平面向量专题复习知识梳理.docx

高中复习知识梳理之八平面向量一、重点知识（一）基本概念：向量的有关概念有：向量、自由向量、有向线段、位置向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）、数乘向量；基线、单位向量、基向量、基底、正交基底： ；向量在轴上的正射影、向量在轴方向上的数量： ；向量的模（或向量的长度）： ；（二）向量的基本运算：1. 向量的线性运算：加法、减法及数乘向量的综合运算： （1）向量求和的三角形法则： ； （2）向量求和的平行四边形法则： ； （3）向量求和的多边形法则： ； （4）向量减法法则： ；结论 在中（加）或（减）称为向量三角形；推广可有，称为封闭折线（5）数乘向量的定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作 ；其长为 ；其方向为： ；数乘向量的几何意义是： ；向量加法满足下列运算律：（1）加法交换律： ;(2)加法结合律： ；数乘向量满足下列运算律：（1） （2） （3） 。如：在平行四边形ABCD中,已知,试用表示 .如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，则的值为2. 向量共线的条件：结论2 （平行向量基本定理）向量与平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数使特别地，三点共线3. 轴上向量的坐标及其运算：已知轴，取单位向量，对于轴上任意向量总是存在唯一实数x使得，我们称x为向量在轴上的坐标（或数量）。设是轴的一个基向量，向量的坐标为AB，则；若轴为x轴，可设点A、B的坐标分别为x1，x2，则向量的坐标AB=。4. 向量的分解：结论3（平面向量基本定理） 设是平面上两个不共线向量（称为一组基底），则对平面上任一向量，存在唯一实数使这里 称为向量关于基底 的分解式。特别地若，则有称为定比分点向量式，也称为直线AB的向量参数方程式；称为中点向量式（为中点）上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法，如：证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成的两条线段。求证三条高相交于一点5.平面向量的坐标运算：对于结论3，若是一组单位正交基底，则称是向量在基底下的坐标，记作。（在平面直角坐标系下）用坐标表示下列结论：设，则有： ； ； ； ；6.向量的数量积：结论4 两个向量的数量积为，其中为两个向量的夹角，其范围为 数量积有如下性质： ；是点到直线（甚至到平面）距离公式推导的根据； 夹角公式 ；（坐标形式） 即 （用于求模）； ；（坐标形式） （某些不等式放缩证明的根据）数量积的运算律：（1）交换律： ；（2）数乘律： ；（3）分配律： 。（请给出证明）注意：不满足消去律：推不出结论，举例： 。如：已知平面上直线l的方向向量=(-)，点O(0,0)和点A(1, -2)在l上的射影分别为和，且，其中=（ ）A B- C 2 D-2模公式的应用举例：（1）求证: ，其几何意义是 。（2）若,则 （3）已知,则与的夹角为 （4）已知中每两个向量夹角都为且,求值.7. 直线的方向向量 ，法向量 ，若再已知定点，而且点，是单位法向量，则点P到直线的距离公式为： 。（向量形式）8. 结论： ，称为向量三角形不等式（三）三角形的“四心”与向量1. 关于重心G，有重心公式：坐标，并有性质；2. 关于垂心H，有性质；3. 关于外心O，有性质；结论：O、H、G三点共线且；此线称为欧拉（）线。（如何证明？）4. 关于内心I，经常涉及内角平分线的研究，如。 如： 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心在四边形ABCD中，=（1，1），则四边形ABCD的面积是 设斜的外接圆圆心为，两条边上的高的交点为，则实数= 。 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过的（ ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心（四）向量与解析几何在解析几何中，熟练掌握下列结论，有助于更好地运用向量：（1）A、B、C三点共线等价于存在实数，使得（）；（2）的重心G的坐标公式为（3）直线的方向向量是什么？ 给定两点：，那么，这也就是方向向量，横坐标单位化，得：，也就是说：直线的方向向量是，直线的法向量是例如：已知为坐标原点，点的坐标分别为,点运动时，满足，（1）求动点的轨迹的方程 （2）设、是轨迹上的两点，若，求直线的方程体验练习题一：一、选择题1已知平面向量a= ，b=， 则向量( )A平行于轴 B平行于第一、三象限的角平分线 C平行于轴 D平行于第二、四象限的角平分线 2一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为( )( A 6 B 2 C D 3设P是ABC所在平面内的一点，则（）A B C D4设向量，满足：，以，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) . A B C D5已知，向量与垂直，则实数的值为（ ） （A） （B） （C） （D）6 8在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）ABCD7 3已知平面向量，且/，则（ ）A、 B、 C、 D、8 5已知平面向量，与垂直，则是( )A 1 B 1 C 2 D 29 4若向量满足，与的夹角为，则( ) A B C D210已知平面向量，则向量( ) 11在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是( )（A） （B） （C） （D） 12已知向量，若与垂直，则( )A B C D4二、填空题1若平面向量，满足，平行于轴，则 2已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积= 3已知向量和的夹角为，则 4已知向量，且，则= 5设O、A、B、C为平面上四个点，且，则_6在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则_（用表示）7. 设向量，（1）若与垂直，求值；（2）求的最大值；（3）若，求证：.8已知向量和，且求的值.体验练习题二：一、选择题：1若向量a =（1，2），b =（1，-3），则向量a与b的夹角等于（ ） A B C D 2在平面直角坐标系中作矩形,已知,则的值为（ ）A 0 B 7 C 25 D3向量,的夹角为120，2，则（）等于（ ）A B 2 C D 64已知向量，|1，对任意实数t，恒有|t|，则（ ）A B() C() D()()5已知，向量与垂直，则实数的值为（） （A） （B） （C） （D）6已知向量，如果，那么( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向7已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么（ ） A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向二填空题：8已知向量若向量，则实数的值是 ； 9设O为坐标原点，向量 将绕着点 按逆时针方向旋转 得到向量 , 则的坐标为_10设集合平面向量，定义在上的映射，满足对任意x，均有(x) =x（R且）若a= b 且a、b不共线，则( a) (b)（a+b）=_；若，且，则_11若把函数的图象按向量平移，得到函数的图象，则向量的坐标为 12设向量则的最大值为 _13已知向量，如果，那么( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向14已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么（ ） A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向三、解答题：15四边形中， （1）若，试求与满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有，求的值及四边形的面积。16 在直角坐标平面中，已知点，其中是正整数，对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点.（1）求向量的坐标；（2）当点在曲线C上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，.求以曲线C为图象的函数在上的解析式；（3）对任意偶数，用表示向量的坐标.解析：因为=（1，1）,所以四边形ABCD为平行四边形,所以 则四边形ABCD的面积为解法一：=由已知,得又，。解法二：由已知，得。解（1）设点，A0关于点P1的对称点A1的坐标为A1关于点P2的对称点A2的坐标为，所以， （2）解法一的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到.因此，基线C是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当解法二设若当 （3）由于，