流体力学第三讲.ppt

第三章第三章流体静力学流体静力学 流体静力学流体静力学就是研究平衡流体的力学规律及其就是研究平衡流体的力学规律及其应用的科学。应用的科学。静止静止（或者说（或者说平衡平衡），是指流体宏观质点之间），是指流体宏观质点之间没有相对运动，达到了没有相对运动，达到了相对相对的平衡。的平衡。静静止止绝对静止绝对静止相对静止相对静止流体对地球无相对运动流体对地球无相对运动但流体对运动容器无相对运动，但流体对运动容器无相对运动，流体质点之间也无相对运动。流体质点之间也无相对运动。本节课讨论的主要内容本节课讨论的主要内容3.1流体静压强及其特性流体静压强及其特性3.2流体平衡方程式流体平衡方程式注意梯度、旋度、微分算子等概念注意梯度、旋度、微分算子等概念3.1流体静压强及其特性流体静压强及其特性一一、静压强、静压强 静止的流体无相互运动不表现出黏性，即不存在摩擦力（剪力），切向应力为零，只存在法向应力即压力。应力处处与其作用面垂直。流体静压强就是负的法向应力，即 二二流体静压强的特性流体静压强的特性1 1、流体静压强方向必然重合于受力面的内、流体静压强方向必然重合于受力面的内法线方向，即流体静压强的方向沿作用面的法线方向，即流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。内法线方向。假假 设：设：在静止流体中，流体静压强方向不与作用面在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相垂直，与作用面的切线方向成相垂直，与作用面的切线方向成角角切向压强切向压强p pt t法向压强法向压强p pn n则存在则存在流体要流动流体要流动与假设静止流体相矛盾与假设静止流体相矛盾2 2、压强大小跟受力面位置的关系、压强大小跟受力面位置的关系 通常，压强的大小跟受力面的位置（或通常，压强的大小跟受力面的位置（或说方向）有关。说方向）有关。但是对于静止流体，流体中任一点流体但是对于静止流体，流体中任一点流体静压强的大小与其作用面在空间的方位无关，静压强的大小与其作用面在空间的方位无关，只是该点坐标的连续函数，也就是说，静止只是该点坐标的连续函数，也就是说，静止流体中任一点上不论来自何方的静压强均相流体中任一点上不论来自何方的静压强均相等。等。证明证明 取如图微元面体，认为作用在各个面上取如图微元面体，认为作用在各个面上的压强均匀分布的。的压强均匀分布的。Y Y方向上的力平衡方向上的力平衡由于由于因此因此当四面体向当四面体向A A点收缩时，点收缩时，3.2流体平衡方程式流体平衡方程式1、平衡方程式、平衡方程式取一个矩形微元六面体，其六个面分别与坐取一个矩形微元六面体，其六个面分别与坐标轴平行，设微元中心处的压强为标轴平行，设微元中心处的压强为p，由于，由于这是个微小体积，因此认为六个面上的压强这是个微小体积，因此认为六个面上的压强各自均匀分布，常用面向中心来代表。各自均匀分布，常用面向中心来代表。而面上中心处的压强又可以围绕六面体中心而面上中心处的压强又可以围绕六面体中心做做TaylorTaylor展开，并忽略二阶以上的高阶量，展开，并忽略二阶以上的高阶量，则则A A、B B点的静压强为点的静压强为假设假设为六面体的平均密度，为六面体的平均密度，为作用在六为作用在六面体内单位质量流体上的质量力沿坐标的分面体内单位质量流体上的质量力沿坐标的分力，则力，则x x方向的平衡方程为方向的平衡方程为流体平衡的流体平衡的欧拉方程欧拉方程2 2 压强差公式及等压面压强差公式及等压面静压强全微分静压强全微分欧拉方程代入欧拉方程代入压差公式压差公式压强相等的各点组成的面称为等压面，即压强相等的各点组成的面称为等压面，即作用于静止流体中任一点的质量力必垂直于通过该作用于静止流体中任一点的质量力必垂直于通过该点的等压面。点的等压面。*静止流场基本特性静止流场基本特性 (1)(1)流体静止时质量力必须满足的条件流体静止时质量力必须满足的条件 对静力学基本方程两边取旋度，有：对静力学基本方程两边取旋度，有：则有：由于，所以有，所以有即即流体静止的必要条件流体静止的必要条件。在直角坐标系中为在直角坐标系中为：例例.设在一流场中有质量力：设在一流场中有质量力：问：当问：当,v取取何值时，该流场是静止的。何值时，该流场是静止的。解：流场中流体静止的条件是质量力满足式：解：流场中流体静止的条件是质量力满足式：对给定的质量力求偏导数：对给定的质量力求偏导数：在直角坐标系中的表达式为：在直角坐标系中的表达式为：将其带入流体静止条件得将其带入流体静止条件得：要使上式恒成立，只能是各项的系数为零，即要使上式恒成立，只能是各项的系数为零，即:解三元一次方程组得解三元一次方程组得：只有满足上述条件时，该流场中的流体才只有满足上述条件时，该流场中的流体才是静止的。是静止的。(2)(2)质量力有势质量力有势 对于不可压缩流体，其密度对于不可压缩流体，其密度=const=const，则，则由上式由上式其中其中U为标量函数为标量函数。所以所以这是这是不可压缩流体静止的必要条件不可压缩流体静止的必要条件。两边取旋度两边取旋度：流体质量力满足这个关系就称为质量力有势，因流体质量力满足这个关系就称为质量力有势，因此质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件此质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件，U被被称为质量力势函数。右边的称为质量力势函数。右边的负号表示质量力作正功等负号表示质量力作正功等于质量力势的减少于质量力势的减少。流体的密度只随压强变化的正压流场流体的密度只随压强变化的正压流场压强差公式压强差公式总结总结流体静压强及其特性流体静压强及其特性掌握静止的概念、静压强的特性（理解原掌握静止的概念、静压强的特性（理解原理）理）流体平衡方程式（掌握、理解）流体平衡方程式（掌握、理解）预习预习3-3重力场中流体的平衡珀斯卡原理重力场中流体的平衡珀斯卡原理3-4液柱式测压计液柱式测压计3-5流体的相对平衡流体的相对平衡3.3重力场中流体的平衡重力场中流体的平衡单位质量力的分力各为：单位质量力的分力各为：代入压差公式：代入压差公式：流体静力学基本流体静力学基本方程式方程式一、流体静力学基本方程式一、流体静力学基本方程式基本方程不同表达重力作用下静止重力作用下静止流体中各点的单流体中各点的单位重量流体的总位重量流体的总势能是相等的势能是相等的物理意义物理意义单位重量流体对某一基准面的单位重量流体对某一基准面的位势能位势能单位重量流体的单位重量流体的压强势能压强势能位势能和压强势能之和称为单位重量流位势能和压强势能之和称为单位重量流体的体的总势能。总势能。zc例：对于例：对于a，b两点，有两点，有重力作用下的连续均质不可压重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中，各点单位重量缩静止流体中，各点单位重量流体的总势能保持不变。流体的总势能保持不变。考察考察a点和自由液面上的某点点和自由液面上的某点列静力学基本方程式：列静力学基本方程式：帕斯卡原理帕斯卡原理帕斯卡原理：施于在重力作帕斯卡原理：施于在重力作用下不可压缩流体表面上的用下不可压缩流体表面上的压强，将以同一数值沿各个压强，将以同一数值沿各个方向传递到流体中的所有流方向传递到流体中的所有流体质点。体质点。p02p2z2z11p1完全真空z112z2pe2/gAAAA基准面pe1/gpa/gp2/gp1/gp1p0p2pa几何意义几何意义1、单位质量流体所具有的能量用液柱高度来表示，称、单位质量流体所具有的能量用液柱高度来表示，称为为水头水头。（。（位置水头位置水头）2、压强作用下，在完全真空的测压管中测得的高度叫、压强作用下，在完全真空的测压管中测得的高度叫压强水头压强水头。3、位置水头与压强水头的和称、位置水头与压强水头的和称静水头静水头，各点静水头的，各点静水头的连线叫连线叫静水头线静水头线。(1)(1)在重力作用下的静止液体中，静压强随深在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性规律变化，即随深度的增加，静压强值度按线性规律变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。成正比增大。三个重要结论三个重要结论(2)(2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成：在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成：自由液面上的压强自由液面上的压强p p0 0；该点到自由液面的单位面积上的液柱重量该点到自由液面的单位面积上的液柱重量ghgh。(3)(3)在静止液体中，位于同一深度在静止液体中，位于同一深度(h(h常数常数)的各点的各点的静压强相等，即任一水平面都是等压面。的静压强相等，即任一水平面都是等压面。二、标准大气的压强分布二、标准大气的压强分布对流层：从海平面到对流层：从海平面到11000m同温层：同温层：11000m到到20100m,近似近似积分限积分限三、绝对压强、计示压强三、绝对压强、计示压强绝对压强：以完全真空为基准计量的压强。液面上的压强就是大气压强时，则a点的绝对压强为：计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强。a点的计示压强为：可正可负绝对压强小于当地大气压强的负计示压强又称真空。3.4液柱式测压计液柱式测压计1、测压管、测压管结构简单，测结构简单，测量准确，缺点量准确，缺点:只能测量较小只能测量较小的压强。的压强。2、U形管测压计形管测压计测压测压 测真空度测真空度 计示压强计示压强 测压管测压管3、U形管压差计形管压差计4、倾斜微压计、倾斜微压计5、补偿式微压计、补偿式微压计一一.直线等加速运动容器中的静止液体直线等加速运动容器中的静止液体 一个盛有液体的容器相对于地面作直线匀加速一个盛有液体的容器相对于地面作直线匀加速运动，运动，其加速度其加速度 为为：若将非惯性坐标系固定在容器上，则由达朗若将非惯性坐标系固定在容器上，则由达朗贝尔原理，该非惯性坐标系中的流体将受到惯性贝尔原理，该非惯性坐标系中的流体将受到惯性力的作用，且单位质量流体受到的惯性力为力的作用，且单位质量流体受到的惯性力为-a。3.5液体的相对平衡液体的相对平衡将上式代入基本方程得将上式代入基本方程得：于是容器中单位质量流体的质量力就由惯性力和于是容器中单位质量流体的质量力就由惯性力和重力两部分组成：重力两部分组成：其直角坐标系下的分量式为其直角坐标系下的分量式为：则非惯性坐标系中静止液体压力的全微分可以表则非惯性坐标系中静止液体压力的全微分可以表示为示为：由于加速度恒定，积分可得流体的压力分布由于加速度恒定，积分可得流体的压力分布：其中：其中：c c为积分常数，由具体问题确定为积分常数，由具体问题确定。一般性（课本中）一般性（课本中）如图有如图有 代入下式代入下式 等压面等压面 边界条件 压力方程压力方程自由液面自由液面 例题：如图为运送液体的槽车简化模型。槽例题：如图为运送液体的槽车简化模型。槽车以等加速度车以等加速度a做水平运动，车内液高做水平运动，车内液高H，试，试求槽车在等加速运动过程中求槽车在等加速运动过程中自由液面的形状自由液面的形状。假定自由液面的压力为假定自由液面的压力为p0。带入压力全微分公式带入压力全微分公式：解：将固定在槽车上的运动坐标系的原点置于解：将固定在槽车上的运动坐标系的原点置于静止时自由液面的中点。则槽车运动时单位质静止时自由液面的中点。则槽车运动时单位质量液体受到的重力和液体的加速度分量分别为：量液体受到的重力和液体的加速度分量分别为：ozax h由于自由液面为等压面，由于自由液面为等压面，dp=0，所以有，所以有 adx=-gdz积分得积分得 z=-ax/g+c自由液面通过原点，则自由液面通过原点，则c=0，则自由液面方程则自由液面方程为为：说明自由液面是斜率为说明自由液面是斜率为-a/g的倾斜平面的倾斜平面。此外，槽车内液体的压力分布为此外，槽车内液体的压力分布为：改写成改写成：式中式中项正好等于液体自由项正好等于液体自由液面以下的垂直深度液面以下的垂直深度h，可确定可确定则：此式表明，在非惯性坐标系中，静止液体中压力此式表明，在非惯性坐标系中，静止液体中压力同样只是液体深度的函数同样只是液体深度的函数。练习练习：一加满水的柱体直径为一加满水的柱体直径为30cm30cm，60cm60cm高，问逐高，问逐渐加上多少加速度会溢出渐加上多少加速度会溢出1/41/4的水量？的水量？1/21/2的水量的水量？全部的水量？全部的水量？二二、等角速度旋转容器中液体的平衡、等角速度旋转容器中液体的平衡代入压强差公式代入压强差公式积分积分边界条件 回顾回顾1、重力场中流体的平衡、重力场中流体的平衡帕斯卡原理帕斯卡原理掌握静力学基本方程式，理解其物理意义掌握静力学基本方程式，理解其物理意义及几何意义。掌握帕斯卡原理。了解标准及几何意义。掌握帕斯卡原理。了解标准大气的压强分布，掌握绝对压强及计示压大气的压强分布，掌握绝对压强及计示压强。强。2、液柱式测压计（理解原理）、液柱式测压计（理解原理）3、液体的相对平衡、液体的相对平衡掌握水平直线等加速运动容器及等角速旋掌握水平直线等加速运动容器及等角速旋转容器中液体的相对平和规律转容器中液体的相对平和规律要求要求1、课后仔细理解书中的例题；、课后仔细理解书中的例题；2、复习；、复习；3、预习：第三章的剩余部分；、预习：第三章的剩余部分；作业：作业：3-3,3-4,3-5,3-7面积矩：平面图形对某一轴的面积矩面积矩：平面图形对某一轴的面积矩S等于此图形中等于此图形中各微面积与其到该轴距离的成绩的代数和，也等于各微面积与其到该轴距离的成绩的代数和，也等于此图形的面积与此图形的形心到该轴距离的乘积。此图形的面积与此图形的形心到该轴距离的乘积。合力矩定理：平面力系的合力对平面上任一点之矩，合力矩定理：平面力系的合力对平面上任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和。等于各分力对同一点之矩的代数和。惯性矩：面积元素至惯性矩：面积元素至y轴或轴或z轴距离平方的乘积。轴距离平方的乘积。平行移轴定理：平行移轴定理：该截面对该截面对P轴的截面惯性矩等轴的截面惯性矩等于对与于对与P轴平行的形心轴（轴平行的形心轴（x轴）的截面惯性矩与其截面轴）的截面惯性矩与其截面面积和两轴（面积和两轴（P轴和轴和x轴）间轴）间距离平方的乘积之和。距离平方的乘积之和。水平壁面的总压力水平壁面的总压力 图图2-222-22中四容器底面总压力相等中四容器底面总压力相等（作用在容器底面的总压力不能与容（作用在容器底面的总压力不能与容器所盛液体的重力相混淆）器所盛液体的重力相混淆）3.6 3.6 静止液体作用在平面上的总压力静止液体作用在平面上的总压力1总压力的大小总压力的大小液深不同，静压强不同，但方液深不同，静压强不同，但方向均垂直指向平面向均垂直指向平面A，组成一，组成一平行力系。问题：平行力系的平行力系。问题：平行力系的合成问题。合成问题。微元面积上的压强：微元面积上的压强：沿面积沿面积A积分积分平面平面A对对ox轴的轴的面积矩面积矩C C为形心为形心式中：式中：I Ix x为平面为平面A A对对OxOx轴的惯性距。轴的惯性距。由惯性距性质进一步分析可知：压力中心由惯性距性质进一步分析可知：压力中心D永远在形心永远在形心c的下方。的下方。2总压力的作用点总压力的作用点D（总压力的作用线与平面的交点）（总压力的作用线与平面的交点）合力矩定理合力矩定理惯性矩惯性矩根据根据惯性矩平行移轴定理惯性矩平行移轴定理代入代入（曲面上压力体的重力）（曲面上压力体的重力）3.7 3.7 静止液体作用在曲面上的总压力静止液体作用在曲面上的总压力1总压力的大小和方向总压力的大小和方向水平分力水平分力垂直分力垂直分力总压力大小：总压力大小：总压力与垂线间的夹角：总压力与垂线间的夹角：2 2 作用点（如图作用点（如图2-262-26）垂直分力通过压力体垂直分力通过压力体重心指向受压面，重心指向受压面，水平分力通过水平分力通过 压压力中心指向受压面，力中心指向受压面，总压力作用线通过总压力作用线通过两条线交点与垂线两条线交点与垂线成成 角指向受压面，角指向受压面，与受压面交点与受压面交点 即即为作用点。为作用点。3 3 压力体压力体 如图如图2-272-27，液体作用在曲面上的总压力的垂直分力，液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于压力体的液体重力，但并非作用在曲面上的一等于压力体的液体重力，但并非作用在曲面上的一定是它上面压力体的液体重力。定是它上面压力体的液体重力。3.8静止液体作用在潜体和浮体上的浮力静止液体作用在潜体和浮体上的浮力 完全浸没或部分浸没在液体中的物体，要受到液体完全浸没或部分浸没在液体中的物体，要受到液体对它的作用力，其合力称之为浮力。表示为：对它的作用力，其合力称之为浮力。表示为：其中，其中，“-”表示表示dA上的压力与上的压力与相反相反。A为物体表为物体表面面积，面面积，为表面单位法线矢量，为表面单位法线矢量，p p为物体表面所受的为物体表面所受的压力。压力。完全浸没物体的浮力完全浸没物体的浮力 对于一个完全浸没在液体中的物体，物体体对于一个完全浸没在液体中的物体，物体体积为积为V，表面积为，表面积为A液体密度为液体密度为，自由自由液体与大液体与大气接触，大气压为气接触，大气压为p0，物体表面所受压力为：，物体表面所受压力为：以坐标原点为参数点以坐标原点为参数点.则浮力为则浮力为由于由于p0为常数为常数，故有故有根据奥根据奥-高公式有：高公式有：上式表明，物体所受到的浮力等于其所排开的液体上式表明，物体所受到的浮力等于其所排开的液体的重量，方向垂直向上，即阿基米德定律。的重量，方向垂直向上，即阿基米德定律。部分浸没物体的浮力部分浸没物体的浮力物体的浮力可写成：物体的浮力可写成：假定沿自由液面切割物体，物体切割面的假定沿自由液面切割物体，物体切割面的面积为面积为A0，显然有，显然有于是于是A1，A0构成封闭面，构成封闭面，应用奥应用奥-高公式有高公式有：上式表明，部分浸没的物体受的浮力同样等于其上式表明，部分浸没的物体受的浮力同样等于其所排开的液体的重量，方向垂直向上。于是可将所排开的液体的重量，方向垂直向上。于是可将液体中的物体受的浮力写成：液体中的物体受的浮力写成：(阿基米德原理阿基米德原理)液体作用在沉没物体上的液体作用在沉没物体上的总压力的方向垂直向上，总压力的方向垂直向上，大小等于沉没物体所排开大小等于沉没物体所排开液体的重力。液体的重力。课本课本物体浮出水面物体浮出水面平衡，潜体平衡，潜体物体下沉物体下沉例例3-6：如图，一矩形闸门两面受到：如图，一矩形闸门两面受到水的压力，水的压力，闸门宽度闸门宽度试求作用在试求作用在闸门上的总压力及其作用点。闸门上的总压力及其作用点。解：解：例题例题以上作用点是分别以闸门两侧液面交点为基准，转为以上作用点是分别以闸门两侧液面交点为基准，转为以以o点为基准的力矩平衡式为：点为基准的力矩平衡式为：例3-7：一柱形闸门如图，闸门宽度 ，试求作用于曲面上的总压力。解：水平分力解：水平分力 垂直分力垂直分力总压力大小、方向总压力大小、方向例例3-10：汽油容器底部有一：汽油容器底部有一的圆阀，阀芯用拽绳系于的圆阀，阀芯用拽绳系于的柱形浮子上，浮子与阀芯的总质量的柱形浮子上，浮子与阀芯的总质量，汽油密度，汽油密度，拽绳长度，拽绳长度，试求开启圆阀的液面高度。，试求开启圆阀的液面高度。解：浮力：解：浮力：向下的力：向下的力：两力相等得开阀液面高度：两力相等得开阀液面高度：本章概念汇总本章概念汇总 1 1、流体静力学：研究流体处于平衡的力学规律。、流体静力学：研究流体处于平衡的力学规律。2 2、静止状态：流体相对于惯性系没有运动的状态。、静止状态：流体相对于惯性系没有运动的状态。3 3、相对静止状态：流体相对于惯性系有运动，而对某非、相对静止状态：流体相对于惯性系有运动，而对某非惯性系没有运动的状态。惯性系没有运动的状态。4 4、静止状态的流体不呈现粘性，所以静力学的结论对理、静止状态的流体不呈现粘性，所以静力学的结论对理想流体和粘性流体均适用。想流体和粘性流体均适用。5 5、流体静压强：流体中某点的静态压强。、流体静压强：流体中某点的静态压强。6 6、作用于静止流体中任一点的质量力必垂直于通过该点、作用于静止流体中任一点的质量力必垂直于通过该点的等压面，当质量力只有重力时，静止液体的等压面的等压面，当质量力只有重力时，静止液体的等压面一定是水平面。一定是水平面。7 7、在重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中，各点、在重力作用下的连续均质不可压缩静止流体中，各点总势能保持不变。总势能保持不变。8 8、静止流体中任一点的静压强等于自由表面压强、静止流体中任一点的静压强等于自由表面压强与液柱压强之和。与液柱压强之和。9 9、绝对压强：以完全真空为基准计量的压强。绝对压强：以完全真空为基准计量的压强。1010、计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强。、计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强。1111、作用在容器底面的总压力不能与容器所盛液体、作用在容器底面的总压力不能与容器所盛液体的重力相混淆。的重力相混淆。1212、液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于压、液体作用在曲面上的总压力的垂直分力等于压力体的液体重力，但压力体内并非一定容有液力体的液体重力，但压力体内并非一定容有液体。体。1313、液体作用在沉没物体上的总压力的方向垂直向、液体作用在沉没物体上的总压力的方向垂直向上，大小等于沉没物体所排开液体的重力。上，大小等于沉没物体所排开液体的重力。作业3-9，14，16，20，273 3 平衡条件平衡条件 势函数势函数不可压缩流体，密度为常数不可压缩流体，密度为常数则压差公式可写成：则压差公式可写成：微分条件微分条件微分算子微分算子（1）设用设用表示这一函数，则有表示这一函数，则有矢量形式：矢量形式：不可压缩流体处于平衡状态，它上面的质量力不可压缩流体处于平衡状态，它上面的质量力必须有势。必须有势。是质量力的势函数。是质量力的势函数。势函数相等的诸点组成的面称为势函数相等的诸点组成的面称为等势面，等势面，有势有势函数存在的质量力称为函数存在的质量力称为有势力有势力。有势的质量力矢等于势函数的负梯度，它必垂有势的质量力矢等于势函数的负梯度，它必垂直于等势面，并指向势函数减少的方向。直于等势面，并指向势函数减少的方向。（2）（2）式代入（）式代入（1）式，并积分并取积分常数）式，并积分并取积分常数为零，得为零，得（3）质量力不仅垂直于等压面，而且指向压强增质量力不仅垂直于等压面，而且指向压强增大的方向。大的方向。