材料力学-第5章-扭转.ppt

第 五 章 扭 转1.5.1 5.1 扭转的概念及实例扭转的概念及实例扭转试验扭转试验2.5.1 5.1 扭转的概念及实例扭转的概念及实例ABABj j MeMe荷载特征：一对转向相反、位于垂直杆轴线的两平面荷载特征：一对转向相反、位于垂直杆轴线的两平面内（横截面）的力偶；内（横截面）的力偶；变形特征：杆件的任意两个横截面将绕杆轴线发变形特征：杆件的任意两个横截面将绕杆轴线发生相对转动，而杆的轴线仍保持直线。生相对转动，而杆的轴线仍保持直线。扭转角扭转角剪切角剪切角3.扭转的实例扭转的实例汽车的转向操纵杆汽车的转向操纵杆传动轴传动轴钥匙钥匙拧毛巾拧毛巾等等轴：以扭转变形为主的杆件。轴：以扭转变形为主的杆件。4.5.2.1 5.2.1 外力偶矩的计算外力偶矩的计算输入功率：输入功率：P(kW)Me每秒输入功：每秒输入功：每秒每秒M Me e 作功：作功：注意单位注意单位对传动轴等扭转构件，通常已知输入功率对传动轴等扭转构件，通常已知输入功率P（kW）和转速）和转速n(rpm),要求扭矩，先要求出外力偶矩要求扭矩，先要求出外力偶矩Me转速：转速：n(转转/分分)5.5.2.2 5.2.2 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图1 1、扭矩的概念、扭矩的概念扭转变形的杆往往称之为扭转轴；扭转变形的杆往往称之为扭转轴；扭转轴的内力称为扭矩扭转轴的内力称为扭矩2 2、扭矩的计算、扭矩的计算 截面法截面法MeTMeMeT 扭矩，单位：扭矩，单位：Nm6.5.2.25.2.2 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3 3、扭矩正负号的规定、扭矩正负号的规定确定扭矩方向的右手螺旋法则：确定扭矩方向的右手螺旋法则：大拇指指向截面的外法线方向，大拇指指向截面的外法线方向，4 4个手指的指向为该截面个手指的指向为该截面上扭矩的正方向。上扭矩的正方向。外法线方向外法线方向T 0外法线方向外法线方向T 07.5.2.25.2.2 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图4 4、扭矩图、扭矩图扭转变形的内力图扭转变形的内力图扭矩图的作图步骤：扭矩图的作图步骤：扭矩图的注意事项：扭矩图的注意事项：先画基线（横坐标先画基线（横坐标x x轴），轴），基线基线轴线轴线；画纵坐标，画纵坐标，“正在上，负在下正在上，负在下”；标注正负号、值的大小及图形名称标注正负号、值的大小及图形名称。多力偶作用时要分段求解，一律先假定为正方向；多力偶作用时要分段求解，一律先假定为正方向；基线基线轴线，轴线，“正在上，负在下正在上，负在下”，比例一致，封闭图形，比例一致，封闭图形正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力值的大小，不带正负号；值的大小，不带正负号；阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。8.例题：例题：477.5Nm955Nm解：先计算外力偶矩解：先计算外力偶矩用直接法作扭矩图用直接法作扭矩图Tmax=955NmBCADMBeMCeMDeMAe637Nm例例5-1：已知已知A轮输入功率为轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别轮输出功率分别为为15、15、20kW，轴的转速为，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。，画出该轴扭矩图。+T图图9.一、薄壁圆管扭转时的应力一、薄壁圆管扭转时的应力1 1、实验、实验将一薄壁圆管表面用纵向平行将一薄壁圆管表面用纵向平行线和圆周线划分线和圆周线划分两端施以大小相等方向相反两端施以大小相等方向相反一对力偶矩一对力偶矩观察到：观察到：#圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变#纵向平行线都倾斜了一个角度，变成螺旋线，纵向平行线都倾斜了一个角度，变成螺旋线，仍保持相互平行仍保持相互平行Me5.3 5.3 纯剪切纯剪切10.5.3 5.3 纯剪切纯剪切1 1、圆筒任意两横截面之、圆筒任意两横截面之间相对转动的角位移，称间相对转动的角位移，称为为扭转角扭转角扭转角扭转角，用，用 表示。表示。2 2、纵线倾斜的角度，即、纵线倾斜的角度，即圆筒表面上每个格子的圆筒表面上每个格子的直角的改变量直角的改变量，称为，称为剪应变剪应变剪应变剪应变。用。用 表示表示 。MeMe11.5.3 5.3 纯剪切纯剪切取其中任意一个格子取其中任意一个格子ABCD作为研究对象作为研究对象MeMeABCDABCD变形后，变形后，ABCD由原来的矩形变成了平行四边形由原来的矩形变成了平行四边形ABCDdxtABCD CD所以，横截面上有剪应力的存在，而无正应力存在。所以，横截面上有剪应力的存在，而无正应力存在。12.5.3 5.3 纯剪切纯剪切MeMe1 1、横截面之间相对转动了一个角度，横截面上只、横截面之间相对转动了一个角度，横截面上只有剪应力，没有正应力；有剪应力，没有正应力；结论：结论：2 2、剪应力的方向垂直于半径。、剪应力的方向垂直于半径。13.5.3 5.3 纯剪切纯剪切采用截面法将圆筒截开，横截面上有扭矩采用截面法将圆筒截开，横截面上有扭矩T由于壁很薄，可以假设剪应力沿壁厚由于壁很薄，可以假设剪应力沿壁厚均匀分布均匀分布从中取出一块微面积从中取出一块微面积dAdA，MeTTdAdA设壁厚为设壁厚为t，平均半径为，平均半径为R，则，则则微面积则微面积dAdA上的合力为：上的合力为：t壁厚壁厚R 平均半径平均半径2 2、薄壁圆筒横截面剪应力的计算、薄壁圆筒横截面剪应力的计算14.5.3 5.3 纯剪切纯剪切t 壁厚壁厚R 平均半径平均半径注意：注意：T1、薄壁圆管扭转时横截面上只有剪应力，没有正应力；、薄壁圆管扭转时横截面上只有剪应力，没有正应力；2 2、剪应力沿壁厚均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的剪应力沿壁厚均匀分布，与半径垂直，指向与扭矩的转向一致转向一致;3、注意此公式的前提是、注意此公式的前提是薄壁圆管的扭转剪应力公式薄壁圆管的扭转剪应力公式。15.xydydzabdzdxc在单元体左、右面（杆的横截面）上只有剪应力，如图建在单元体左、右面（杆的横截面）上只有剪应力，如图建立坐标系，剪应力方向与立坐标系，剪应力方向与 y 轴平行。轴平行。可知，两侧面的内力元素可知，两侧面的内力元素 x dy dz大小相等，方向相反，将组成大小相等，方向相反，将组成一个力偶。其矩为：一个力偶。其矩为：由平衡方程由平衡方程二、剪应力互等定理二、剪应力互等定理(x dy dz)dx5.3 5.3 纯剪切纯剪切16.5.3 5.3 纯剪切纯剪切xydydzabdzdxc要满足平衡方程，在单元体上下要满足平衡方程，在单元体上下两个截面上必然也有力的存在，两个截面上必然也有力的存在，并且组成一个力偶。其矩为：并且组成一个力偶。其矩为：(y dx dz)dy由平衡条件，有：由平衡条件，有：(x dy dz)dx(y dx dz)dy x y17.5.3 5.3 纯剪切纯剪切xydydzabdzdxc剪应力互等定理：剪应力互等定理：单元体两个相互垂直的平面单元体两个相互垂直的平面上，垂至于两平面交线的剪上，垂至于两平面交线的剪应力总是同时存在，且大小应力总是同时存在，且大小相等，都指相（或都背离）相等，都指相（或都背离）两平面的交线。两平面的交线。纯剪应力状态：纯剪应力状态：单元体平面上只有剪应力而无正应力，则称该单元单元体平面上只有剪应力而无正应力，则称该单元体为纯剪应力状态。体为纯剪应力状态。18.5.3 5.3 纯剪切纯剪切 当剪应力不超过材料的剪切弹性极当剪应力不超过材料的剪切弹性极限时，剪应力与剪应变之间成正比关系，限时，剪应力与剪应变之间成正比关系，这个关系称为这个关系称为剪切胡克定律剪切胡克定律。G称为剪切弹性模量，单位称为剪切弹性模量，单位GPa三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 在剪应力的作用下，单元体的直角在剪应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量将发生微小的改变，这个改变量 称为称为剪应变剪应变。时时19.思考题思考题剪应变为剪应变为剪应变为剪应变为0 0 指出下面图形的剪应变指出下面图形的剪应变20.5.45.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形t壁厚壁厚R 平均半径平均半径前面推导得到：薄壁圆筒横截面前面推导得到：薄壁圆筒横截面剪应力剪应力与与扭矩扭矩之间的关系：之间的关系：T剪应力沿壁厚均匀分布剪应力沿壁厚均匀分布21.5.45.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形1 1、整个横截面上只有剪应力，没有正应力、整个横截面上只有剪应力，没有正应力;1 1、实验、实验平面假设：变形前为平平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为面的横截面变形后仍为平面（形状和大小都不平面（形状和大小都不改变）改变）MeMe一、一、圆截面杆受扭时横截面上的应力圆截面杆受扭时横截面上的应力结论：结论：2 2、剪应力的方向垂直于半径。、剪应力的方向垂直于半径。22.MeMe5.45.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形dx2 2、剪应力的公式推导、剪应力的公式推导分别从分别从几何几何、物理物理和和静力平衡静力平衡三方三方面推导面推导aab1dxb几何方面几何方面32423从受扭圆杆内任取长为从受扭圆杆内任取长为dx的微段，的微段，a、b两个横截面两个横截面相对转动了角度相对转动了角度 ，横横截面圆周上任一点截面圆周上任一点1 处的处的剪应变是剪应变是 abab23.5.45.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形再从该微段中取出微元再从该微段中取出微元1234O1O2作为研究对象。作为研究对象。aab1dxb32423132423R在离轴线任意距离在离轴线任意距离处的剪应处的剪应变为变为，则：，则：mmdx24.5.45.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形132423R离轴线任意距离离轴线任意距离处的剪应变为处的剪应变为:则说明则说明 ：同一半径：同一半径 圆周上各点圆周上各点剪应变剪应变 均相同，且其值与均相同，且其值与 成成正比。正比。mmdx称为单位长度上的扭转称为单位长度上的扭转角（角（扭率扭率），在同一横），在同一横截面上为常数。截面上为常数。25.5.45.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形由剪切胡克定律：由剪切胡克定律：同一圆周上各点剪应力同一圆周上各点剪应力 均相均相同同，且其值与，且其值与 成正比成正比，垂直与半径。垂直与半径。132423Rmdx物理方面物理方面26.5.45.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形整个横截面上的内力元素整个横截面上的内力元素 的合力必的合力必等于零，并组成一个力偶，这就是横等于零，并组成一个力偶，这就是横截面上的扭矩。截面上的扭矩。RoTdAdA静力平衡方面静力平衡方面(极惯性矩极惯性矩)令令:27.5.45.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形离轴线任意距离离轴线任意距离处的剪应变为：处的剪应变为：圆轴扭转时横截面上的剪应力计算公式圆轴扭转时横截面上的剪应力计算公式:几何方面几何方面物理方面物理方面静力平衡方面静力平衡方面(极惯性矩极惯性矩)圆截面杆受扭时横截面上的剪应力：圆截面杆受扭时横截面上的剪应力：28.5.45.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时横截面上的剪应力圆轴扭转时横截面上的剪应力:T为横截面上的扭矩；为横截面上的扭矩；为求应力的点到圆心为求应力的点到圆心的距离的距离TT剪应力剪应力垂直于半径，指向与垂直于半径，指向与T的转向一致；的转向一致；剪应力沿直径呈直线分布，剪应力沿直径呈直线分布，横截面周边各点横截面周边各点处剪应力达到最大值，圆心处剪应力为零。处剪应力达到最大值，圆心处剪应力为零。令令Wt：扭转截面系数，单位：扭转截面系数，单位m3注意：此公式及分布规律对于注意：此公式及分布规律对于实心和空心圆截面杆均适用。实心和空心圆截面杆均适用。29.5.45.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形空心、实心圆轴扭转时横截面上的剪应力空心、实心圆轴扭转时横截面上的剪应力2、当内径与外径之比、当内径与外径之比d/D0.9时，空心圆截面杆的剪应时，空心圆截面杆的剪应力计算可采用薄壁圆管的应力公式。力计算可采用薄壁圆管的应力公式。薄壁圆管扭转时横截面上的剪应力薄壁圆管扭转时横截面上的剪应力圆截面杆受扭时横截面上的应力圆截面杆受扭时横截面上的应力注意注意：1、扭转变形时横截面上只有剪应力，没有正应力。、扭转变形时横截面上只有剪应力，没有正应力。t壁厚壁厚R 平均半径平均半径 求应力点的半径求应力点的半径 极惯性矩极惯性矩30.5.45.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形抗扭刚度抗扭刚度扭率：扭率：扭率扭率（单位长度上的扭转角）（单位长度上的扭转角）描述了扭转变形的程度描述了扭转变形的程度扭转角：扭转角：单位：单位：rad二、扭转变形二、扭转变形当在杆两截面之间的扭矩当在杆两截面之间的扭矩T T不变，不变，且两截面间为等截面的：且两截面间为等截面的：当在杆长当在杆长L L内扭率分段为常数时，内扭率分段为常数时，用用求和公式求和公式31.5.45.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形例例5-2 传动轴传动轴AB传递的功率传递的功率P=7.5kW，转速，转速n=360rpm。轴的。轴的AC段段为实心圆截面，为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知段为空心圆截面。已知D=30mm，d=20mm。计。计算算AC段横截面边缘处的剪应力，以及段横截面边缘处的剪应力，以及CB段横截面外边缘和内边缘段横截面外边缘和内边缘处的剪应力。处的剪应力。32.5.45.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形解：解：1、计算扭矩：、计算扭矩：2、计算极惯性矩：、计算极惯性矩：3、计算剪应力：、计算剪应力：计算扭矩先计算外力偶矩：计算扭矩先计算外力偶矩：33.5.45.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形例例5-3 传动轴如图，作用在轴上的外力偶矩传动轴如图，作用在轴上的外力偶矩m1=1000Nm，m2=700Nm，m3=300Nm，轴的直径，轴的直径d=50mm，l1=l2=1.5m，材料，材料的剪切弹性模量的剪切弹性模量G=80GPa，求截面，求截面B相对于截面相对于截面A的扭转角。的扭转角。34.5.45.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形解：解：1 1、计算扭矩：、计算扭矩：2 2、计算相对扭转角：、计算相对扭转角：截面截面B相对于截面相对于截面A的扭转角为：的扭转角为：当扭矩不一样时，画出扭矩图：当扭矩不一样时，画出扭矩图：35.5.55.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算强度条件的应用强度条件的应用:强度条件：强度条件：对于等截面杆，扭转轴内最大剪应力对于等截面杆，扭转轴内最大剪应力发生在扭矩最大的截面的圆周上发生在扭矩最大的截面的圆周上（1 1）校核强度）校核强度:（2 2）设计截面）设计截面:（3 3）确定荷载）确定荷载:先求许用扭矩，再由扭矩和荷载之间的关系确定荷载先求许用扭矩，再由扭矩和荷载之间的关系确定荷载36.5.55.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算以度每米为单位时：以度每米为单位时：以弧度每米为单位时：以弧度每米为单位时：刚度条件：刚度条件：当在杆两截面之间的扭矩当在杆两截面之间的扭矩T T不变，不变，且两截面间为等截面的扭转角：且两截面间为等截面的扭转角：37.5.55.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算刚度条件的应用：刚度条件的应用：（3 3）确定荷载）确定荷载（1 1）校核刚度）校核刚度（2 2）设计截面）设计截面38.5.55.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算例：内外径分别为例：内外径分别为20mm和和40mm的空心圆截面轴，受扭矩的空心圆截面轴，受扭矩T=1kNm作用，计算横截面上作用，计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。和最小剪应力。解：解：39.5.55.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算例：例：某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩m=1.5kNm,传动轴用外传动轴用外径径D=90mm、壁厚壁厚t=2.5mm，材料为材料为45号钢号钢，钢管做成钢管做成。=60MPa。试求：。试求：1、校核此轴的强度校核此轴的强度；2、若采用实心圆轴，并使其与钢管的强度相同，设计其直、若采用实心圆轴，并使其与钢管的强度相同，设计其直 径。径。40.5.55.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算解：解：1 1、计算抗扭截面模量：、计算抗扭截面模量：2 2、强度校核：、强度校核：3 3、要使强度相同，即满足最大剪应力相同：、要使强度相同，即满足最大剪应力相同：若两轴长度相等，材料相同，则若两轴长度相等，材料相同，则两轴的重量之比：两轴的重量之比：41.5.55.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算例：例：已知已知A轮输入功率为轮输入功率为48kW，B、C、D轮输出功率分别为轮输出功率分别为18、15、15kW，轴的转速为，轴的转速为300r/min，G=80GPa，60MPa，=0.85(度度/m)。试设计该轴直径。试设计该轴直径。BACDMBeMAeMDeMCe42.5.55.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算解：解：1、先计算外力偶矩、先计算外力偶矩:BACDMBeMAeMDeMCe2、采用截面法作出扭矩图、采用截面法作出扭矩图:由扭矩图可知：由扭矩图可知：危险截面是危险截面是AC段中的任意段中的任意一个截面。一个截面。43.5.55.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算3、设计轴的直径、设计轴的直径:由强度条件由强度条件:由刚度条件由刚度条件:为了同时满足强度和刚度条件，选定为了同时满足强度和刚度条件，选定可见此传动轴的控制因素为刚度条件。可见此传动轴的控制因素为刚度条件。44.5.55.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的时，横截面的最大剪应力是原来的 倍？倍？圆轴的扭转角是原来的圆轴的扭转角是原来的 倍？倍？81645.5.55.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算例：在强度相同的条件下，用例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5d/D=0.5的空心圆轴取代的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴的直径为解：设实心轴的直径为 d d1 1 ，由，由得：得：0.80.81.1920.80.51246.5.65.6 扭转静不定问题扭转静不定问题ABCm m已知:AB阶梯轴两端固定,C处作用外力偶矩m,AC 抗扭刚度为G1Ip1,CB抗扭刚度为G2Ip2.求:轴的扭矩.解:1 静力学关系2 变形几何关系 ACBmab扭转静不定问题mBACBmmAx47.5.65.6 扭转静不定问题扭转静不定问题3 物理关系解出:ACBmabmBACBmmA48.作业作业本章习题本章习题5.7 5.11 5.13 5.1649.课堂练习课堂练习2、钢质实心轴和铝质空心轴（内外径比值=0.6）的长度及横截面面积相等，钢质实心轴的许用剪应力为 ，铝质空心轴的许用剪应力为 。若仅从强度条件考虑，问哪一根轴能承受较大的扭矩？1、何谓剪应力互等定理？50.课堂练习课堂练习2、解：设钢质实心轴直径为d,能承受的扭矩为T;铝质空心轴外径为D1，能承受的扭矩为T1。因为两轴横截面面积相等仅从强度条件考虑轴能承受的扭矩 1、答：在互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；它们都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。51.对于铝质空心轴 铝质空心轴能承受较大的扭矩。课堂练习课堂练习52.此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！