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经典控制论：以传递函数为基础，主要研究单输人、单输出控制系统的分析和设计问题。现代控制论：把经典控制论中的高阶常微分方程转化为一阶微分方程组来描述系统的方法，即所谓状态空间法。这种方法可以解决多输入、多输出问题，对非线性、时变系统也有效。控制系统的基本任务：使被控制量按照给定量的变化规律而变化。学习控制工程基础要解决两个问题：一是如何分析控制系统的工作原理、稳定性和过渡过程品质；二是如何根据实际需要来进行控制系统的设计。1.2 自动控制系统的基本概念1.2.1自动控制系统的工作原理图1-5 闭环控制系统典型框图1.2.5对控制系统的基本要求对控制系统的三个基本要求：稳定；准确；快速。第二章 控制系统的数学基础2.1 拉氏变换和反变换2.1.1拉氏变换及其特性2.1.1.1拉氏变换的定义三种常用单位输入函数曲线：a) 单位阶跃函数 ； 图2-1常用函数曲线拉氏变换的定义：时间函数：当时， ；当时，（称原函数）的拉普拉斯的变换记为或者（称象函数），且定义为：其中。表2-1 务必要记住表：常用函数的拉氏变换对照表序号（=）（）1a务必记住！1b务必记住！2.1.1.2 拉氏变换的运算法则1.线性定理（记住！）2.位移定理（记住！）如果已知：，那么有：5.微分定理（记住！）如果假设初始条件均为零，则：（记住！）（在由微分方程求传递函数时有重要应用）例题2-1 求函数：的拉普拉斯变换。解：2.1.2拉氏反变换及其计算方法2.1.2.1拉氏反变换的定义已知，求时间函数的拉普拉斯反变换，记为，定义为：常用函数的拉氏变换对照表序号1a务必记住！1b务必记住！2.1.2.2拉氏反变换的计算方法（务必要会做！）熟练掌握部分分式法：重点无重根的情况。(1)A(s)=0无重根的情况（部分分式法）黑板上做。例题2-13 求的拉氏反变换。解：特征根为：第三章 控制系统的数学模型3.2 传递函数3.2.1 传递函数的概念认为初始条件均为零。对微分方程两边取拉氏变换。输出输入之比：例题3-1 试求微分方程的传递函数。3.2.2基本环节的传递函数（1）比例环节（2）惯性环节（3）积分环节当T=1时：3.3 系统框图及其简化3.3.1框图单元、比较点和引出点框图单元求和环节，或比较点引出点3.3.2系统构成方式及运算法则（1）串联连接（2）并联连接（1） 反馈连接闭环传递函数所以，闭环系统的等效闭环传递函数为：第四章 控制系统的时间响应分析4.1 时间响应及典型输入信号4.1.1时间响应的概念控制系统在典型输入信号作用下，输出量随时间变换的函数关系称为系统的时间响应。1瞬态响应2稳态响应4.1.2典型实验信号a) 单位阶跃函数； 图4-1常用函数曲线4.1.3瞬态响应指标（单位阶跃响应）上升时间：tr； 调节时间：ts；峰值时间：tp； 超调量：Mp；4.3 二阶系统的时间响应4.3.1二阶系统的数学模型典型二阶系统的框图及其简化形式示于图37a，b中。图37 二阶系统框图微分方程为：4.3.2二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的特征多项式方程为：它的两个根，即为二阶系统的闭环极点：三种阻尼情况：（1），临界阻尼情况：单位阶跃响应特点无超调，无振荡。（2），过阻尼情况：单位阶跃响应特点无超调，无振荡，过渡过程比临界阻尼时长。（3），欠阻尼情况：单位阶跃响应特点呈现衰减振荡过程。二阶系统单位阶跃响应曲线示于图39II现代控制部分第一章 控制系统的状态空间描述1.1控制系统中状态的基本概念1.2控制系统的状态空间表达式1.3根据系统的物理机理建立状态空间表达式例题1-1 机械系统的微分方程令状态变量则：矩阵形式为（状态空间表达式）（状态空间法）或者（状态空间表达式）式中：系统2维状态向量或状态变量；系统1维输出向量；系统1维输入（控制）向量；2x2的系统状态矩阵；2x1的输入矩阵；1x1的输出矩阵；1x1的直联矩阵；1.4根据系统微分方程建立状态空间表达式1.4.1系统的模拟结构图或者状态变量图法例题1-6 设系统的状态空间表达式：可以展开为：画出系统的模拟结构图或者为状态变量图法。系统的模拟结构图或者为状态变量图法。黑板上做一下。1.5系统传递函数阵与状态空间表达式的相互转换1.5.3 从状态空间表达式求取传递函数阵已知线性定常系统的状态空间表达式为：式中对上式取拉氏变换，可得：设初始条件X（0）0；则：传递函数为： 当D0时；传递函数为：（记忆！）例1-12已知系统状态状态空间表达式：P32。试求其传递函数阵。解：要注意求逆不要错。1.6 系统状态空间表达式的特征标准型1.6.1 系统状态的线性变换设线性定常系统的状态空间表示为：状态的线性变换为： 其中P为n x n的非奇异变换矩阵（可逆）。代入上式：即可得：或者：式中：（记住变换过程）2）线性变换，系统特征值的不变性3）线性变换，系统传递函数的不变性即：结论2：（证明见page41）如果系统矩阵A为如下形式：（有A这样形式的矩阵，称为友矩阵。）并且其特征值互异（两两不相等），则化A为对角线标准型矩阵的变换矩阵P为范德蒙德(vnnJermond2)矩阵即：其中A的对角线标准型矩阵为如下形式：二阶、三阶友矩阵的形式（记住这样的友矩阵形式！）二阶、三阶友矩阵的变换矩阵形式（记住这样的形式！）1.6.4约当型矩阵（当要知道约当型矩阵的形式）m x m的约当块矩阵：二阶、三阶约当型矩阵形式：第二章 线性控制系统的分析2.1线性定常齐次状态方程的解对于线性齐次方程（标量方程）：其解为：那么，对于如下的线性定常系统的齐次状态方程（矩阵方程）其解如何？其解有同样的表达形式：不同的是，其为矩阵形式。其中：因此，将称为状态转移矩阵，记为。即因此，齐次状态方程的解为：（记住下式！）（对于系统：）2.2状态转移矩阵n x n状态转移矩阵满足：2.2.1 状态转移矩阵的性质（1）（要记住！）例题：所以，不是状态转移矩阵。（2）（3）（4）（5）例题：试判断矩阵： 是否为状态转移矩阵；若是求出系统矩阵A的值。解：判断是否为状态转移矩阵因为：成立所以为状态转移矩阵。求状态矩阵A 2.2.3 状态转移矩阵的计算（有三种方法。）2.2.3.1 直接法2.2.4.2 拉普拉斯变换法（掌握这一种就可以了！）补充例题3：已知线性定常系统的状态方程为： 求：系统的传递函数；状态转移矩阵；解：系统的传递函数状态转移矩阵每一个元素，均采用部分分式法求。每一个元素，求拉氏反变换。常用函数的拉氏变换对照表序号（=）（）1a务必记住！1b务必记住！2.2.4.3化矩阵A为标准型法若矩阵A通过非奇异变换矩阵P化为对角线矩阵，即：， 则： (1) 矩阵A的特征值互异2.3 线性定常非齐次状态方程的解（重要！）对于线性定常系统，在控制输入信号作用下，其状态方程为：称为非齐次状态方程，系统的运动为强迫运动。设初始时刻为0初始状态为x(0),则非齐次状态方程的解为：（请记住上式！）补充例题4：已知线性定常系统的状态方程为： 初始状态为求：系统的传递函数；状态转移矩阵；当时系统输出的响应。解：系统的传递函数状态转移矩阵当时系统输出的响应第三章 线性控制系统的能控性和能观测性能控性和能观测性是现代控制理论中两个重要的基本概念，能控性分别分析u(t)对状态x(t)的控制能力；能观测性分析y(t)对状态x(t)的反映能力。3.1线性连续系统的能控性3.1.1 定常系统的能控性1.状态的能控性状态的能控性是指系统的输入能否控制状态的变化。设线性定常系统的状态方程为：式中 不完全能控的系统模拟结构图：能控系统的模拟结构图定理3-3 线性定常系统状态完全能控的充分必要条件为：（重要内容！）（1）能控性矩阵的秩是n。（满秩）或表示成：例32 若系统为试判断系统的状态能控性。解 系统的能控矩阵其秩：所以该系统不能控。3.1.3 标准型的能控性判据（重要内容！）定理35 若系统矩阵A为对角型，则系统能控的充要条件是输入矩阵B没有任何一行的元素全部为零。例33 判断下列系统的能控性：解： 系统为能控的。系统则是不能控。定理36 若系统矩阵A为约当型。则系统能控的充要条件是：(1)输入矩阵B中对应于互异的特征值的各行，没有一行的元素全为零；(2)输入矩阵B中与每个约当块最后一行相对应的各行。没有一行的元素全为零补充例题：例3a 判断下列系统的能控性：解：1.和2.系统属于状态能控的；3.和4.两系统则是状态不完全能控的。3.2线性连续系统的能观测性（重要内容！）系统的能观测性是指系统状态的变化能否由系统的输出反映出来。3.2.1 定常系统的能观测性设线性定常系统的状态空间表达式为：式中系统的能观测性是指系统状态的变化能否由系统的输出反映出来。完全能观测的不完全能观测的定理38 线性定常系统状态能观测的充分必要条件是下列条件成立：（重要内容！）（1）能观测性矩阵：的秩是n。例题3-7 若系统为：试判断系统的能观测性。解 系统的能观测性矩阵：所以该系统是不能观测的。3.2.2 标准型的能观测性判据（重要内容！）定理3-9 若系统矩阵A为对角型。则系统能观测的充要条件是输出矩阵C没有任何一列的元素全部为零。（重要）例38 判断下列系统的能观测性：解：系统是完全能观测的。补充例题：例题3-C 判断系统的完全可观测性：1上述系统1.完全可观测的。4.上述系统4.不是完全可观测的。定理310 若系统矩阵A为约当型则系统能观测的充要条件是：（1）输出矩阵C中对应于互异的特征值的各列，没有一列的元素全为零。（2）输出矩阵C中与每个约当块的第一列相对应的各列，没有一列的元素全为零。补充例题：例题3-C 判断系统的完全可观测性：12上述系统1.，2.，均完全可观测的。4.6.上述系统4.，5.，6.均不是完全可观测的。3.3对偶原理3.3.1线性系统的对偶关系对偶原理是现代控制理论中一个十分重要的概念。利用对偶原理可以把系统能控性分析方面所得到的结论用于对偶系统，从而可以很容易地得到其对偶系统能观测性方面的结论。对偶原理：（重要内容！）若系统的状态空间表达式为：式中：系统的状态空间表达式为：式中：称系统和是互为对偶的，即系统是系统的对偶系统，反之，系统是系统的对偶系统。 对偶关系性质；(1)对偶系统的传递函数阵互为转置。系统的传递函数阵为：系统的传递函数阵为：(2)对偶系统的特征方程是相同的。3.3.2能控性与能观测性的对偶关系结论1：（重要，请记住！）系统状态完全能控的充要条件是对偶系统的状态完全能观测；系统状态完全能观测的充要条件是对偶系统的状态完全能控。由此可得:系统的能控性等价于其对偶系统的能观测性；系统的能观测性等价于其对偶系统的能控性。3.4线性系统的能控标准型和能观测标准型3.4.1单变量系统的能控标准型和能观测标准型1. 能控标准型定理311 如果系统的状态空间表达式为：其中友矩阵则称该形式的系统为能控标准型。那么该系统一定是完全能控的。注意两点：A为友矩阵；B最后一行为1，其它元素为0。3.5线性系统的结构分解（另一个重点内容！）(1)系统按能控性/能观性分解后，其能控性/能观性不变(2)系统按能控性/能观性分解后，传递函数阵不变。重点介绍一种工程上常用的结构分解方法排列变换法。排列变换法排列变换法的应用步骤如下：（1）首先将待分解的系统化成标准型，即将系统的系统矩阵阵A化为对角型或约当型，并得到新的状态空间表达式。（2）按能控性和能观测性的法则判别系统各状态变量的能控性和能观测性，并将系统的状态变量分为能控又能观测的状态变量，能控但不能观测的状态变量，不能控但能观测的状态变量，不能控也不能观测的状态变量。（3）按照，的顺序重新排列各状态变量的关系，就可组成相应的子系统。例题；若系统为： 试将系统化为对角线或约当型标准型，并按能控性和能观测性进行结构分解。解：将系统化为对角线标准型1）求特征根2）求线性变换矩阵P。令。互异。所以；3）求对角型的矩阵4）对角标准型的状态空间表达式为：按能控性和能观测性进行结构分解1） 状态变量的能控能观性说明明显：是能控但不能观测，令;是能控但能观测，令;是不能控也不能观测，令.按，排序.2）写出结构分解表达式3.5.4系统的实现1.基本概念对于给定的传递函数阵G(s)，若有一个状态空间表达式使其满足则称该状态空间表达式为传递函数阵G(s)的一个实现。需要指出：并不是任意一个传递函数阵G（s）都能找到其实现。通常它必须满足物理可实现条件，即： (1)传递函数阵G(s)中的每一个元素的分子分母多项式的系数均为实常数。(2)传递函数阵G(s)中的每一个元素均为s的真有理分式函数，即的分子多项式的阶数低于或等于分母多项式的阶数。当的分子多项式的阶数低于分母多项式的阶数时，称为严格真有理分式。例：；严格真有理分式例：；真有理分式函数2系统的标准型实现（重要内容！）（由传递函数到状态空间表达式）(1)单变量系统的标准型实现（重要内容！务必记住）设单变量系统的传递函数为则其能控标准型实现的各系数矩阵为：例3-18 试求传递函数的能控标准型实现。解： 将上述各系数代入标准型实现的系统矩阵中。可得1）能控标准型实现为补充例题5：已知系统的传递函数：求其能控标准型的状态空间表达式；画出系统的状态变量结构图。写出其对偶系统解：能控标准型的状态空间表达式（）画出系统的状态变量结构图写出其对偶系统3.最小实现传递函数阵G(s)的一个实现为（3-52）如果G(s)不存在其它实现：使的维数小于的维数，则称式(3-52)的状态空间表达式实现为G(s)的一个最小实现。定理320 传递函数阵G(s)的一个实现：为最小实现的充要条件是不但能控而且能观测。根据这个定理，可以方便地确定任何一个具有严格的真有理分式的传递函数阵G(s)的最小实现。其步骤如下： （1）对于给定的传递函数阵G(s)，首先初选出种实现。通常最方便的是选取能控标准型(或能观测标准型)实现，再检查其实现的能观测性(或能控性)，若为能控又能观测的，则便是最小实现；否则进行下一步。（2）对以上标准型实现进行结构分解，找出其完全能控又完全能观测的子系统，这便是G(s)的一个最小实现。补充题：显而易见，上述表达式为能控又能观测的。所以它是Gs)的一个最小实现。3.6传递函数阵与能控性和能观测性之间的关系3.6.1单变量系统设系统的状态空间表达式为其系统的传递函数为定理321 单变量系统能控又能观测的充要条件是传递函数G(s)中没有零极点对消现象。从定理321可以得出以下两个结论：(1)一个系统的传递函数所表示的仅是该系统既能控又能观测的那一部分子系统，因而传递函数是系统的一种不完整的描述。(2)一个系统的传递函数若有零极点对消现象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的，或是不能观测的，或是既不能控又不能观测的。第四章 状态反馈和状态观测器4.1 状态反馈4.1.1 状态反馈 状态反馈是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入。多输入多输出系统的状态反馈系统如图4-1所示。图4-1 多输入多输出系统的状态反馈结构图中受控系统的状态空间表达式为（被控对象）式中 状态反馈控制律为（控制器）式中代入状态表达式，整理可得状态反馈闭环系统的状态空间表达示为若D0，则（闭环系统的状态方程）（记住！）经过状态反馈后，闭环系统的传递函数阵为由此可见，经过状态反馈后，系数矩阵B和C没有变化。仅仅是系统矩阵A发生了变化，变成了（ABK）；也就是状态反馈阵K的引入，没有引入新的状态变量，也不增加系统的维数。但可通过K阵的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。4.2 闭环系统的极点配置（重点！）控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。所谓极点配置，就是通过选择反馈矩阵K，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。4.2.1 采用状态反馈配置系统的极点1 极点配置的定理设受控系统是的状态空间表达式为通过状态反馈urKx能使其闭环极点任意配置的充要条件是系统完全能控。说明：（重要点！）利用状态反馈只能改变系统能控部分的极点，而不能改变不能控部分的极点。求状态反馈增益矩阵K的实用方法：待定系数法（重点方法！）状态反馈闭环系统为：D0时：（记住！）闭环系统的特征多项式：和期望的闭环系统特征多项式使其s多项式对应项的系数相等,得到n个代数方程即可求出例5-1已知系统的状态空间表达式为试求使状态反馈系统具有极点为1和2的状态反馈阵K。解 因为所以，原系统状态完全能控，通过状态反馈控制律ur-Kx能任意配置系统的闭环极点。方法：（推荐用此待定系数法方法！）设 则闭环系统特征多项式为而期望得特征多项式比较以以上两式的s同次幂系数，可求得2 状态反馈的其它一些性质（记住！）状态反馈不能移动系统的零点。状态反馈仅改变传递函数分母多项式的系数（即仅改变极点），而不改变分子多项式的系数（即不改变零点）。这时，只要没有发生零极点相消的现象，状态反馈就不能改变零点。当系统不完全能控时，状态反馈只能配置系统能控部分的极点，而不能影响不能控部分的极点。补充例题6：已知被控系统的传递函数为用状态反馈将闭环系统极点配置在。 写出实现的状态反馈控制律方程。 画出闭环系统的总状态变量图。解：用状态反馈将闭环系统极点配置在（1） 系统为能控标准型，所以系统完全能控。；（2） 求状态反馈阵K。令闭环特征多项式为期望特征多项式为比较系数可得写出实现的状态反馈控制律方程。画出闭环系统的总状态变量图。1-4234X1X2Yr4.3 状态观测器的设计（重要）4.3.1 状态重构问题设线性定常系统的状态空间表达式为实现状态重构的一种现实可行的方法是，设计一个观测器系统，这个系统的输入是原系统的输入和输出，它的输出就是原系统的一个状态渐近估计，如图54所示。误差：（因初始状态不同）加入一个输出量比较反馈来修正。新的观测器结构为初始状态不同，也即：4.3.2 观测器的定义及存在条件设线性定常系统的状态x不能直接量测，如果动态系统以的输入u和输出y作为其输入量，能产生一组输出量渐近于x，即，则称为的一个状态观测器。根据上述定义可得构造观测器的原则是：(1)观测器应以的输入u和输出y为其输入量。(2)为满足，必须完全能观测，或其不能观测子系统是渐近稳定的。(3) 的输出应以足够快的速度渐近于x。观测器存在的充分条件为线性定常系统是完全能观测的。（记住这上下两个条件！）观测器存在的充要条件为线性定常系统的不能观测部分是渐近稳定的。（渐近稳定要解释一下！）4.3.2 状态观测器的设计（重要）（理解掌握该图，如何构成，如何画！）有上图，可得观测器的状态方程：即（记住！）（记住该观测器方程！）对于SISO系统，L是一个列向量，n x 1维的。其特征多项式为：（记住！）（记住该观测器的特征多项式方程！）要求能比较快地逼近x只要调整反馈阵L，观测器的极点就可以任意配置达到要求的性能所以，观测器的设计与状态反馈极点配置的设计类似。观测器的设计方法二：待定系数法。(熟练掌握该方法！)比较实用的求阵L的方法是根据观测器的特征多项式和期望的特征多项式使其多项式对应项的系数相等，得到n个代数方程，即可求出反馈阵例51 已知系统的状态空间表达式为设计一个状态观测器，使其极点为一l 0，一10。解 (1)判断系统的能观测性。因所以系统是状态完全能观测的。可构造能任意配置极点的全维状态观测器。(2)观测器的期望特征多项式为(3)求观测器的反馈阵。因为观测器的特征多项式为其中（列向量）则观测器的期望特征多项式为比较s的系数：得到：(5)带观测器的状态变量图如图56所示。图5-6带观测器的状态变量图如何画这张观测器的图。黑板上重画。4.4 带状态观测器的状态反馈系统（重点）4.4.1 系统的结构和状态空间表达式 现在要用状态反馈改善系统的性能，而状态变量信息是由观测器提供的。这时，整个系统便由三部分组成，即原系统、观测器和控制器。图4-8是一个带有全维状态观测器的状态反馈系统。注意这张图的画法和结构！设能控能观的系统为状态反馈控制律为：状态观测器方程为：由以上三式可得整个闭环系统的状态空间表达式为将它写成分块矩阵的形状或4.4.2 闭环系统的基本特性1.闭环极点设计的分离性有关系为非奇异线性变换。非奇异线性变换不改变系统的特征值。闭环系统的特征多项式：两者相互独立。因此，只要系统(A，B，C)能控能观测，则系统的状态反馈阵K和观测器反馈阵L可分别根据各自的要求，独立进行配置。这种性质为分离特性。【重要性质】 2.传递函数阵的不变性【重要性质】非奇异线性变换不改变系统的传递函数，因此根据分块矩阵的求逆公式：有上式表明，带观测器状态反馈闭环系统的传递函数阵等于直接状态反馈闭环系统的传递函数阵。或者说，它与是否采用观测器反馈无关。因此，观测器渐近给出并不影响组合系统的特性。【重要性质】3. 带观测器的状态反馈与直接状态反馈的等效性【重要性质】通过选择L阵，可使ALC的特征值均有负实部，所以必有因此但时间t趋近无穷大时，必有成立。只有时间t趋近无穷大时，才与直接状态反馈系统完全等价。可以通过选择L来加快渐近速度。 例5-5 设受控系统的传递函数为（认真研究该题的做法）用状态反馈将闭环系统极点配置为4j6，并设计实现这个反馈的全维观测器。解 (1)由传递函数可知，此系统能控且观测，因而存在状态反馈及状态观测器。下面根据分离特性分别进行设计K阵和 L阵。(2)求状态反馈阵K。为方便观测器的设计，可直接写出系统的能控标准型实现，即将闭环特征多项式与期望特征多项式可得（3）求全维观测器。取观测器的极点位于-10处。令则观测器的闭环特征多项式为与期望特征多项式比较可得即（注意为列向量）全维观测器方程为闭环系统的结构图这张图是如何画的？研究研究！作业题：511（这作业题一定要认真做！）补充例题已知被控系统为： 用状态反馈将闭环系统极点配置在。并设计实现这个状态反馈的全维状态观测器，其两个极点均为。3.写出该全维状态观测器的方程。写出实现的状态反馈控制律方程。画出整个系统的总体结构图。写出整个系统的传递函数。解：系统状态空间为：用状态反馈将闭环系统极点配置在（3） 能控性判断。 系统为能控标准型，所以系统完全能控。（4） 求状态反馈阵K。令1）闭环特征多项式为2）期望特征多项式为： 3）计算结果。 比较系数可得：并设计实现这个状态反馈的全维状态观测器，其两个极点均为。（1） 判断能观测性，满秩。系统完全能观测。（2） 求观测器的反馈阵L。令。1）观测器的特征多项式为2）期望特征多项式为：3）计算结果。 比较系数可得：写出该全维状态观测器的方程。写出实现的状态反馈控制律方程。画出系统结构图5-55-553145X1X2X1X22YYr总系统的的传递函数；第五章 控制系统的稳定性41 李雅普诺夫稳定性定义稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。4.1.1 平衡状态考察系统自由运动状态。令输入。设系统的状态方程为： （5-1）式中 n维状态向量，且显含时间变量t； 任意的n维函数，其展开式为：状态向量的初始值；初始时刻。1 平衡状态的定义（重要！）若对所有t，状态x满足，则称该状态x为平衡状态，记为。故有下式成立； （5-2） 由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。2. 平衡状态的求法（重要！）（1）线性定常系统其平衡状态满足。A非奇异，则存在唯一的一个平衡状态。413李雅普诺夫稳定性概念（重要！）1.李雅普诺夫意义下的稳定性(稳定和一致稳定)图5-2 李雅普诺夫意义下的稳定性示意图（重要！）2.古典理论稳定性定义(渐近稳定性)图5-4 渐近稳定性的几何解释和变化曲线（重要！）3.大范围渐近稳定性几何意义图5-4大范围渐近稳定性的示意图图5-4渐近稳定性的示意图4. 不稳定性几何意义 图5-6、5-7所示。图5-6 不稳定的几何解释和轨线（重要！）图5-7不稳定示意图42 李雅普诺夫稳定性理论4.2.1二次型函数的定义及其表达式(1)二次型的矩阵表达式即：（重要表达式！）式中A为对称矩阵例题5-13. 二次型标量函数定号性判别准则（重要概念！）对于A为实对称矩阵的二次型函数的定号性，可以用下列准则来判定。（1）正定 二次型函数为正定的充要条件是，A阵的所有各阶主子行列式均大于零。即（2）定义设二次型函数，则定义如下；（重要点） 当是正定时，称A是正定的，记为； 当是负定时，称A是负定的，记为； 例题4-2 已知（重要例题）试判定是否正定。解 A矩阵的各阶主子式为所以是正定的。4.2.2 李雅普诺夫第二方法1. 李雅普诺夫函数（重要）李雅普诺夫第二法是从能量观点出发得来的。它的基本思想是建立在古典的力学振动系统中个直观的物理事实上。如果系统的总能量(含动能和势能)随时间增长而连续地衰减，直到平衡状态为止，那么振动系统是稳定的。李雅普诺夫函数定义如下：（重要！）设为任一标量函数其中x为系统状态变量。如果具有性质：是连续的反映能量的变化趋势。是正定的一 反映能量大小。当时一反映能量的分布。那么，函数就称为李雅普诺夫函数。2. 李雅普诺夫第二法（重要！）(1)渐近稳定的判别定理一。定理41 设系统的状态方程为（这一定理很重要！）其平衡状态为。如果存在一个具有连续的一阶偏导数的标量函数，并且满足条件：是正定的，是负定的，则系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。又当时，有，则在原点处的平衡状态是在大范围内一致渐近稳定的。例题4-3 设系统的状态方程为试确定其平衡状态的稳定性。解 1.由平衡方程得解出唯一平衡点（零点）为坐标原点（0，0）。2选取标准二次型为李氏函数，即（正定）沿任意轨迹对时间的导数为0（负定）又由于当时，有。所以平衡点是在大范围内一致渐近稳定的。（4）不稳定判定定理一。P162定理44 设系统的状态方程为其平衡状态为。如果存在一个具有连续的一阶偏导数的标量函数，并且满足条件：是正定的，是正定的。则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。例题4-6 设系统的状态方程为试判断系统平衡状态的稳定性。解 显然，原点为系统的平衡状态。选二次型正定函数为李氏函数，即故系统是不稳定的。43 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析4.3.1 李雅普诺夫第一法(间接法) 1线性定常系统定理4-6 线性定常系统，渐近稳定的充要条件是状态矩阵A的特征值均具有负实部，即（重要点！）当A阵含有重特征值时，x(t)含有项，其稳定性结论同上。线性定常系统是渐近稳定的，意味着是一致渐近稳定且是大范围内一致渐近稳定。4.3.2李雅普诺夫第二法在线性系统中的应用1 线性定常连续系统(1)渐近稳定的判别方法。（很重要！）p165。定理48 线性定常连续系统式中 xn维状态向量； Ann常数矩阵，且是非奇异的。 在平衡状态处，渐近稳定的充要条件是： 对任给的一个正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，且满足矩阵方程而标量函数是这个系统的一个二次型形