经济管理决策分析方法六最优化决策模型.pptx

最优化问题的定义、分类和数学模型，规划求解最优化问题的定义、分类和数学模型，规划求解工工具；具；目标函数和约束条件与决策变量之间都是线性关系目标函数和约束条件与决策变量之间都是线性关系的规划的规划问题；问题；目标函数或者约束条件与决策变量之间不是线性关目标函数或者约束条件与决策变量之间不是线性关系的规划系的规划问题；问题；规划规划求解报告的生成与求解报告的生成与分析分析。2最优化问题的最优化问题的概念概念最优化问题最优化问题分类分类最优化问题的最优化问题的数学模型数学模型最优化问题的求解方法最优化问题的求解方法3最优化问题就是在给定条件下寻找最佳方案的最优化问题就是在给定条件下寻找最佳方案的问题问题；最佳的含义有各种各样：成本最小、收益最大、最佳的含义有各种各样：成本最小、收益最大、利润最多、距离最短、时间最少、空间最小等，利润最多、距离最短、时间最少、空间最小等，即在资源给定时寻找最好的目标，或在目标确即在资源给定时寻找最好的目标，或在目标确定下使用最少的资源。定下使用最少的资源。4根据根据有无约束条件有无约束条件 无约束条件的最优化无约束条件的最优化问题，问题，在在资源无限的情况下求解最佳目标资源无限的情况下求解最佳目标；有约束条件的最优化有约束条件的最优化问题，问题，在资源限定的情况下求解最佳目标在资源限定的情况下求解最佳目标；实际问题一般都是有资源限制的，所以大部分最优化问题都是实际问题一般都是有资源限制的，所以大部分最优化问题都是有约束条件的最优化问题有约束条件的最优化问题。根据决策变量在目标函数与约束条件中出现的形式根据决策变量在目标函数与约束条件中出现的形式 线性规划问题线性规划问题 非线性规划问题非线性规划问题 l二次规划问题二次规划问题 根据决策变量是否要求取整数根据决策变量是否要求取整数 整数规划问题整数规划问题 l0-10-1规划问题规划问题 任意规划任意规划问题问题5最优化最优化问题可表示为如下的数学形式问题可表示为如下的数学形式：6方法方法一：公式法一：公式法分析问题，推导出计算最优解的公式。分析问题，推导出计算最优解的公式。方法二：用规划求解工具求解方法二：用规划求解工具求解启动规划求解工具，在规划求解参数对话框中设启动规划求解工具，在规划求解参数对话框中设置目标单元格（目标变量）和可变单元格（决策置目标单元格（目标变量）和可变单元格（决策变量），设置目标单元格的目标值（最大、最小变量），设置目标单元格的目标值（最大、最小或者某一特定值），添加约束条件，另外也可以或者某一特定值），添加约束条件，另外也可以设置一些附加参数。按设置一些附加参数。按“求解求解”按钮，规划求解按钮，规划求解工具就根据参数设置寻求最优解工具就根据参数设置寻求最优解。78910线性规划问题线性规划问题与非线性规划问题与非线性规划问题ExcelExcel中求解规划中求解规划问题的方法和问题的方法和步骤步骤11线性规划就是研究在一组线性约束条件下，线性规划就是研究在一组线性约束条件下，求解一个线性函数的极大化或极小化的求解一个线性函数的极大化或极小化的问题问题线性规划线性规划的形式为：的形式为：1213线性规划问题的三要素线性规划问题的三要素 决策变量决策变量决策问题待定的量值称为决策变量。决策变量的取值要求非负非负。约束条件约束条件任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件约束条件。约束条件是决策方案可行的保障。LP的约束条件，都是决策变量的线性函数线性函数。目标函数目标函数衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低。有的目标要实现极大极大，有的则要求极小极小。目标函数是决策变量的线性函数线性函数。14线性规划的定义线性规划的定义对于求取一组对于求取一组对于求取一组对于求取一组变量变量变量变量x x x xj j j j (j=1,2,.,nj=1,2,.,nj=1,2,.,nj=1,2,.,n)，使之既，使之既，使之既，使之既满足满足满足满足线性约束线性约束线性约束线性约束条件，又使具有条件，又使具有条件，又使具有条件，又使具有线性表达式线性表达式线性表达式线性表达式的的的的目目目目标函数标函数标函数标函数取得取得取得取得极值极值极值极值（极大值或极小值）的一类最（极大值或极小值）的一类最（极大值或极小值）的一类最（极大值或极小值）的一类最优化问题称为优化问题称为优化问题称为优化问题称为线性规划问题线性规划问题线性规划问题线性规划问题，简称，简称，简称，简称线性规划线性规划线性规划线性规划。15某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗系数如下表：产品A产品B资源限量劳动力设 备原材料9434510360200300利润元/kg70120例例例例.生产计划问题生产计划问题生产计划问题生产计划问题16问题：如何安排生产计划，使得获利最多？步骤：1、确定决策变量：设生产A产品x1 kg；B产品x2 kg2、确定目标函数：max Z=70X1+120X23、确定约束条件：劳动力约束 9X1+4X2360 设备约束 4X1+5X2 200 原材料约束3X1+10X2 300 非负性约束X10 X2017用图示的方法来求解线性规划问题。一个二维的线性规划问题(指只有两个决策变量)，可以在平面图上求解，三维的线性规划则要在立体图上求解，而维数再高以后就不能图示了。一、图解法的基本步骤一、图解法的基本步骤LPLP问题的图解法问题的图解法(1)可行域的确定可行解(2)最优解181.1.可行域的确定可行域的确定例如数学模型为例如数学模型为 max Z=3x1+5 x2 x1 8 2x2 12 3x1+4 x2 36 x1 0,x2 0S.t.x1=82x2=123x1+4 x2=36x1x248123690 0A AB BC(4,6C(4,6)D D五边形五边形OABCDOABCD内内(含边界含边界)的任意一点的任意一点 (x x1 1，x x2 2)都是满足所有都是满足所有约束条件的一个解，称之可行解约束条件的一个解，称之可行解 。满足所有约束条件的解的集合，称之为可行域。即所有约束满足所有约束条件的解的集合，称之为可行域。即所有约束条件共同围城的区域。条件共同围城的区域。LPLP问题的图解法问题的图解法192.2.最优解的确定最优解的确定Z=30Z=42Z=15目标函数目标函数 Z=Z=3x3x1 1+5 +5 x x2 2 代表以代表以Z Z为参数的一族为参数的一族平行线平行线。x1=82x2=123x1+4 x2=36x1x248123690 0A AB BC(4,6C(4,6)D D等值线：位于同一直线上的点的目标函数值相同。等值线：位于同一直线上的点的目标函数值相同。最优解：可行解中使目标函数最优最优解：可行解中使目标函数最优(极大或极小极大或极小)的解的解LPLP问题的图解法问题的图解法?20由线性不等式组成的可行域是凸集(凸集的定义是：集合内部任意两点连线上的点都属于这个集合)。可行域有有限个顶点。设规划问题有n个变量，m个约束，则顶点的个数不多于Cnm个。目标函数最优值（如果存在）一定在可行域的边界达到，而不可能在其内部。二、说明二、说明LPLP问题的图解法问题的图解法21例:求解下列线性规划问题 Max Z=4X1-3X2 S.T.X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X20LPLP问题的图解法问题的图解法22X1X1=1X1=6X2=4X2X1+2X2=10ABCDE4X1-3X2=0 MAX Z=4X1-3X2 S.T.X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X20X2 0X1 023LPLP问题的图解法问题的图解法唯一最优解唯一最优解：只有一个最优点。多多重重最最优优解解：无穷多个最优解。若在两个相相邻邻顶顶点点同时得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。无无界界解解：线性规划问题的可行域无界，使目标函数无限增大而无界。（缺乏必要的约束条件）。无可行解无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集。二、解的可能性二、解的可能性24X1X1=1X1=6X2=4X2X1+2X2=10ABCDE4X1-3X2=0 MAXZ=4X1-3X2 S.T.X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X20唯唯一一的的最最优优解解X1 0X2 025X1X1=1X1=6X2=4X2X1+2X2=10ABCDE MAXZ=2X1+4X2 S.T.X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X202X1+4X2=存在无穷多解存在无穷多解 MAXZ=4X1-3X2 S.T.X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X20X1 0X2 026X1X1=1X1=6X2=4X2X1+2X2=0ADE4X1-3X2=0 MAXZ=4X1-3X2 S.T.X1+2X20 X16 X24 X11 X1,X20可行域无界可行域无界 MAXZ=4X1-3X2 S.T.X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X20X1 0X2 027X1X1=1X2X1+2X2=104X1-3X2=0 MAXZ=4X1-3X2 S.T.X1+2X2 10 X11 X1,X20 MAXZ=4X1-3X2 S.T.X1+2X210 X16 X24 X11 X1,X20可行域无界可行域无界X1 0X2 0如果决策变量在目标函数或者约束条件中出现如果决策变量在目标函数或者约束条件中出现了了非线性非线性的的形式形式，最优化问题就是非线性规划问题。最优化问题就是非线性规划问题。线性规划线性规划问题是最简单的规划问题，也是最常用问题是最简单的规划问题，也是最常用的求解最优化问题的方法，对其进行的理论研究的求解最优化问题的方法，对其进行的理论研究较早，也较成熟，可以找到全局最优解较早，也较成熟，可以找到全局最优解。非线性规划非线性规划问题形式多样，求解复杂，不能保证问题形式多样，求解复杂，不能保证找到全局最优解，大部分情况下只能找到局部最找到全局最优解，大部分情况下只能找到局部最优优解解线性规划线性规划问题是非线性规划问题的一种特例。问题是非线性规划问题的一种特例。28第一第一步，步，选择选择“规划求解规划求解”工具工具；第二步，根据第二步，根据对规划对规划问题的分析，在问题的分析，在“设置目标设置目标”中中定义目标值所在的单元格及它的取值，在定义目标值所在的单元格及它的取值，在“通过通过更改可变单元格更改可变单元格”中设置决策变量所在的单元格；中设置决策变量所在的单元格；第三步，在第三步，在“遵守约束遵守约束”中中添加添加约束条件约束条件；第四第四步，选择求解方法，步，选择求解方法，“单纯线性单纯线性”或或“非线性非线性GRGGRG”；第第五五步步，在正确地完成了对需要求解问题的相关参，在正确地完成了对需要求解问题的相关参数的设置后，单击数的设置后，单击“求解求解”按钮，规划求解工具就按钮，规划求解工具就开始求解开始求解。29THANK YOUSUCCESS2024/5/8 周三30可编辑绝对引用与相对引用的切换：绝对引用与相对引用的切换：F4F4或者或者Fn+F4Fn+F4以矩阵和向量的形式表示；以矩阵和向量的形式表示；向量或者矩阵的运算向量或者矩阵的运算(一般是求和用一般是求和用sumsum函数函数)最后要使用最后要使用ctl+alt+shiftctl+alt+shift，在公式外面加，在公式外面加大括号；大括号；31【例例8.18.1】某化工厂用某化工厂用A A、B B、C C三种原料生产三种原料生产P1P1、P2P2两种化工产品。每生产两种化工产品。每生产1 1升升P1P1产品需要产品需要A A、B B、C C的的数量为数量为3 3，4 4，2 2公斤，而生产公斤，而生产1 1升升P2P2的数量为的数量为4 4，2 2，1 1公斤。公斤。P1P1、P2P2的单位利润分别为的单位利润分别为5 5元和元和4 4元，工厂元，工厂现有现有A A、B B、C C三种原料的数量分别为三种原料的数量分别为1414，8 8，6 6公斤。公斤。试用规划求解工具帮助该工厂安排生产试用规划求解工具帮助该工厂安排生产P1P1、P2P2的产的产量，使其能获利最大。量，使其能获利最大。32求解结果求解结果：33【例例8.28.2】某公司生产两种产品，两种产品各生产某公司生产两种产品，两种产品各生产一个单位需要工时一个单位需要工时3 3和和7 7，用电量，用电量4 4千瓦和千瓦和5 5千瓦，需千瓦，需要原材料要原材料9 9公斤和公斤和4 4公斤。公司可提供的工时为公斤。公司可提供的工时为300300，可提供的用电量为，可提供的用电量为250250千瓦，可提供的原材料为千瓦，可提供的原材料为420420公斤。两种产品的单价公斤。两种产品的单价p p与销量与销量q q之间存在负的之间存在负的线性关系，分别为线性关系，分别为p1=3000-50q1,p2=3250-p1=3000-50q1,p2=3250-80q280q2。工时、用电量和原材料的单位成本分别为。工时、用电量和原材料的单位成本分别为1010、1212和和5050，总固定成本是，总固定成本是1000010000。该公司怎样安排两。该公司怎样安排两种产品的产量，能获得最大利润？种产品的产量，能获得最大利润？34求解结果求解结果：需需要要指出指出：对于非线性规划问题，对于非线性规划问题，其其解可能不唯一，即可能存在多解可能不唯一，即可能存在多解解，也可能无解。也可能无解。3536用图解法求线性规划问题37运输问题是线性规划问题的特例。产地产地：货物发出的地点。销地销地：货物接收的地点。产量产量：各产地的可供货量。销量销量：各销地的需求数量。运输问题就是研究如何组织调运，既满足各销地的需求，又使总运费最小。第三节 运输问题38 某某饮饮料料公公司司在在国国内内有有三三个个生生产产厂厂，分分布布在在城城市市A A1 1、A A2 2、A A3 3,其其一一级级承承销销商商有有4 4个个，分分布布在在城城市市B B1 1、B B2 2、B B3 3、B B4 4，已已知知各各厂厂的的产产量量、各各承承销销商商的的销销售售量量及及从从A Ai i到到B Bj j的的每每吨吨饮饮料料运运费费为为C Cijij，为为发发挥挥集集团团优优势势，公公司司要要统统一一筹筹划划运运销问题，求运费最小的调运方案。销问题，求运费最小的调运方案。销地销地产地产地B1 B2 B3 B4产量产量A1A2A3 6 3 2 5 7 5 8 4 3 2 9 7523销量销量 2 3 1 4例例例例1.1.1.1.运输问题运输问题运输问题运输问题运输问题39(1)(1)(1)(1)决策变量决策变量决策变量决策变量。决策的是调运量，因此决策变量为：从Ai到Bj的运输量为xij，(2)(2)(2)(2)目标函数目标函数目标函数目标函数。运费最小的目标函数为minZ=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22+8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34(3)(3)(3)(3)约束条件约束条件约束条件约束条件。产量之和等于销量之和,故要满足：x x1111+x x1212+x x1313+x x1414=5=5x x2121+x x2222+x x2323+x x2424=2=2x x3131+x x3232+x x3333+x x34 34=3=3销售平衡条件销售平衡条件x x1111+x x2121+x x3131=2=2x x1212+x x2222+x x3232=3=3x x1313+x x2323+x x3333=1=1x x1414+x x2424+x x3434=4=4供应平衡条件供应平衡条件非非负负性性约约束束 x xijij0 0(i i=1,2,3=1,2,3；j j=1,2,3,4)=1,2,3,4)40min Z=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22+8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34 综上所述，该问题的数学模型表示为综上所述，该问题的数学模型表示为 x11+x12+x13+x14=5x21+x22+x23+x24=2x31+x32+x33+x34=3x11+x21+x31=2x12+x22+x32=3x13+x23+x33=1x14+x24+x34=4xij0(i=1,2,3；j=1,2,3,4)s.t.subject subject toto在实际问题建模时，还会出现如下一些变化：有时目标函数求最大，如求利润最大或营业额 最大等；当某些运输线路上的能力有限制时，模型中可 直接加入（等式或不等式）约束；产销不平衡的情况。4142产销平衡运输问题的三种类型 43产大于销44产小于销【例例8.38.3】某公司生产一种高档品牌葡萄酒，在全国有】某公司生产一种高档品牌葡萄酒，在全国有3 3个个工厂（工厂工厂（工厂1 1、工厂、工厂2 2和工厂和工厂3 3），各工厂的日最大生产量分），各工厂的日最大生产量分别为别为120120箱、箱、200200箱和箱和100100箱。该公司每天要向箱。该公司每天要向4 4个城市（城个城市（城市市A A、城市、城市B B、城市、城市C C和城市和城市D D）供货，这四个城市的日需要）供货，这四个城市的日需要量分别为量分别为8080箱、箱、150150箱、箱、100100箱和箱和7070箱。每箱货物从工厂运箱。每箱货物从工厂运到各城市的运费如下表所示到各城市的运费如下表所示：该公司怎样安排生产和运输该公司怎样安排生产和运输量，能使总运费最小？要求各工厂的实际供给量不能超过量，能使总运费最小？要求各工厂的实际供给量不能超过其最大产量，同时又要满足各城市的其最大产量，同时又要满足各城市的需要量需要量。45求解结果求解结果：在在线性规划中，当决策变量的取值线性规划中，当决策变量的取值 只能为只能为整数时，把这类问题整数时，把这类问题称之为称之为 整数规划整数规划。本题由于运输时不能。本题由于运输时不能拆拆 箱箱，因而是一个整数规划问题。，因而是一个整数规划问题。46SEUSEU47运输模型的解法运输模型的解法产销不平衡的运输问题需化成产销平衡问题再求解。产销不平衡的运输问题需化成产销平衡问题再求解。产大于销：产大于销：虚设一个销地虚设一个销地 B Bk k(多于物资在产地存储多于物资在产地存储)，其运价为，其运价为0 0，销量销量(存储量存储量)为产销量之差为产销量之差 b bk k=a ai i-b bj j。产小于销：产小于销：虚设一个产地虚设一个产地 A Al l(不足物资的脱销量不足物资的脱销量)，其运价为，其运价为0 0，产量，产量(脱销量脱销量)为销产量之差为销产量之差 a ak k=b bj j -a ai i 。SEUSEU48增加一个销地增加一个销地产大于销产大于销(供大于求供大于求)销地产地B1B2B3产量A159215A231718A362817销量181216销地产地B1B2B3产量A159215A231718A362817销量18121650-50-4646B4000450465050产销不平衡问题产销不平衡问题SEUSEU49产销不平衡问题产销不平衡问题增加一个产地增加一个产地产小于销产小于销(供不应求供不应求)销地产地B1B2B3产量A141210A234312销量8105销地产地B1B2B3产量A141210A234312A3销量810523-23-2222000122232323SEUSEU50自来水分配问题：自来水分配问题：水价90元/kt，管理费45元/kt，引水费如下表：一、短缺资源的分配问题一、短缺资源的分配问题供区供区水库水库甲甲乙乙丙丙丁丁供水量供水量kt/dA1613221750B1413191560C192023-50最低需求最低需求kt/d3070010最高需求最高需求kt/d507030不限不限如何分配供水量，保障各区最低需求，获利最大？运输问题的应用运输问题的应用SEUSEU51 利润利润=收入收入-成本，收入最大，成本最小，则利润最大。成本，收入最大，成本最小，则利润最大。收入：收入：每天供水总量是一常数，水价也是常数，则每天总收入也是常数。每天供水总量是一常数，水价也是常数，则每天总收入也是常数。每天供水总量若能全部售出，每天总收入则能达到最大。每天供水总量若能全部售出，每天总收入则能达到最大。丁区最高需求不限，每天总供水量能全售出。丁区最高需求不限，每天总供水量能全售出。每天总收入是常数，与水量分配无关，可以不与考虑。每天总收入是常数，与水量分配无关，可以不与考虑。成本：成本：各区管理费相同各区管理费相同4545元元/ktkt，每天售水总量是一常数，则管理费也是常数。，每天售水总量是一常数，则管理费也是常数。各区引水费不同，如果总的引水费达到最小，总成本则最低。各区引水费不同，如果总的引水费达到最小，总成本则最低。如何分配水量，既满足最低需求，又使总的引水费最低？如何分配水量，既满足最低需求，又使总的引水费最低？最大需求量：最大需求量：供水总量供水总量=50+60+50=160=50+60+50=160，四区最低需求量，四区最低需求量=30+70+10=110=30+70+10=110，故丁区最大需求，故丁区最大需求量量160-110+10=60160-110+10=60。四区最大需求四区最大需求=50+70+30+60=210=50+70+30+60=210，比供水总量，比供水总量160160多多5050，则是一个产小于销的，则是一个产小于销的不平衡问题。不平衡问题。分析分析运输问题的应用运输问题的应用SEUSEU52产小于销的运输问题化为平衡问题，虚设水库产小于销的运输问题化为平衡问题，虚设水库D D，供水量，供水量5050。各区的最低需求为基本需求，各区的最低需求为基本需求，不允许脱销不允许脱销，不能由虚设水库，不能由虚设水库D D供水，故单位引供水，故单位引水费（运费）为水费（运费）为M M。各区的最大需求与最低需求的差为额外需求，可以由虚设水库各区的最大需求与最低需求的差为额外需求，可以由虚设水库D D供水，故单位供水，故单位引水费（运费）为引水费（运费）为0 0。丁地不能由丁地不能由C C水库供水，乙优先由水库供水，乙优先由B B供应。供应。供区供区水库水库供水量供水量A50B60C50甲甲1甲甲2乙乙丙丙丁丁1丁丁21616132217171414019151519192023MM销量销量302070301050DM0M0M050运输问题运输问题的应用的应用SEUSEU53用表上作业法求得最优方案用表上作业法求得最优方案供区供区水库水库甲甲1甲甲2乙乙丙丙丁丁1丁丁2供水量供水量A5050B20103060C3020050D302050销量销量302070301050最优分配方案：水库最优分配方案：水库A A向乙区供水向乙区供水5050，水库，水库B B分别向乙区、丁区供水分别向乙区、丁区供水2020和和4040，水库，水库C C向甲区供水向甲区供水5050，不给丙区供水。，不给丙区供水。最小引水费：最小引水费：1313 50+1350+13 20+1520+15(10+30)+19(10+30)+19(30+20)=2460 (30+20)=2460 引水引水管理费：管理费：4545(50+60+50)=7200 (50+60+50)=7200 总成本：总成本：2460+7200=9600 2460+7200=9600 总收入：总收入：9090(50+60+50)=14400(50+60+50)=14400 最大获利：最大获利：14400-9600=474014400-9600=4740运输问题运输问题的应用的应用SEUSEU54例例1 1 某企业和用户签订了设备交货合同，相关数据如下表。若某企业和用户签订了设备交货合同，相关数据如下表。若生产出的设备当季度不交货，每台设备每季度需支付保管维护生产出的设备当季度不交货，每台设备每季度需支付保管维护费费0.10.1万元，试问在遵守合同的条件下，企业应如何安排生产万元，试问在遵守合同的条件下，企业应如何安排生产计划，才能使年消耗费用最低？计划，才能使年消耗费用最低？二、生产和储存问题二、生产和储存问题季度季度工厂生产能力工厂生产能力（台）（台）季度末交货量季度末交货量（台）（台）每台设备生产成本每台设备生产成本（万元）（万元）1251512.02352011.03302511.54202012.5运输问题运输问题的应用的应用SEUSEU55解：设设 x xijij为第为第 i i 季度生产的第季度生产的第 j j 季度交货的设备数目，那么应满足：季度交货的设备数目，那么应满足：交货：交货：x x11 11 =15 =15 生产：生产：x x11 11+x x12 12+x x13 13+x x14 14 25 25 x x12 12+x x22 22 =20 =20 x x22 22+x x23 23+x x24 24 35 35 x x13 13+x x23 23+x x33 33 =25 =25 x x33 33+x x34 34 30 30 x x14 14+x x24 24+x x34 34+x x44 44 =20 =20 x x44 44 20 20 把第把第 i i 季度生产的设备数目看作第季度生产的设备数目看作第 i i 个生产厂的产量；把第个生产厂的产量；把第 j j 季季度交货的设备数目看作第度交货的设备数目看作第 j j 个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作运费。可构造下列产销平衡问题：运费。可构造下列产销平衡问题：目标函数：Min f=12 x11+12.1 x12+12.2 x13+12.3 x14+11.1 x22+11.1 x23+11.2 x24 +11.5 x33+11.6 x34 +12.5 x44 第一季度第二季度第三季度第四季度D产量第一季度12.012.112.212.3025第二季度M11.011.111.2035第三季度MM11.511.6030第四季度MMM12.5010销量1520252030110运输问题的应用运输问题的应用SEUSEU例例2 256运筹学教材课后题SEUSEU57SEUSEU练习题练习题58SEUSEUTHANK YOUSUCCESS2024/5/8 周三59可编辑