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题目：7
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时间：2013.5.26

题目7
据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。
针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。
大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：
1. 对大李碰到的情况做出解释；
2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：
1）  酒是在很短时间内喝的；
2）  酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。
3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。
4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？
5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据
1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。
2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：
时间(小时)
0.25
0.5
0.75
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
酒精含量
30
68
75
82
82
77
68
68
58
51
50
41
时间(小时)
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

酒精含量
38
35
28
25
18
15
12
10
7
7
4

解： 模型1：一次性短时间饮酒问题
说明:
这是建立一个一次性短时间饮酒模型,利用原题目参考资料(1)(2),得出此种饮酒方式
的一般规律。这对以后的模型也起着支撑作用。其中的基本假设绝大多数也是之后的模型或
问题中求解时的假设。
模型描述:
我们认为酒精是瞬间进入肠胃,再由肠胃通过扩散作用逐渐进入到血液中的。酒精进入
到血液中后，能够立即完成转运间的动态平衡阶段，然后酒精通过分解排泄而消除掉，因此
可以根据线性药物动力学原理,把整个机体看成为酒精转运动态平衡的一个“隔室 ”，建立
血管外给药的单室模型 。
基本假设:
一、线性药物动力学的假设:
1. 药物分布相对消除而言,其过程是迅速完成的；
2. 药物消除(包括生物转化和排泄)可作为一级速率过程处理 ；
3. 药物的吸收可认作一级速率过程处理。
二、其它假设:
1. 短时间内饮酒,考虑酒精是瞬间被摄入到肠胃中的， 然后逐渐渗透到血液中；
2. 酒精在体内的吸收过程与药物相同；
3. 绝大部分的组织间液能迅速地与血管内液体或细胞内液进行交换并取得平衡。而
其它的一些体液在维持液体平衡的方面作用甚小 。这样我们就可以将组织间液、细胞内液以及血液视为一体，都看作血液,作为单室模型的中心室 。
4. 血液中的酒精被分解排泄,无论是被肝脏分解还是其它方式排泄,都看作一个分解整体,分解速率根据基本假设 2 认为是一级速率系数常数 。

5. 酒中的水吸收进血液中不影响血液体积。这是因为人体在不断进行新陈代谢,保持
动态平衡。
6. 初次饮酒前血液中与肠胃中的酒精含量均为 0。
7. 血液中酒精含量始终未达到饱和值。
8. 如无特殊说明，酒均指啤酒。
9. 忽略吃饭对酒精吸收的影响。
因此,根据线性药物动力学的血管外给药的单室模型,做出以下示意图，见图1:

图1
图一中的符号说明：
D0 :初始时摄入到肠胃中的酒精量,单位:mg ;
对于“隔室”模型的划分在第 18 页有进一步的补充说明。
详见关于常量Vd 的描述.
详见关于比例常量 K e 的描述.

K a :血液(包括细胞内液和细胞间液)吸收酒精速率的一级吸收速率常数;
K e :血液分解排泄酒精的一级分解速度常数;
X:血液中的酒精量，单位：mg
C:t 时间中心室的酒精浓度,单位:mg/100ml;
Vd:混合液室中液体的体积,单位:100ml;
引入的几个变量:
D:t 时间肠胃中酒精量,单位:mg;
X0:初始时血液中酒精量,单位:mg;
因此可以写出吸收室中酒精量的微分方程:
自变量 t 为时间,t=0 表示摄入酒精的时刻:

中心室中酒精量 X (t) 的变化率是由两部分组成:
1.正比于血液中酒精量的分解排除系数 Ke ;
2.正比于肠胃中酒精量的吸收系数 Ka ;
由于吸收室与中心室的酒精的质量分别为 D 、 X , 则得到血液酒精量的微分方程为:

根据(1),(2)式和初始条件

D(0) = D 0 、 X (0) = 0 得出：

其中:

整理文档
(1.3)式表示 t 时刻肠胃中的酒精量。

(1.4)式表示 t 时刻中心室中的酒精量。

(1.5)式表示在短时间内摄入质量为 D 0的酒精,在中心室血液体积为 Vd 的条件下血液(即

血液与体液)中酒精浓度随时间变化的函数。

基本参考数据:

D0: 根据参考资料(2)中给出的条件,摄入两瓶啤酒。传统大瓶啤酒每瓶容量约为 640ml
1,每瓶啤酒中酒精含量约为 3~5%,取中间值 4%,酒精密度为 0.8g/ml,故两瓶啤酒中酒精总量

为:

D0= 640ml * 4% * 0.8g/ml * 1000mg/g * 2

故 D 0 = 40960 mg

Vd: 体液分为细胞内液和细胞外液两部分。细胞内液男性约占体重的 40%,女性约占
35%。细胞外液又可分为血浆和组织间液两部分。组织间液量约占体重的 15% [4]。细胞内液

1 数据来自网上，且各厂家产品容易都不尽相同，因此我们就取传统的 640ml，且未加参考出处，后面浓
度数据同此。

取中间值 37.5%。体液密度约为 1.05g/ml。根据基本假设 2,一个 70kg 重的人总共的混合液
体积Vd为:
Vd = 70kg*(37.5%+15%+7%)/1.05g/ml
V d = 396.667 * 100ml
将D、V值代入(1.5),根据原题中参考资料(2),运用 Matlab 中的 LSQNONLIN 函数可以
0 d
拟合出K 、 K 值 1 :
a e
K = 2.0286 , K = 0.1840 ,
a e
其误差平方和为 225.7963,
将 K 、 K 的值反代回(1.4)，得出的函数图像与原有数据的点阵图象如下（图2）:

图2

图2说明: 拟合曲线与数据离散点图像。
（可见拟合出的数值与实际测量值之间吻合得还是很好。）
我们把 Ke 、 Ka 视为普适量，并用以作为以后模型的参数。
模型 2:多次饮酒模型
说明:
多次饮酒中每一次饮酒均是短时间饮酒,因此把每一次饮酒都考虑成一个阶段。每一阶
段的初始值包括：肠胃中的的酒精量 D 0 ' 和血液中的酒精量 X0 ；其中 D 0 ' 包括上一阶段在肠
胃中的残留值 D 0 和本次摄入的酒精量 D ' 。
模型描述:
本模型基本假设还是根据模型 I。不同的是，我们多考虑了上一阶段肠胃及血液中残留
的酒精量，此值即为上次饮酒时的末态,可由前次饮酒时的微分方程式函数公式推导。第一
次饮酒时酒精残留值均为 0。这样即可用递推关系求出任一时刻饮酒状态。
基本假设:
1.模型 I 全部假设如无特殊说明则均继承。
2.每一次饮酒均为短时间饮酒，即酒到达肠胃时间为零。
3.每一阶段开始,自变量时间 t 即从 0 开始取值,总时间即为各阶段时间和。
4.所谓的“初态”、“末态”指的是一个阶段初始时和结束时体内肠胃与血液中的酒精
量。
现在分析某一阶段饮酒状态。这里我们仍沿用 D 、 X 来表示肠胃与血液中酒精含量,而
此时D0 与X0 均不为 0 :

因此沿用模型 I 的微分方程:

设本次摄入量为 D ' ,前次末态值是 D 0 与 X 0 , D 0 ' 为本次总的初始时肠胃中的酒精量，

这里D0(0) = D ' ,X 0(0) = X 。

模型 3:长时间均匀持续饮酒模型

说明:
此模型考虑的是在一个较长时间内均匀持续饮酒，给出此饮酒方式下肠胃与血液内酒精 浓度的变化规律,这也是第一个模型的推广。
模型描述:
考虑在较长时间内(时间 T)持续均匀地流到肠胃中,因此需要修正(1.1)式。 基本假设:
1. 模型 I 全部假设如无特殊说明则均继承。
2.酒精是在一个较长时间内(时间 T)持续均匀地流到胃中,引入一级线 性速率常数 K来表示速率流量。
Ka、 Ke 利用模型 I 得到的数值。因为是均匀持续饮酒，则可以将整个过程分解为两个阶段：(T 时刻酒全部喝完)
1）. 酒均匀持续进入肠胃吸收室。0 ≤ t ≤ T
2）. 酒已经饮光，没有酒进入肠胃吸收室。T ≤ t
阶段分析：
阶段 1：持续均匀摄入酒精阶段：
吸收室酒精量微分方程:

其中 K 表示单位时间内均匀持续的摄入酒精量,单位为:mg，初始条件是： D(0) = D0.
由于吸收室与中心室的酒精的质量分别为 D 、 X , 则得到混合液酒精浓度的微分方程

为:

初始条件是： X (0) = 0 。
根据(3.1)(3.2)求解出:

阶段 2：停止摄入酒精阶段：

由于此时肠胃中与血液中均含有酒精,则可看作是一个多次饮酒模型中当 D ' =0 时的特殊情况。故根据模型2:

将时间重新从 T 点记 0。

肠胃中酒精量微分方程：

初始条件是：D(0)= D0 ' =D(T)+ D ' ,

因为从此时往后没有酒精摄入，所以 D ' =0,

中心吸收室中血液酒精浓度的微分方程为:

初始条件：X(0)= X 0 =X(T)

这样可以得到阶段 2 中 C 与 t 的函数关系。根据模型 2,并考虑到 D ' = 0,则 D 0=D(T),

所以:

作为一个实例,这里我们给出在 2 个小时内均匀喝掉一瓶啤酒和短时间内喝掉一瓶啤酒, 血液中酒精浓度变化的函数图像 1,以作对比。见图3:

图3
图3说明:
曲线 I 为对应的短时间内喝掉 1 瓶啤酒的函数图。
曲线 II 为对应的 2 小时内喝掉 1 瓶啤酒的函数图，其中虚线部分为饮酒时段，实线部 分为饮酒后。
水平线为饮酒驾车警戒线。
具体问题解答
问题一：对大李的情况给出解释
由于大李是分两次喝了两瓶酒,因此可以看作是一个二次饮酒模型,根据模型 2 ,即可求 出大李血液中的酒精含量与时间 t 的关系。
基本假设:
1. 忽略饭菜对酒精吸收的影响。
2. 假定大李两次饮酒均为短时间饮洒。
过程分析:
首先计算在 6 点检查时，即当 t = 6 时大李血液中酒精浓度：
将各参数代入模型 I 中的（1.5）式，可得：
C(6) =18.8248 mg/100ml,
由此可见当时并没有违规，实际与我们的模型相吻合。
我们用 Matlab 程序作出了一张表格 1：说明了在 6 点之后的某一时刻饮酒对应的在凌
晨两点的酒精浓度值。
饮酒的时刻 凌晨两点的酒精浓度(mg/100ml)
下午 6 点 17.3488
下午 6 点半 18.6044
下午 7 点 19.9810
下午 7 点半 21.4901
下午 8 点 23.1445
根据模型 3 可知，大李第二次饮酒时刻决定了他在凌晨两点时体内血液酒精浓度。由 上表可知，因为大李在凌晨两点检查发现超标，因此他很可能是在 7 点以后喝完酒的。

问题二:喝 3 瓶啤酒或半 斤低度白酒后多长时间内驾
车会违反标准 1 一、考虑喝了 3 瓶啤酒的情况:
根据之前模型 I 得到的 1 瓶啤酒中酒精含量的估计值,则三瓶啤酒中的酒精含量 D 0 为:
D 0 = 640ml * 4% * 0.8g/ml * 1000mg/g*3
故 ： D0 = 61440 mg
根据题二描述,将喝酒情况分为以下两种 :
(1) 酒是在很短时间内喝的:

根据模型 1 , Do = 61440 mg , Ka 、Ke 、 Vd 均视为常量,求当 C(t)>=20 时 t 的值。
利用程序易求得:
t∈[0.0686 , 11.6417],
即在 11.6 个小时内开车即会违反上述标准,被判为饮酒驾车。 而如果要判为醉酒驾车,则可计算出:
t∈[0.3797 , 4.1047],
即其中有 3.7 小时时间内会判为醉酒驾车。
(2) 酒是在较长一段时间(比如 2 小时)内喝的: 此种饮酒方案可根据模型 III 求解。其中:
K =61440 mg/2h=30720 mg/h 。
K 含义与模型 III 中相同。其余量不变,则可以求出: t∈[0.6228 , 12.6726];
即差不多 12 小时内不能驾车。
而如果要计算醉酒驾车的时间区间,则: t∈[1.6384 , 5.1332];
即大约 3.5 个小时符合醉酒驾车标准。
我们再给出两种饮酒方案的函数图像,见图4:

图4
图4说明:
曲线 I 为短时间摄入三瓶啤酒;
曲线 II 为 2 小时摄入 3 瓶啤酒虚线为饮酒时间,实线为饮酒后时间。 两段水平线分别为饮酒驾驶或醉酒驾驶警戒线。

二、考虑喝了半斤低度白酒的情况
低度白酒通常为 28%,密度约为 0.95g/ml 2。半斤白酒总质量为 250g,
所以易得半斤低度白酒共含酒精量 D 0 为:
D 0 = 58947.4 mg
我们假设白酒与啤酒只有浓度差别,求解过程同 3 瓶啤酒。故省略,只给出最终结果与图
像。
（1）短时间内喝完:
饮酒驾驶:
t∈[0.0718 , 11.4166],
禁止驾车时间约为 11.3 小时。
醉酒驾驶:
t∈[0.4065 , 3.8781],
禁止驾车时间约为 3.5 半小时。
(1) 长时间喝完:
饮酒驾驶:
t∈[0.6390 , 12.4472],
禁止驾车时间约为 11.8 个小时。
醉酒驾驶:
t∈[1.6950 , 4.9056],
禁止驾车时间约为 3.2 个小时。
我们给出函数图像,见图5:

图5
图5说明：
各曲线与图4相同。

问题三:怎样估计血液中酒精含量在什么时间最高
问题说明:
我们在此给出两条峰值定理,用于判定在模型 1 和模型2 的条件下饮酒后血液内酒精含 量达到峰值时的时间。
峰值定理 1：
在模型 1的条件下,一次性短时间饮酒有如下定理：无论喝的酒量是多少，饮酒者都是 在喝下啤酒后的一确定时刻，血液中酒精的含量达到最大值。
证明：
由模型1 可以知道：当只喝一次啤酒，而且快速喝完，那么血液中酒精的含量 X 与时 间 t 有如(1.4)的函数关系式：

其中 D0 表示摄入的酒精量。

对 X(t)关于 t 求导：

当 X '(t) = 0 时有峰值，此时

即：t 与饮酒量 D 无关。代入
Ka =2.0286 、 Ke =0.1840，可以得到：
t=1.3012 （单位：小时）
由此可见，无论饮酒量为多少，均是在饮酒后约 1.3 小时的时候体内血液酒精浓度达到峰值。

引理 1:
在模型2 给定的条件下在 T 时间内以速率 K 均匀持续饮酒,如果给定 T 值,则在 T 时间
喝完时肠胃中与血液中酒精浓度之比为一常数,和速率 K 没有关系。即与饮酒量大小没有关
系。
证明:
假定在 T 时间内以 K 的速率均匀喝酒,那么根据模型3中的(3.3)(3.4)式可得 :

易发现 D(T)与 X(T)均可提取公因式 K,可约掉 K,则其比值只与 T 相关,而与 K,
即啤酒摄入速率无关。

峰值定理 2:
若在一确定的时间内均匀连续地摄入啤酒，那么有：无论摄入速率大小，饮酒者都在
喝下啤酒后某个确定的时间，体内血液中的酒含量达到最大值。
证明:
根据引理 1,不妨设:
D (T ) = a * X (T ) , ------------------------------------------------------(C2.3)
其中 a 为比例常数。
另一方面,当喝下啤酒后,即开始转入阶段 2,此时含量达到最大值即是 X 关于 t 的一阶
导数为 0 时 t 的值。调用(3.9)式，可得到当 X 一阶导数为 0 时:

这里 D 0 ' = D( T ) 、 X 0 = X (T),并考虑到(C2.3)故可化简为:

由(C2.5)式可见,当假定在 T 时间内喝完啤酒,无论喝酒量的多少,均在一个固定的时间
达到峰值。
实际上,每一个 T 都对应有一个 t 存在。这里没有给出 t 关于 T 的函数，只给出 Matlab 程序求解 1。输入任意的 T 值可以求得相应的 t，即再过 t 时酒精浓度最高。对 T=1,2,3 时 补充给出一个表格：
T(小时) 1 1.5 2 2.5 3
t（小时） 0.8904 0.7445 0.6292 0.5375 0.4637

综上：以上两条峰值定理说明了在相关假设下一次性短时间内饮酒(模型 1)与一段时间
内均匀饮酒(模型 3)两种方式下体内酒精浓度达到峰值的时间是一个与饮酒量无关的值.。

问题四:如果天天喝酒能否
此题我们给出两种思路：
（1）第一种思路：找到安全饮酒量。
从上面模型的分析中可以看出由于人体对酒精有分解作用，所以即使喝了较多的酒也有 可能会有一段时间酒精浓度低于违规值，这样就很难分析，为此我们提出“安全第一”的标 准，即寻找出一种饮酒量使得一天任意时刻的酒精含量不会超标。
这里我们讨论两种饮酒方式：
一、短时间饮酒 ：
根据模型 1（1.4）式：

根据峰值定理 I，得到在 t=1.3012 时有峰值，代入 t=1.3012、 Ka =2.0286、Ke =0.1840、

Vd =396.667 求出 D0 的值使得 C 的最大值不超过 20 mg/100ml

通过计算可得：

D 0=10079mg,1 瓶 啤 酒 中 含 有 20480 mg 的 酒 精 ， 所 以 大 约 可 以 喝

10079/20480 ≈ 0.4921(瓶)，所以一天喝半瓶不会超标。
二、均匀持续饮酒：
根据模型3，由峰值定理 2 中(C2.1)~(C2.5)式,可求出在任意时刻不违规的情况下, 即峰值不超过 20 mg/100ml 情况下饮酒时间 T 与饮酒最大值之间的函数关系。但由于 关系式的复杂性,我们仅给出当 T=2 时饮酒的最大值。
从峰值定理 2 中已知 T=2,t=0.6292 时出现浓度峰值。

将 T=2、t=0.6292、 Ka=2.0286、 Ke =0.1840、 Vd=396.667、 C =20 代入(3.9)(3.10)式，

可求得 K 值为：
K=5323.1，
所以可以均匀地在两个小时内喝完 10646mg 酒精，相当于 10646/20480 ≈ 0.5198(瓶)
综上：两种喝法都喝半瓶的话就几乎不会有违规的可能。（对于第一种喝法和半瓶会稍 稍超标一 点点，可以忽略不计）。
（2）第二种思路：建立参照表
考虑到实际的情况，有些司机希望能在开车时不超标的前提下多喝一点。由于不是赴宴， 所以 一般饮酒是较快的。为了方便讨论，我们假定这些司机饮酒是在很短的时间里完成的。 根据模 型 1 可以求出对于一定饮用量其酒精浓度变化曲线，用程序求得警戒线与曲线的交 点，两个 交点的差值就是违规驾驶的时间 1。

用程序得到以上表格，可以为司机提供一些参考来确定饮酒量与其对应的不可以驾驶的
时间。当饮酒量达到 4 瓶时，则酒后有 13.1547 个小时不能开车，其中有 5.4214 个小时血液
中酒精含量超过 80mg/100ml。显然一般情况下，司机是不会喝这么多的。所以不再考虑摄 入 4 瓶
酒以上的情况。

问题五 ：对想喝一点儿酒的司机的建议
我们在分析模型时发现了几个影响饮酒驾车的因素,并分别提出了相应的建议。
1. 饮酒量：
根据模型可以看出饮酒量越大，酒精在血液中的浓度峰值越大，饮酒驾车和醉酒驾车的 时间也愈长，危险越大。所以不管怎样对一个司机来说都要尽力克制自己，不要为了一时享 乐而去冒罚款和交通事故的危险。
2. 饮酒的方式：
根据以上模型得到的经验型数据。饮同样量的酒，均匀饮酒超标的时间稍长，但峰值较 小；短时间饮酒超标时间稍短，但峰值高。酒精浓度峰值越高对驾车的危害越大。这就要根 据两种方法的优劣性权衡利弊合理选择饮酒方式。
3. 饮酒的时间选择：
喝酒的影响能够持续较长时间。一瓶啤酒能够使一个人近 6 小时不能够安全驾车，所以 饮酒要尽量在工作之后。工作之前饮酒会对驾驶工作造成很长的影响。
4. 慎用高度白酒：
由问题 2 可以得知半斤 28 度的低度白酒相当于三瓶啤酒，也就是 1ml 低度白酒对血液 中酒精浓度的影响相当于 3.8ml 的啤酒，而高度白酒（60 度）1ml 相当于 7.7ml 啤酒。根据 问题 4 的约 320ml 啤酒的安全饮量，高度白酒只要 40ml 就可以达到相同程度影响。而 40ml 酒对于一个喜爱喝酒的是很难掌握的，所以作为一个司机啤酒倒还可以沾一沾，但对高度白 酒要拒而远之。
同时从酒精在血液中的浓度的变化曲线(图二)中可以看出，在饮完酒之后，酒精浓度 上升到峰值需要一段时间。由模型的分析可知短时间内饮酒在之后 1.3 小时血液酒精浓度达 到峰值。均匀饮酒在饮完酒的大约 0.63 小时酒精浓度达到峰值,所以在这一段时间之内千万 不要驾车，否则会有很大的醉酒驾车风险。另外这一上升过程的时滞给一些已经饮酒过度的 人一种尚未过量的错觉，造成他们的贪杯，使得酒后驾车的风险更大。
新的标准的规定比以前更加严格，说明交通部门意在加强安全驾驶的意识，减少酒后驾
车的现象。据科学资料显示：轻微醉酒的人感觉不到醉酒的感觉，但其反应以及操作能力已
大幅下降。所以饮酒能够带来快乐，但会对安全造成极大的危害。权衡利弊，我们认为尽管
确有不违反交通规则的安全饮酒量，但是最好为了自己与他人的生命安全不要酒后驾车。
综上，我们想劝告司机朋友，最好还是滴酒不沾，饮酒驾驶危害实在太大，很有可能因 为一瓶酿成惨剧，为了您和他人的安全，请远离酒精。
模型评价
总体评价：
1. 本单室模型的拟合数据与实验数据能很好的吻合，表明了模型总体方向的正确性，
为后面的进一步分析奠定了良好基础。
2. 单室模型的后两个推广模型考虑了多种情况，较好地解决了问题，并依据两个峰值
定理定量给出了峰值出现时间。
3. Ka Ke 的值由于仅是依据一个人的数据，因此与普适值可能会有偏差。本模型将该