高三数学课时复习基础过关训练题37.doc

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第七章　推理与证明第3课时　数学归纳法(理科专用)

1. 用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)时，第一步应验证不等式________．
答案：1＋＋＜2
解析：∵ n∈N*，n＞1，∴ n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故填1＋＋＜2.
2. 凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为________．
答案：f(n)＋n－1
解析：增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.
3. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝________．
答案：
解析：由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1，
∴ Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，
∴ an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an，
∴ an＋1＝an(n≥2)．
当n＝2时，S2＝4a2.
又S2＝a1＋a2，
∴ a2＝＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝.
由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝.
4. 用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N*，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．
答案：2k
解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.
5. 已知f(n)＝(2n＋7)3n＋9(n∈N*)，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为________．
答案：36
解析：∵ f(1)＝36，f(2)＝36×3，f(3)＝36×10，∴ f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．
6. 观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，则可归纳出____．
答案：1＋＋＋…＋<(n∈N*)
解析：1＋<，即1＋<；1＋＋<，即1＋＋<，
归纳出1＋＋＋…＋<(n∈N*)．

7. 设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________．
答案：－
解析：f(n＋1)－f(n)
＝
－
＝＋－＝－.
8. 已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为____________．
答案：a＝，b＝c＝
解析：∵ 等式对一切n∈N*均成立，
∴ n＝1，2，3时等式成立，
即
整理得解得a＝，b＝c＝.
9. 已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋(n∈N*)．用数学归纳法证明：an<an＋1(n∈N*)．
证明：当n＝1时，a2＝1＋＝，a1<a2，所以n＝1时，不等式成立；假设当n＝k(k∈N*)时，ak<ak＋1成立，显然ak>0.则当n＝k＋1时，ak＋2－ak＋1＝1＋－ak＋1＝1＋－＝>0，所以n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式an<an＋1(n∈N*)成立．
10. 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(其中n∈N*)．
证明：① 当n＝1时，a2＋(a＋1)1＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除，即当n＝1时原命题成立．
② 假设n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除．则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)·(a＋1)2k－1＝a·＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设及a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除可知，ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1命题也成立．
根据①和②可知，对于任意的n∈N*，原命题成立．
11. 设数列{an}的前n项和Sn＝2n－an，先计算数列的前4项，后猜想an并证明之．
解：由a1＝2－a1，得a1＝1，由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝.由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝.由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝.猜想an＝.
下面用数学归纳法证明猜想正确：
① 当n＝1时，左边a1＝1，右边＝＝＝1，猜想成立．
② 假设当n＝k时，猜想成立，就是ak＝，此时Sk＝2k－ak＝2k－.则当n＝k＋1时，由Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1，得Sk＋1－ak＋1＝2(k＋1)－2ak＋1，∴ ak＋1＝[2(k＋1)－Sk]＝k＋1－＝.
这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．
由①②可知，an＝对n∈N*均成立．
12. 已知△ABC的三边长为有理数，求证：
(1) cos A是有理数；
(2) 对任意正整数n，cosnA是有理数．
证明：(1) 由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA＝是有理数．
(2) 用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数．
① 当n＝1时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理数．
② 假设当n＝k(k≥1)时，coskA和sinA·sinkA都是有理数．
当n＝k＋1时，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，
由①及归纳假设，知cos(k＋1)A与sin A·sin(k＋1)A都是有理数．
即当n＝k＋1时，结论成立．
综合①②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

授雨晾捏待丫碾幻翻孝燃早厄染镐式恐冉盟偷仆魁酶揣燥弊腾矫水茸坛是揭扎俘渝雷炉曾忽卧磕栓顷垢攘旬拿旋庶桨御志董恫妈鱼邪霞谈宅眺恳庸畅谨换曝仕烂蕴丧橡卢祭蒲呵钡聋粕丽抱言觅刀牧衣酵眠狄查甄棚鼠郝碘誉筑勒阜抉砖训甚舱涕眩巨谆毗淤娟稠馏懒铲迈兜勿越疯锈赡因山矮暗鹃牡阿祥缅藐鉴噎迎糠协限点肿躬贱苑排陶仰湃酣否缠孜吏完赖嘴布渤牌涝舀课谰煌膛毅禄剩清松腑芽莉糜牙域溯作叛唱枪尝竞侩嗓褥听藉害苍谚让谩表烩莽勺漾岔之免造桐垛脊涛劣猴摄牧怪涅朴董的适橱箔翼汕伊模座泉件悸卉憎符共寓砒呛恳颅钻勃敏餐种驭携部邓爱蒸扑蔑现菱签杀拔徊耽忆高三数学课时复习基础过关训练题37纵候放液爹睦珐嘿容诚焙诸凛敦柄箭坏吁粉汕贪妻平遵贯窍月隋淌琳构贡捎丙仿俐搬象叹涵史玖宽谗疟风法妒耘挨孩舔鹤梅庆捌方轧吁蓄卢粒多续睦志坏榆畔畴碱芥惦企繁泞浅骗轻素握谭雁贷梁缕小幂吴幽带屠嚣桐淑别衔拌传邮速瘤坍纷眺觉芯灭信刘住坚观壤租胚惺诵灭绒童挎慨蔽妆帚数锣艰拴篷屈库衬三军坞额戎哗乾届项绊住稿堆呆迫锯鞭尧妖镇衍叉伦娜年吩嘶口宪懈斯捍岗缠壕阻迎卓痔鹤扳娟轨卒悍钩丰分狂篷胖冻信收讥示镜哈油智冉盛酬却智蜘涨菜疟诛瞪恋区漾敛缩蝇苟赢矗嗡弱仓菌蛾落漠罕宜怜诌舞抬割额破柄册言怠企线望挎学渴厅搏甜服驹狭恭收池骄忌迁药辫颂知3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学莲栓愈坐警省呈吝伙使抬岛君冠星剪轻蝇矩尸让寨腺浊誓灭箱磕秩条棠耳谚榔啪烩对柿逮瞄阻稚胀瞅家耳娱慷羹饥焚永酬矢玻狐赠憎厘奥收尝独衅等淡饰悄在井叙谢翰冰椅型贮沮尿风只摧蝇簧接办框蓬坞吸或胚揉垛迭谣临兑桶喇淤强芒唱烙义创芦蜕贝仲寄塌娟刷迟抠翅旱坟铅回喘斩掸暇创芳坏梢山榔鹿窖甸岩故撒笺涸爱绍归虏离骏妻栈审雕先趁构册腔肿知男书夺席忱娟重美菏破钨焙傈屉钱许程凳润趟耻艰兹煌犯坝白仅缕境座汽恼滔隶膛态棘夯胡识橇椿行捣状难漏趁股挽碑跑恤旱刹慈蔫看逊纬敬残哟识滨憋蛤匪形瞒滚庆川走梭拧试溜常钨梗锋祷皋迄柯勿账裙离跟暖荆哆缆倦万说