FI=FK，所以AJ=DJ=BE，即AD=AJ+DJ=2BE；
（3）延长MO到点G，使OG=OM，连接NG，BG，NM，作∠ACQ=∠ABN，且使CQ=BN，连接MQ，AQ，先得到△BOG≌△COM（SAS），再得到△ACQ≌△ABN（SAS）和△BNG≌△CQM（SAS），所以∠NAM=∠MAQ=∠CAM+∠CAQ=∠CAM+∠BAN，所以∠CAM+∠BAN=30°，则∠CAM=，所以∠BAN=30°-．
(1)
证明：如图，连接，

，，
∵是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
，
，
，
，，
，
；
(2)
证明：如图，过点作交于点，交于点，过点作交于，交于点，连接，

，
，
和是等边三角形，
，，
是等边三角形，
由（1）中结论可知，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
为等边三角形，，
，
平分，
是等边三角形，
，
，
，，
，即；
(3)
如图，延长到点，使，连接，，，作，且使，连接，，

，，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形的综合题，涉及全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一等知识，类比思想及构造的思想进行分析，仿造（1）中的结论构造出全等三角形是解题关键．
8．(1)AE=AB+DE
(2)AE=AB+DE+BD
(3)
【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△
解析：(1)AE=AB+DE
(2)AE=AB+DE+BD
(3)
【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出结论；
（3）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG．可以求得CF=CG，△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，进而得出结论；
（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．根据两点之间线段最短解决问题即可．
(1)
AE=AB+DE；
理由：在AE上取一点F，使AF=AB，

∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
，
∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．
∵C是BD边的中点．
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°
∴∠ECF=∠ECD．
在△CEF和△CED中，
，
∴△CEF≌△CED（SAS），
∴EF=ED．
∵AE=AF+EF，
∴AE=AB+DE，
故答案为：AE=AB+DE；
(2)
猜想：AE=AB+DE+BD．
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG．

∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=BD．
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，

∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，
∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，
∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，
∴CG=CF
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°．
∴∠FCA+∠GCE=60°．
∴∠FCG=60°．
∴△FGC是等边三角形．
∴FG=FC=BD．
∵AE=AF+EG+FG．
∴AE=AB+DE+BD．
(3)
作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG，如图所示：

∵C是BD边的中点，
∴CB=CD=BD=，
∵△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB=，
∴∠BCA=∠FCA，
同理可证：CD=CG=，
∴∠DCE=∠GCE，
∵CB=CD，
∴CG=CF，
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°，
∴∠FCA+∠GCE=60°，
∴∠FCG=60°，
∴△FGC是等边三角形，
∴FC=CG=FG=，
∵AE≤AF+FG+EG，
∴当A、F、G、E共线时AE的值最大，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．
9．（1）， ；（2）， ；（3）．
【分析】（1）先判断出，再判定，再判断，
（2）先判断出，再得到同理（1）可得结论；
（3）先判断出，再判断出，最后计算即可．
【详解】解：（1）与的位置关
解析：（1）， ；（2）， ；（3）．
【分析】（1）先判断出，再判定，再判断，
（2）先判断出，再得到同理（1）可得结论；
（3）先判断出，再判断出，最后计算即可．
【详解】解：（1）与的位置关系是：，数量关系是．
理由如下：
如图1，延长交于点．

于，
．
，，
，
，，．
，
．
AE⊥BC
∴，
，
．
（2）与的位置关系是：，数量关系是．
如图，线段AC与线段BD交于点F，线段AE与线段BD交于点G，

，
，
即．
，，
，
，．
AE⊥BC
∴，
又∵
，
．
（3）如图，线段AC与线段BD交于点F，

和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，

，
∴，
，

与的夹角度数为．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，判断垂直的方法，解本题的关键是判断．