机器人学-运动学部分(2006).ppt

齐次坐标和齐次变换知识点：齐次坐标和齐次变换知识点：n点和面的齐次坐标和齐次变换点和面的齐次坐标和齐次变换n三个基本旋转矩阵三个基本旋转矩阵n齐次变换的几何意义齐次变换的几何意义n绝绝对对变变换换：如如果果所所有有的的变变换换都都是是相相对对于于固固定定坐坐标标系系中中各各坐坐标轴旋转或平移，则依次标轴旋转或平移，则依次左乘左乘，称为，称为绝对变换绝对变换。n相对变换：相对变换：如果动坐标系如果动坐标系相对于自身坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次旋转或平移，则齐次变换为依次右乘右乘，称为，称为相对变换相对变换。n绕任意轴旋转，绕任意轴旋转，5 5步顺序步顺序n透视变换透视变换机器人运动学机器人运动学第三章第三章 机器人运动学机器人运动学 n机器人运动学主要是把机器人机器人运动学主要是把机器人相对于固定参考相对于固定参考系系的运动作为的运动作为时间的函数时间的函数进行分析研究，而不进行分析研究，而不考虑引起这些运动的力和力矩考虑引起这些运动的力和力矩n也就是要把机器人的也就是要把机器人的空间位移空间位移解析地表示为时解析地表示为时间的函数，特别是研究机器人间的函数，特别是研究机器人关节变量空间和关节变量空间和机器人末端执行器位置和姿态之间机器人末端执行器位置和姿态之间的关系的关系n本章将讨论机器人运动学几个具有实际意义的本章将讨论机器人运动学几个具有实际意义的基本问题。基本问题。3.1 3.1 机器人运动学所讨论的问题机器人运动学所讨论的问题 3.1.1 3.1.1 研究的对象研究的对象机器人从机构形式上分为两种，一种是关节式机器人从机构形式上分为两种，一种是关节式串联机器人，另外一种是并联机器人，如图：串联机器人，另外一种是并联机器人，如图：PUMA560HexapodFanuc manipulatorn n这两种机器人有所不同：这两种机器人有所不同：这两种机器人有所不同：这两种机器人有所不同：串串串串联联联联机机机机器器器器人人人人：工工工工作作作作空空空空间间间间大大大大，灵灵灵灵活活活活，刚刚刚刚度度度度差差差差，负负负负载载载载小小小小，误差累积并放大。误差累积并放大。误差累积并放大。误差累积并放大。并并并并联联联联机机机机器器器器人人人人：刚刚刚刚性性性性好好好好，负负负负载载载载大大大大，误误误误差差差差不不不不积积积积累累累累，工工工工作作作作空间小，姿态范围不大。空间小，姿态范围不大。空间小，姿态范围不大。空间小，姿态范围不大。本章讲解以本章讲解以本章讲解以本章讲解以串联机器人串联机器人串联机器人串联机器人为主。为主。为主。为主。研究的问题研究的问题:n运运动动学学正正问问题题-已已知知杆杆件件几几何何参参数数和和关关节节角角矢矢量量，求求操操作作机机末末端端执执行行器器相相对对于于固固定定参参考考作作标标的的位位置置和和姿姿态态（齐齐次变换问题次变换问题）。）。n运运动动学学逆逆问问题题-已已知知操操作作机机杆杆件件的的几几何何参参数数，给给定定操操作作机机末末端端执执行行器器相相对对于于参参考考坐坐标标系系的的期期望望位位置置和和姿姿态态（位位置置），操操作作机机能能否否使使其其末末端端执执行行器器达达到到这这个个预预期期的的位位姿姿？如如能能达达到到，那那么么操操作作机机有有几几种种不不同同形形态态可可以以满满足足同同样样的条件？的条件？运动学研究的问题运动学研究的问题Where is my hand?Direct KinematicsHERE!How do I put my hand here?Inverse Kinematics:Choose these angles!运动学正问题运动学正问题运动学正问题运动学正问题运动学逆问题运动学逆问题运动学逆问题运动学逆问题3.2 3.2 机器人杆件，关节和它们的参数机器人杆件，关节和它们的参数 3.2.1 3.2.1 杆件，关节杆件，关节n操作机由一串用转动或平移（棱操作机由一串用转动或平移（棱柱形）关节连接的刚体（杆件）柱形）关节连接的刚体（杆件）组成组成n每一对关节杆件构成一个每一对关节杆件构成一个自由度自由度，因此因此N N个自由度的操作机就有个自由度的操作机就有N N对对关节关节-杆件。杆件。n0 0号杆件（一般不把它当作机器人号杆件（一般不把它当作机器人的一部分）固联在机座上，通常的一部分）固联在机座上，通常在这里建立一个固定参考坐标系，在这里建立一个固定参考坐标系，最后一个杆件与工具相连最后一个杆件与工具相连n关节和杆件均由底座向外顺序排关节和杆件均由底座向外顺序排列，每个杆件最多和另外两个杆列，每个杆件最多和另外两个杆件相联，不构成闭环。件相联，不构成闭环。关关关关节节节节杆杆杆杆件件件件末端末端末端末端操作手操作手操作手操作手机座机座机座机座两两两两自自自自由度由度由度由度关节：关节：n一般说来，两个杆件间是用一般说来，两个杆件间是用低副低副相联的相联的n只可能有只可能有6 6种低副关节：种低副关节：旋转旋转（转动）、（转动）、棱柱棱柱（移动）、（移动）、圆柱形圆柱形、球形球形、螺旋螺旋和和平面平面，其中只有，其中只有旋转和棱柱形旋转和棱柱形关关节是串联机器人操作机常见的，各种低副形状如下图所节是串联机器人操作机常见的，各种低副形状如下图所示：示：旋转旋转棱柱形棱柱形柱形柱形球形球形螺旋形螺旋形平面平面3.2.2 3.2.2 杆件参数的设定杆件参数的设定 条件条件条件条件n n关节串联关节串联关节串联关节串联n n每每每每个个个个杆杆杆杆件件件件最最最最多多多多与与与与2 2个个个个杆杆杆杆件件件件相相相相连连连连，如如如如A Ai i与与与与A Ai-1i-1和和和和 A Ai+1i+1相相相相连连连连。第第第第 i i 关关关关节节节节的的的的关关关关节节节节轴轴轴轴 A Ai i 位位位位于于于于2 2个个个个杆杆杆杆件件件件相相相相连连连连接接接接处处处处，如如如如图图图图所所所所示示示示，i-1i-1关关关关节节节节和和和和 i+1i+1关关关关节节节节也也也也各有一个关节轴各有一个关节轴各有一个关节轴各有一个关节轴 A Ai-1i-1 和和和和 A Ai+1i+1。AiAi+1Ai-1 杆件参数的定义杆件参数的定义-和和n li 关节关节关节关节A Ai i轴和轴和轴和轴和A Ai+1i+1轴线轴线轴线轴线公法线的长度公法线的长度公法线的长度公法线的长度n 关节关节关节关节i i轴线与轴线与轴线与轴线与i+1i+1轴线轴线轴线轴线在垂直于在垂直于在垂直于在垂直于l li i平面内的夹平面内的夹平面内的夹平面内的夹角角角角 由由运运动动学学的的观观点点来来看看，杆杆件件的的作作用用仅仅在在于于它它能能保保持持其其两两端端关关节节间间的的形形态态不不变变。这这种种形形态态由由两两个个参参数数决决定定，一一是是杆杆件件的的长长度度 li，一一个个是是杆杆件件的的扭扭转转角角 AiAi+1 杆件参数的定义杆件参数的定义-和和n Li i和和Li-1i-1在在Ai i轴线上轴线上的交点之间的距离的交点之间的距离n Li i和和Li-1i-1之间的夹角，之间的夹角，由由Li-1i-1转向转向Li i，由右手，由右手定则决定正负，对于定则决定正负，对于旋转关节它是个变量旋转关节它是个变量 确确定定杆杆件件相相对对位位置置关关系系，由由另另外外2个个参参数数决决定定，一一个个是是杆杆件的距离件的距离 ，一个是杆件的回转角，一个是杆件的回转角 AiAi+1Ai-1移动关节杆件参数的定义移动关节杆件参数的定义n确定杆件间形态的确定杆件间形态的2个参数个参数Li与与i与旋转关节是一样的。确与旋转关节是一样的。确定杆件相对位置关系的定杆件相对位置关系的2个参数则相反。这里个参数则相反。这里i为常数，为常数，di为为变量。变量。n上述上述4个参数，就确定了杆件的结构形态和相邻杆件相对位个参数，就确定了杆件的结构形态和相邻杆件相对位置关系，在转动关节中，置关系，在转动关节中，Li,i,di是固定值，是固定值，i是变量。在是变量。在移动关节中，移动关节中，Li,i,i是固定值，是固定值，di 是变量。是变量。3.3 机器人关节坐标系的建立机器人关节坐标系的建立n对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡儿坐对于每个杆件都可以在关节轴处建立一个正规的笛卡儿坐标系（标系（xi,yi,zi），（），（i=1,2,n），），n是自由度数，再加是自由度数，再加上基座坐标系，一共有（上基座坐标系，一共有（n+1）个坐标系。）个坐标系。n基座坐标系基座坐标系 定义为定义为0号坐标系（号坐标系（x0,y0,z0）,它也是机它也是机器人的惯性坐标系，器人的惯性坐标系，0号坐标系在基座上的位置和方向可号坐标系在基座上的位置和方向可任选，但任选，但 轴线必须与关节轴线必须与关节1的轴线重合，位置和方向可的轴线重合，位置和方向可任选；任选；n最后一个坐标系（最后一个坐标系（n关节），可以设在手的任意部位，但关节），可以设在手的任意部位，但必须保证必须保证 与与 垂直。垂直。n机器人关节坐标系的建立主要是为了描述机器人各杆件和终机器人关节坐标系的建立主要是为了描述机器人各杆件和终端之间的相对运动，对建立运动方程和动力学研究是基础性端之间的相对运动，对建立运动方程和动力学研究是基础性的工作。的工作。n为了描述机器人各杆件和终端之间转动或移动关系，为了描述机器人各杆件和终端之间转动或移动关系，Denavit和和Hartenberg于于1955年提出了一种为运动链中每个杆件建立年提出了一种为运动链中每个杆件建立附体坐标系的矩阵方法附体坐标系的矩阵方法（D-H方法）方法），建立原则如下：，建立原则如下：D-H关节坐标系建立原则关节坐标系建立原则u右手坐标系右手坐标系u原点原点Oi：设在设在Li与与Ai+1轴线的交点上轴线的交点上 uZi轴轴：与与Ai+1关节轴重合，指向任意关节轴重合，指向任意 uXi轴轴：与公法线与公法线Li重合，指向沿重合，指向沿Li由由Ai轴线指向轴线指向Ai+1轴线轴线 uYi轴轴：按右手定则按右手定则 关节坐标系的建立原则关节坐标系的建立原则AiAi+1Ai-1n原点原点Oi：设在设在Li与与Ai+1轴线的交点上轴线的交点上 nZi轴轴：与：与Ai+1关节轴关节轴重合，指向任意重合，指向任意 nXi轴轴：与公法线：与公法线Li重合，指向沿重合，指向沿Li由由Ai轴线指向轴线指向Ai+1轴线轴线 nYi轴轴：按右手定则：按右手定则 杆件杆件杆件杆件长长长长度度度度L Li i 沿 xi 轴，zi-1 轴与 xi 轴交点到 0i 的距离 杆件扭杆件扭杆件扭杆件扭转转转转角角角角 i i 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi 杆件偏移量杆件偏移量杆件偏移量杆件偏移量 d di i 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至0i 1 坐标系原点的距离 杆件回杆件回杆件回杆件回转转转转角角角角 i i 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi 两种特殊情况两种特殊情况n两轴相交，怎么建立坐两轴相交，怎么建立坐标系？标系？0iAi与与Ai+1关关节节轴轴线线的的交交点；点；ZiAi+1轴线；轴线；XiZi和和Zi-1构构成成的的平平面面的的法线法线 ；Yi右手定则；右手定则；AiA Ai i+1 1o oi iz zi i-1 1z zi ix xi iy yi in两轴平行，怎么建立坐标系两轴平行，怎么建立坐标系(Ai与与Ai+1平行平行)？先建立先建立 0i-1然后建立然后建立0i+1最后建立最后建立 0i注意：注意：由于由于Ai和和Ai+1平行，所以公法线平行，所以公法线 任意点在任意点在A点位置；点位置；按按照照先先前前的的定定义义，di为为Oi-1点点和和A点点之之间间的的距距离离，di+1为为B点点和和C点点间间的的距距离离，这这样样设设定定可可以以的的，但但我我们们可可以以变变更更一一下下，将将0i点点放放在在C点点，定义定义Oi在在Li+1和和Ai+1轴的交点上，这样使轴的交点上，这样使di+1=0使计算简便，此时使计算简便，此时di=相邻相邻关节坐标系间的齐次变换过程关节坐标系间的齐次变换过程 机器人运动学正解机器人运动学正解n将将xi-1轴绕轴绕 zi-1 轴转轴转 i 角度，将其与角度，将其与xi轴平轴平行；行；n沿沿 zi-1轴平移距离轴平移距离 di，使，使 xi-1 轴与轴与 xi 轴重轴重合；合；n沿沿 xi 轴平移距离轴平移距离 Li，使两坐标系原点及使两坐标系原点及x轴轴重合；重合；n绕绕 xi 轴转轴转 i 角度，角度，两坐标系完全重合两坐标系完全重合AiAi+1Ai-1 机器人的运动学正解方程机器人的运动学正解方程 D-H变换矩阵变换矩阵=3.4 3.4 例题例题试求立方体中心在机座坐标系试求立方体中心在机座坐标系00中的位置中的位置该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y Y轴同向，轴同向，那么，求手爪相对于那么，求手爪相对于00的姿态是什么？的姿态是什么？在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。表示。xyz解解1 1：因此物体位于机座坐标系的（因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的轴分别与机座坐标系的-Y，X，Z轴平行。轴平行。解解2 2：X机举例：举例：StanfordStanford机器人机器人A1A2A3A4A5A6d1z1x1y1O1d2z2x2y2O2z3y3x3O3y4z4x4O4z5y5x5O5d3z6x6y6O6d6z0y0 x0O0为右手坐标系为右手坐标系原点原点Oi：Ai与与Ai+1关节轴线的交点关节轴线的交点Zi轴：与轴：与Ai+1关节轴关节轴重合，指向任意重合，指向任意 Xi轴：轴：Zi和和Zi-1构构成的面的法线成的面的法线Yi轴：按右手定则轴：按右手定则 Li 沿沿 xi 轴，轴，zi-1 轴与轴与 xi 轴交点到轴交点到 0i 的距离的距离i 绕绕 xi 轴，由轴，由 zi-1 转向转向zidi 沿沿 zi-1 轴，轴，zi-1 轴和轴和 xi 交点至交点至0i 1 坐标系原坐标系原 点的距离点的距离i 绕绕 zi-1 轴，由轴，由 xi-1转向转向 xi解：解：工作工作空间空间n工作工作空间空间:末端末端操作手可以到达的空间位置集合操作手可以到达的空间位置集合n如何如何获得工作空间获得工作空间:利用正运动学模型利用正运动学模型,改变改变关节关节变量值变量值n灵活灵活空间空间:末端末端操作手可以以任何姿态到达的空间操作手可以以任何姿态到达的空间位置集合位置集合n可可达空间达空间:末端末端操作手可以至少以一个姿态到达的操作手可以至少以一个姿态到达的空间位置集合空间位置集合如何如何确定可达空间确定可达空间?首先，首先，令令 3变变化化 示例示例:平面平面 3 3连杆连杆机器人机器人l l2 2l l3 3l l1 1然后然后然后然后 2 2变化变化变化变化最终，最终，最终，最终，变化变化变化变化 1 13.5 3.5 机器人末端操作器位姿的其它机器人末端操作器位姿的其它 描述方法描述方法n用矩阵表示刚性体的转动简化了许多运算，用矩阵表示刚性体的转动简化了许多运算，但它需要但它需要9 9个元素个元素来完全描述旋转刚体的姿来完全描述旋转刚体的姿态，因此矩阵并不直接得出一组完备的广态，因此矩阵并不直接得出一组完备的广义坐标。义坐标。n一组广义坐标应能描述转动刚体相对于参一组广义坐标应能描述转动刚体相对于参考坐标的方向，被称为考坐标的方向，被称为欧拉角欧拉角的三个角度，的三个角度，、就是这种广义坐标。就是这种广义坐标。n有几种不同的欧拉角表示方法，它们均可有几种不同的欧拉角表示方法，它们均可描述刚体相对于固定参考系的姿态。三种描述刚体相对于固定参考系的姿态。三种最常见的欧拉角类型列在表中最常见的欧拉角类型列在表中 3种种最常见的欧拉角类型最常见的欧拉角类型步步1步步2步步3类类型型1绕绕OZ轴转轴转角角绕绕当前当前OU 轴转轴转角角绕绕当前当前OW轴转轴转角角类类型型2绕绕OZ轴转轴转角角绕绕当前当前OV 轴转轴转角角绕绕当前当前OW轴转轴转角角类类型型3绕绕OX轴转轴转角角绕绕OY轴转轴转角角绕绕OZ轴转轴转角角uvwx(u)y(v)z(w)ouvwuvW类型类型1：表示法通常用于陀螺运动：表示法通常用于陀螺运动 类型类型2：所得的转动矩阵为右乘所得的转动矩阵为右乘 类型类型类型类型3 3 3 3：一般称此转动的欧拉角一般称此转动的欧拉角一般称此转动的欧拉角一般称此转动的欧拉角为横滚、俯仰和偏航角，这种形为横滚、俯仰和偏航角，这种形为横滚、俯仰和偏航角，这种形为横滚、俯仰和偏航角，这种形 式主要用于航空工程中分析飞行式主要用于航空工程中分析飞行式主要用于航空工程中分析飞行式主要用于航空工程中分析飞行器的运动，其旋转矩阵为（这种器的运动，其旋转矩阵为（这种器的运动，其旋转矩阵为（这种器的运动，其旋转矩阵为（这种方法也叫做横滚、俯仰和偏航角方法也叫做横滚、俯仰和偏航角方法也叫做横滚、俯仰和偏航角方法也叫做横滚、俯仰和偏航角表示方法）表示方法）表示方法）表示方法）n正运动学问题正运动学问题:已知已知关节角度或位移，计算关节角度或位移，计算末末端操作手的对应位姿端操作手的对应位姿.n逆逆运动学问题运动学问题:已知已知末端操作手的位姿，求解末端操作手的位姿，求解对应的关节变量对应的关节变量.n为为什么逆运动学问题更困难什么逆运动学问题更困难?可能可能存在多解或无解存在多解或无解通常通常需多次求解非线性超越方程需多次求解非线性超越方程3.6 3.6 运动学逆问题运动学逆问题 解解的存在性的存在性n目标目标点应位于工作空间内点应位于工作空间内n工作工作空间的计算通常较困难，通过机器空间的计算通常较困难，通过机器人结构设计时的考虑可以简化人结构设计时的考虑可以简化n可能可能存在多解，如何选择最合适的解？存在多解，如何选择最合适的解？存在双解存在双解!求解求解方法方法n如果如果各关节可用某算法获得，各关节可用某算法获得，一一个机械手是有个机械手是有解的解的.算法应包含所有可能解算法应包含所有可能解.封闭封闭形式解形式解数字数字解解n方法方法n我们我们对封闭形式的解法更感兴趣对封闭形式的解法更感兴趣 代数代数方法方法 几何几何方法方法n n可解性的重要结论是：可解性的重要结论是：可解性的重要结论是：可解性的重要结论是：所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中总共有总共有总共有总共有6 6 6 6个（或小于个（或小于个（或小于个（或小于6 6 6 6个）自由度时，是个）自由度时，是个）自由度时，是个）自由度时，是可解可解可解可解的，其通的，其通的，其通的，其通解一般是解一般是解一般是解一般是数值解数值解数值解数值解，它不是解析表达式，而是利用数值，它不是解析表达式，而是利用数值，它不是解析表达式，而是利用数值，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原理迭代原理迭代原理迭代原理求解，它的计算量要比解析解大。求解，它的计算量要比解析解大。求解，它的计算量要比解析解大。求解，它的计算量要比解析解大。但在某些特殊情况下，如若干个关节轴线相交和或多但在某些特殊情况下，如若干个关节轴线相交和或多但在某些特殊情况下，如若干个关节轴线相交和或多但在某些特殊情况下，如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于个关节轴线等于个关节轴线等于个关节轴线等于 0 0 0 0 或或或或 90909090 的情况下，具有的情况下，具有的情况下，具有的情况下，具有6 6 6 6个自由度个自由度个自由度个自由度的机器人可得到的机器人可得到的机器人可得到的机器人可得到解析解解析解解析解解析解。为使机器人有解析解，一般设计时，使工业机器人足为使机器人有解析解，一般设计时，使工业机器人足为使机器人有解析解，一般设计时，使工业机器人足为使机器人有解析解，一般设计时，使工业机器人足够简单，尽量满足这些特殊条件。够简单，尽量满足这些特殊条件。够简单，尽量满足这些特殊条件。够简单，尽量满足这些特殊条件。n n对对对对于于于于给给给给定定定定的的的的机机机机器器器器人人人人，能能能能否否否否求求求求得得得得它它它它的的的的运运运运动动动动学学学学逆逆逆逆解解解解的的的的解解解解析析析析式式式式（也叫封闭解）。（也叫封闭解）。（也叫封闭解）。（也叫封闭解）。运动学逆问题的可解性运动学逆问题的可解性 运动学逆问题的多解性运动学逆问题的多解性n n机机机机器器器器人人人人运运运运动动动动问问问问题题题题为为为为解解解解三三三三角角角角方方方方程程程程，解解解解反反反反三三三三角角角角函函函函数数数数方方方方程程程程时时时时会会会会产产产产生生生生多多多多解解解解.显显显显然然然然对对对对于于于于真真真真实实实实的的的的机机机机器器器器人人人人，只只只只有有有有一一一一组组组组解解解解与与与与实实实实际际际际情情情情况况况况相对应，因此必须作出判断，以选择合适的解。相对应，因此必须作出判断，以选择合适的解。相对应，因此必须作出判断，以选择合适的解。相对应，因此必须作出判断，以选择合适的解。n n通常采用如下方法剔除多余解：通常采用如下方法剔除多余解：通常采用如下方法剔除多余解：通常采用如下方法剔除多余解：若该关节运动空间为若该关节运动空间为若该关节运动空间为若该关节运动空间为 ，则应选，则应选，则应选，则应选 。1 1 1 1根根根根据据据据关关关关节节节节运运运运动动动动空空空空间间间间合合合合适适适适的的的的解解解解。例例例例如如如如求求求求得得得得机机机机器器器器人人人人某某某某关关关关节角的两个解为节角的两个解为节角的两个解为节角的两个解为 2 2 2 2选择一个与前一采样时间最接近的解，例如：选择一个与前一采样时间最接近的解，例如：选择一个与前一采样时间最接近的解，例如：选择一个与前一采样时间最接近的解，例如：若该关节运动空间为若该关节运动空间为若该关节运动空间为若该关节运动空间为 ，且，且，且，且 ，则应选，则应选，则应选，则应选 3 3 3 3根据避障要求得选择合适的解根据避障要求得选择合适的解根据避障要求得选择合适的解根据避障要求得选择合适的解4 4 4 4逐级剔除多余解逐级剔除多余解逐级剔除多余解逐级剔除多余解 对对对对于于于于具具具具有有有有n n n n个个个个关关关关节节节节的的的的机机机机器器器器人人人人，其其其其全全全全部部部部解解解解将将将将构构构构成成成成树树树树形形形形结结结结构构构构。为为为为简简简简化化化化起起起起见见见见，应应应应逐逐逐逐级级级级剔剔剔剔除除除除多多多多余余余余解解解解。这这这这样样样样可可可可以以以以避避避避免免免免在在在在树树树树形形形形解解解解中中中中选择合适的解。选择合适的解。选择合适的解。选择合适的解。n 逆运动学的定义逆运动学的定义n 逆运动学的存在性逆运动学的存在性n 逆运动学的可解性逆运动学的可解性n 逆运动学的多解性（剔除办法）逆运动学的多解性（剔除办法）n 逆运动学解法（数值解、解析解）逆运动学解法（数值解、解析解）运动学逆问题运动学逆问题How do I put my hand here?Inverse Kinematics:Choose these angles!运动学逆问题运动学逆问题运动学逆问题运动学逆问题n用未知的逆变换逐次用未知的逆变换逐次左乘左乘，由乘得的矩阵方，由乘得的矩阵方程的元素决定未知数，即用逆变换把一个未程的元素决定未知数，即用逆变换把一个未知数由矩阵方程的右边移到左边知数由矩阵方程的右边移到左边n考察方程式左、右端两端对应元素相等，以考察方程式左、右端两端对应元素相等，以产生一个有效方程式。产生一个有效方程式。n然后求这个三角函数方程式，以求解未知数然后求这个三角函数方程式，以求解未知数 n把下一个未知数移到左边把下一个未知数移到左边n重复上述过程，直到解出所有解重复上述过程，直到解出所有解n无法有数种可能解中直接得出合适的解，需无法有数种可能解中直接得出合适的解，需要通过人为的选择要通过人为的选择 运动学逆问题解法运动学逆问题解法Paul 等人提出的方法等人提出的方法(1981(1981年，解析解年，解析解):):Paul 等人提出的方法等人提出的方法 因因因因此此此此，通通通通常常常常用用用用反反反反正正正正切切切切函函函函数数数数 来来来来确确确确定定定定 值值值值，它它它它可可可可把校正到把校正到把校正到把校正到 适当的象限，其定义为：适当的象限，其定义为：适当的象限，其定义为：适当的象限，其定义为：此此此此时时时时不不不不能能能能用用用用反反反反余余余余弦弦弦弦 来来来来求求求求解解解解关关关关节节节节角角角角，因因因因为为为为这这这这样样样样求求求求解解解解不不不不仅仅仅仅关关关关节节节节角角角角的的的的符符符符号号号号不不不不确确确确定定定定（），而而而而且且且且角角角角的的的的精精精精度度度度也难以保证（也难以保证（也难以保证（也难以保证（）。）。）。）。例：欧拉角第一种类型，求逆例：欧拉角第一种类型，求逆类型类型1：表示法通常用于陀螺运动：表示法通常用于陀螺运动 步步1步步2步步3类类型型1绕绕OZ轴转轴转角角绕绕当前当前OU 轴转轴转角角绕绕当前当前OW轴转轴转角角解：解：由式中矩阵（由式中矩阵（由式中矩阵（由式中矩阵（1 1，3 3）元素相等，有）元素相等，有）元素相等，有）元素相等，有 斯坦福机器人运动学逆问题解斯坦福机器人运动学逆问题解式中：式中：由两端矩阵对应元素相等可得：由两端矩阵对应元素相等可得：作三角变换：作三角变换：式中：式中：得到：得到：即有：即有：（）由由1,4和和2,4元素对应相等，得：元素对应相等，得：式中第四列：式中第四列：式中第四列：式中第四列：式中第三列：高腕高腕低腕低腕 几何解法（适用于少自由度）几何解法（适用于少自由度）原则原则:将将原始空间几何问题转化为若干个原始空间几何问题转化为若干个 平面几何问题平面几何问题x xy yL L1 1L L2 2 应用应用“余弦余弦定理定理”:x2+y2=l12+l22 2l1l2cos(1802)2 2 几何几何解法解法(续续)则有则有:x xy y 再次利用余弦定理得到再次利用余弦定理得到:l22=x2+y2+l12-2l1 (x2+y2)cos 即即 cos =(x2+y2+l12-l22)/2l1 (x2+y2)在在 0 180 范围内求解，最后利用范围内求解，最后利用 1=转换为多项式转换为多项式通常通常超越方程难以求解，因为变量超越方程难以求解，因为变量 通常通常以以cos()或或 sin()的的形式出现形式出现.可以转换为变量可以转换为变量 u=tan(/2)的多项式，的多项式，然后利用下式求解然后利用下式求解:cos()=(1-u2)/(1+u2)sin()=2u /(1+u2)3.7 3.7 微动矩阵和微动齐次变换微动矩阵和微动齐次变换n对象对象:微动矩阵主要是描述机器人在微动微动矩阵主要是描述机器人在微动范围内各关节的位移运动关系范围内各关节的位移运动关系n定义定义:各关节当角度移小于各关节当角度移小于5时，平移在时，平移在0.1mm左右时，微动矩阵大致可用左右时，微动矩阵大致可用 设：设：设：设：有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中的有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中的有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中的有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中的齐次变换为齐次变换为齐次变换为齐次变换为o oT TN N，做做做做微动，微动，微动，微动，绕任意轴绕任意轴绕任意轴绕任意轴w w轴转轴转轴转轴转 ；绕绕绕绕各坐标轴平移各坐标轴平移各坐标轴平移各坐标轴平移dx,dy,dzdx,dy,dz求：求：求：求：在在在在 中的位置和姿态中的位置和姿态中的位置和姿态中的位置和姿态.定义定义定义定义 为微动齐次变换矩阵为微动齐次变换矩阵为微动齐次变换矩阵为微动齐次变换矩阵 在在忽略高次项忽略高次项的情况下：微的情况下：微动齐次变换与动齐次变换与次序无关次序无关 微动齐次变换与次序无关微动齐次变换与次序无关 平移平移平移平移 ：首先来看平移，平移变换在大范围运动时也与次：首先来看平移，平移变换在大范围运动时也与次：首先来看平移，平移变换在大范围运动时也与次：首先来看平移，平移变换在大范围运动时也与次序无关。序无关。序无关。序无关。旋转旋转旋转旋转 ：在大范围旋转时，次序不能变换，那么我们证明：在大范围旋转时，次序不能变换，那么我们证明：在大范围旋转时，次序不能变换，那么我们证明：在大范围旋转时，次序不能变换，那么我们证明一下在微动时与旋转次序无关。一下在微动时与旋转次序无关。一下在微动时与旋转次序无关。一下在微动时与旋转次序无关。令绕令绕令绕令绕0Z,0Y,0X,0Z,0Y,0X,0Z,0Y,0X,0Z,0Y,0X,轴分别旋转轴分别旋转轴分别旋转轴分别旋转qqqdddsin1996.0cos 5Qo角度忽略高次项忽略高次项 微动平移和微动旋转的齐次变换微动平移和微动旋转的齐次变换平移：平移：旋转旋转R R ，绕任意轴绕任意轴 旋转旋转 角角:在在微微动动范范围围内内绕绕任任意意轴轴转转动动 角角,可可以以看看作作绕绕x,y,zx,y,z轴轴的的微微转转动的合成。因此：动的合成。因此：因此：因此：因此微动率因此微动率=微动的齐次变换：微动的齐次变换：dT=T 己知变换矩阵己知变换矩阵 转动：转动：平移平移：求求d T 解：解：反过来：如果我们要求反过来：如果我们要求 在在 中的齐次交换矩阵为中的齐次交换矩阵为 实际测得的为实际测得的为 那么末端执行器坐标系要如何运动才能到达期望值？那么末端执行器坐标系要如何运动才能到达期望值？转动：转动：平移平移：等效微动位移的求解等效微动位移的求解n前面研究的是动坐标系前面研究的是动坐标系On在在Oo中的中的b变换为变换为T，相对于基准坐标系作微平移和相对于基准坐标系作微平移和微转动，来求微动齐次交换。微转动，来求微动齐次交换。n现在我们研究动坐标系现在我们研究动坐标系 On相对于自身相对于自身坐标系做了微位移或微转动，达到绕基坐标系做了微位移或微转动，达到绕基准坐标同样的效果则如何求解。准坐标同样的效果则如何求解。dT=T （绕基准坐标系）绕基准坐标系）=TT（绕动坐标系）绕动坐标系）左乘左乘,绕基准绕基准右乘右乘,绕动坐标轴绕动坐标轴强调等效强调等效设：设：有：有：绕自身轴的微动率绕自身轴的微动率和绕固定坐标系坐标轴的微动和绕固定坐标系坐标轴的微动率率之间的什么关系之间的什么关系，举例说明：举例说明：例：一动坐标系相对于固定坐标系的齐例：一动坐标系相对于固定坐标系的齐 次交换为次交换为 nsap己知相对固定坐标系的微己知相对固定坐标系的微动平移和转动动平移和转动 求：求：与与 求求dT 求与之等效的绕动坐标系的微平移和微转动求与之等效的绕动坐标系的微平移和微转动 解：解：=解解：解解：绕自身平移和转动绕自身平移和转动其结果等于绕固定坐标系转其结果等于绕固定坐标系转动和旋转动和旋转 等效等效说说明明：如如果果我我们们发发现现末末端端操操作作器器相相对对于于基基准准坐坐标标系系有有了了微微位位移移（平平移移或或转转动动）,我我们们可可以以认认为为末末端端操操作作器器相相对对于于自自己己的的坐坐标标系系发发生生了了微微位位移移。只只是是微微动动率率和和不不同而己。其结果是等效的。同而己。其结果是等效的。这些在进行误差补偿和微动时有用这些在进行误差补偿和微动时有用,如产生误差如产生误差 如何补偿？可以反向运动末端关节来补偿如何补偿？可以反向运动末端关节来补偿 微动齐次变换的意义微动齐次变换的意义dT=T （绕基准坐标系）绕基准坐标系）=TT（绕动坐标系）绕动坐标系）左乘左乘,绕基准绕基准右乘右乘,绕动坐标轴绕动坐标轴强调等效强调等效 微动变换：微动变换：逆运动学：逆运动学：n 数值解法数值解法n 解析解法解析解法Paul、几何方法、几何方法 等效微动变换的普遍形式等效微动变换的普遍形式机器人运动学方程机器人运动学方程机器人运动学方程机器人运动学方程 ：定义：定义：定义：定义：前一个坐标系当作当前坐标系的基准坐标系前一个坐标系当作当前坐标系的基准坐标系前一个坐标系当作当前坐标系的基准坐标系前一个坐标系当作当前坐标系的基准坐标系相对于相对于相对于相对于是动坐标系是动坐标系是动坐标系是动坐标系,如果如果如果如果 相对于相对于相对于相对于产生了一个微动，它的微动齐次变换为产生了一个微动，它的微动齐次变换为产生了一个微动，它的微动齐次变换为产生了一个微动，它的微动齐次变换为n n那么这么一个微动会对末端执行器产生什么影响？那么这么一个微动会对末端执行器产生什么影响？那么这么一个微动会对末端执行器产生什么影响？那么这么一个微动会对末端执行器产生什么影响？n n因为对机器人来讲因为对机器人来讲因为对机器人来讲因为对机器人来讲,我们关心的是末端执行器的运动情况。我们关心的是末端执行器的运动情况。我们关心的是末端执行器的运动情况。我们关心的是末端执行器的运动情况。n n同理如果同理如果同理如果同理如果相对于相对于相对于相对于产生一个微动产生一个微动产生一个微动产生一个微动有：有：有：有：n n这是微动齐次变换的普遍形式这是微动齐次变换的普遍形式这是微动齐次变换的普遍形式这是微动齐次变换的普遍形式n 微动率的求解微动率的求解按照前面讲的等效理论有：按照前面讲的等效理论有：按照前面讲的等效理论有：按照前面讲的等效理论有：n这是两个普通形式这是两个普通形式这是两个普通形式这是两个普通形式n如机器人末端产生一个误差如机器人末端产生一个误差如机器人末端产生一个误差如机器人末端产生一个误差,如果在别外一如果在别外一如果在别外一如果在别外一个关节上补偿个关节上补偿个关节上补偿个关节上补偿,就要采用上面的方法。就要采用上面的方法。就要采用上面的方法。就要采用上面的方法。误差及误差补偿误差及误差补偿n n制造和检测误差制造和检测误差制造和检测误差制造和检测误差n n运算过程中圆整、插补、拟合造成的误差运算过程中圆整、插补、拟合造成的误差运算过程中圆整、插补、拟合造成的误差运算过程中圆整、插补、拟合造成的误差原理性误差原理性误差原理性误差原理性误差n n构件承受的负载、加速度、重力的变形误差构件承受的负载、加速度、重力的变形误差构件承受的负载、加速度、重力的变形误差构件承受的负载、加速度、重力的变形误差n n传动误差传动误差传动误差传动误差n n环境影响误差环境影响误差环境影响误差环境影响误差误差来源：误差来源：误差来源：误差来源：n n单关节补偿单关节补偿单关节补偿单关节补偿n n多关节补偿多关节补偿多关节补偿多关节补偿误差补偿：误差补偿：误差补偿：误差补偿：单关节补偿：单关节补偿：n n这是一种精确的求法这是一种精确的求法这是一种精确的求法这是一种精确的求法,这只是一种理想的方法。满足上这只是一种理想的方法。满足上这只是一种理想的方法。满足上这只是一种理想的方法。满足上述补偿实际上是很困难的述补偿实际上是很困难的述补偿实际上是很困难的述补偿实际上是很困难的,有时