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高2022级其次期4月阶段性测试数学试题
考试时间:120分钟 满分:150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）.
1.的值等于 （ ）
A. B. C. D.
2.在等差数列{an}中，a1+a9=10，则a5的值为 ( )
A. 5 B. 6 C . 8 D. 10
3.在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC确定是 ( )
A.直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D.正三角形
4．若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝，则等于 ( )
A. B. C. D.30
5.已知函数，则是 （ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
6. 如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在点A的同侧的河岸边选定一点
C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点
的距离为 （ ）
A. 50 B. 25
C. 100 D.10
7.在△ABC中，tan A＋tan B＋＝tan A·tan B，则C等于 ( )
A. B. C. D.
8.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A等于 ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
9.设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是
（ ）
A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
10.已知数列｛an｝满足an+2+an =2an+1（n∈N*），且a5=，若函数，记，则数列｛yn｝的前9项和为 （ ）
A.0 B.-9 C.9 D.1
11.已知△ABC的内角A，B，C满足sin C[cos(A-B)+cosC]= ，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式确定成立的是 ( )
A．bc(b＋c) ≤8 B．bc(b＋c)>8 C．12≤abc≤24 D．6≤abc≤12
12.函数f(x)=()的值域是 （ ）
A．[-] B．[-1,0] C．[-] D．[-]
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上).
13.= ____________.
14.设的三个内角为，向量，，若，则=____________.
15. 数列{an}满足a1＋a2＋…＋an＝2n＋5，则an＝ .
16.如图，A是两条平行直线之间的一个定点，且A到的距离分别为，设的另两个顶点B,C分别在上运动，且，，则以下结论正确的序号是____________.
①是直角三角形；②的最大值为;
③;
④设的周长为，的周长为，则
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).
16．(本题满分10分) 已知函数＝sin＋2sin2 (x∈R)．
(1)求函数的最小正周期；
(2)求使函数取得最大值时x的集合．
17.(本题满分10分)在等差数列{an}中，a3＝ｋ，a9＝12.
(1)当ｋ=6时,求数列{an}的前n项和为Sn;
(2)若bn＝n2＋6an且对于任意n∈N*，恒有bn＋1>bn成立，求实数k的取值范围．
18.(本题满分12分)树德中学高一数学爱好班某同学探究发觉：的内角所对的边为；在中有以下结论：①若；则；②若；则；③若a，b，c成等比数列（即b2=ac）, 则；④若a2，b2，c2成等比数列，亦有；他留下了下面两个问题，请你完成：
(I)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；
(II)若a2，b2，c2成等差数列，求B的取值范围．
(参考公式：)
19.(本题满分12分)已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(3,1)，α ∈(0，π), β∈(0，π)， .
(1)求tan(α—β)的值；
(2)求tan β的值．
(3)求2α－β的值．
20. (本题满分12分)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若二次函数满足，=－，=且＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若△ABC的面积为，△ABC的外接圆半径为,求△ABC的周长．
21.(本题满分14分)已知△ABC中，;
(1)若CD是角C的平分线,且CD=kBC，求k的取值范围；
(2)在(1)的条件下,若=1，当k为何值时，AB最短？
(3)假如AB=2，求三角形的面积的最大值。
高2022级第四期4月阶段性测试数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
1—5： B A C D D ； 6—10： A B A C C ; 11—12： B B .
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．； 14. ； 15.； 16.① ② ④；
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.解 (1)由于＝sin＋1－cos 2＝2[sin－cos]＋1＝2sin＋1＝2sin＋1，所以的最小正周期T＝＝π. …………5分
(2)当取得最大值时，sin＝1，此时2x － ＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)，所以所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．………………10分
17.解:(1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知，得解得
则an＝a1＋(n-1)d＝n+3.所以Sn=. ………………5分
(2)由bn＋1>bn知该数列是一个递增数列，又由于通项公式an＝’所以
bn＝n2＋6 an＝n2＋（12-k）n＋9k-36，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，
所以<，即得k<15.………………10分
18.解：(I)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.
∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．…………6分
(II)∵a2，b2，c2成等差数列，∴2b2＝a2+c2.由余弦定理得cosB＝＝（…………10分）
=≥，当且仅当a＝c时等号成立，∴cosB的最小值为.(也可转化为“对勾函数”做。)
∴………12分
19.解 (1)由已知tanα＝.∵tan(α—β)＝ ＝＝＝＝＝＝.……3分
(2)tan β＝—tan[(α—β)－α]＝—＝………………7分
（3）∵tan α＝>0，∴0<α<，又∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.……12分 (假如多个答案，没推断范围扣2分)
20.解：(1)由已知易得－，又＝0，∴cos2＝，即＝，∴cosB＝－.又B∈(0，π)，∴B＝.………………6分
(2)∵△ABC的外接圆半径为，∴依据正弦定理＝2R得，＝，
∴b＝7.又S△ABC＝acsinB＝，∴ac＝15.在△ABC中，依据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B，即a2＋c2－30cos＝49，a2＋c2＝34，∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝64，
∴a＋c＝8，∴△ABC的周长等于15.………………12分
21.解：(1) 设BC＝，则AC＝,,则==,∴.(4分)
(2)据余弦定理,又==1, =
.当且仅当=时取等，∴时AB最短………………9分
（3）设BC＝，则AC＝ ，依据面积公式得=，
依据余弦定理得，代入上式得
=,由三角形三边关系有解得，故当时取最大值.…14分
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