资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围在数轴上可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．某地区在一次空气质量检测中，收集到5天的空气质量指数如下：81，70，56，61，81，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．70，81 B．81，81 C．70，70 D．61，81
3．将分别标有“走”“向”“伟”“大”“复”“兴”汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“复兴”的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（）
A．： B．2：3 C．4：9 D．16：81
7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC：AB=2：5，则S△ADC：S△BDC是（ ）
A．3：19 B． C．3: D．4：21
8．如图，一条抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动．若点、的坐标分别为、，点的横坐标的最大值为，则点的横坐标的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．将函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，可得到的抛物线是：（ ）
A． B． C． D．
10．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=4：5，下列结论中正确的是
A． B． C． D．
11．如图，点A(m，m+1)、B(m+3，m−1)是反比例函数与直线AB的交点，则直线AB的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
12．若反比例函数的图像经过点，则下列各点在该函数图像上的为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知菱形中，，，边上有点点两动点，始终保持，连接取中点并连接则的最小值是_______．
14．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．
15．如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为_________________________．
16．二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是x=_______.
17．如图，在中，.动点以每秒个单位的速度从点开始向点移动，直线从与重合的位置开始，以相同的速度沿方向平行移动，且分别与边交于两点，点与直线同时出发，设运动的时间为秒，当点移动到与点重合时，点和直线同时停止运动.在移动过程中，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在直线上，点的对应点记为点，连接，当时，的值为___________.
18．一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是_______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）下面是一位同学做的一道作图题：
已知线段、、（如图所示），求作线段，使.
他的作法如下：
1.以下为端点画射线，.
2.在上依次截取，.
3.在上截取.
4.联结，过点作，交于点.
所以：线段______就是所求的线段.
（1）试将结论补完整：线段______就是所求的线段.
（2）这位同学作图的依据是______；
（3）如果，，，试用向量表示向量.
20．（8分）甲、乙两人进行摸牌游戏现有三张除数字外都相同的牌，正面分别标有数字2，5，1．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
（2）若两人抽取的数字和为4的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为奇数，则乙获胜这游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
21．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，.
（1）若，求的值；
（2）过点作与轴平行的直线，交抛物线于点，.当时，求的取值范围.
22．（10分）已知关于的方程.
（1）求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为-1，则另一个根为 .
23．（10分）如图1，在中，是的直径，交于点，过点的直线交于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，试求的长；
（3）如图2，点是弧的中点，连结，交于点，若，求的值．
24．（10分）自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线表示．
（1）________；
（2）求图1表示的售价与时间的函数关系式；
（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？
25．（12分）如图，雨后初睛，李老师在公园散步，看见积水水面上出现阶梯上方树的倒影，于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度，他的方法是：测得树顶的仰角∠1、测量点A到水面平台的垂直高度AB、看到倒影顶端的视线与水面交点C到AB的水平距离BC．再测得梯步斜坡的坡角∠2和长度EF，根据以下数据进行计算，如图，AB＝2米，BC＝1米，EF＝4米，∠1＝60°，∠2＝45°．已知线段ON和线段OD关于直线OB对称．（以下结果保留根号）
（1）求梯步的高度MO；
（2）求树高MN．
26．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点都在网格线交点上．
（1）图中AC边上的高为 个单位长度；
（2）只用没有刻度的直尺，在所给网格图中按如下要求画图（保留必要痕迹）：
①以点C为位似中心，把△ABC按相似比1:2缩小，得到△DEC；
②以AB为一边，作矩形ABMN，使得它的面积恰好为△ABC的面积的2倍．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】利用根的判别式和题意得到，求出不等式的解集，最后在数轴上表示出来，即可得出选项．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得：，
在数轴上表示为：，
故选：B．
【点睛】
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根的判别式的应用，注意：一元二次方程(为常数)的根的判别式为．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．特别注意：当时，方程有两个实数根，本题主要应用此知识点来解决．
2、A
【分析】根据中位数的定义和众数的定义即可得出结论.
【详解】解：将这5天的空气质量指数从小到大排列后为：56，61，70，81， 81，
故这组数据的中位数为：70
根据众数的定义，出现次数最多的数据为81，故众数为81.
故选：A.
【点睛】
此题考查的是求一组数据的中位数和众数，掌握中位数的定义和众数的定义是解决此题的关键.
3、B
【分析】根据题意列表得出所有等情况数和两次摸出的球上的汉字是“复”“兴”的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有30种等情况数，其中两次摸出的球上的汉字是“复”“兴”的有2种，
则随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“复兴”的概率是；
故选：．
【点睛】
此题考查了树状图法或列表法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；列表法适合两步完成的事件，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
4、D
【解析】试题分析：根据所给出的图形和数字可得：主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，
则符合题意的是D；
故选D．
考点：1．由三视图判断几何体；2．作图-三视图．
5、B
【解析】注意几何体的特征，主视图与左视图的高相同，主视图与俯视图的长相等，左视图与俯视图的宽相同．再对选项进行分析即可得到答案.
【详解】根据俯视图的特征，应选B．故选：B．
【点睛】
本题考查了几何体的三视图，正确理解主视图与左视图以及俯视图的特征是解题的关键．
6、B
【分析】根据面积比为相似比的平方即可求得结果.
【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为4：9，
∴它们的周长比为：=.
故选B.
【点睛】
本题主要考查图形相似的知识点，解此题的关键在于熟记两个相似多边形的面积比为其相似比的平方.
7、D
【分析】根据已知条件易证△ADC∽△ABC，再利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ABC，
∴AC：AB=2：5，是相似比，
∴S△ADC：S△ABC=4：25，
∴S△ADC：S△BDC=4：（25﹣4）=4：21，
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADC∽△ABC是解决问题的关键．
8、C
【分析】根据顶点在线段上移动，又知点、的坐标分别为、，再根据平行于轴，之间距离不变，点的横坐标的最大值为，分别求出对称轴过点和时的情况，即可判断出点横坐标的最小值．
【详解】根据题意知，点的横坐标的最大值为，
此时对称轴过点，点的横坐标最大，此时的点坐标为，
当对称轴过点时，点的横坐标最小，此时的点坐标为，点的坐标为，
故点的横坐标的最小值为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质．解答本题的关键是理解二次函数在平行于轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
9、C
【分析】先根据“左加右减”的原则求出函数y=-1x2的图象向左平移2个单位所得函数的解析式，再根据“上加下减”的原则求出所得函数图象向下平移1个单位的函数解析式．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向左平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2；
由“上加下减”的原则可知，将函数y=2（x+1）2的图象向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2-1．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
10、B
【分析】根据平行线分线段成比例，相似三角形性质，以及合比性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】解：如图，在△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=4∶5，则
∴△ADE∽△ABC，
∴，故A错误；
则，故B正确；
则，故C错误；
则，故D错误.
故选择：B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，平行线分线段成比例，合比性质，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例的性质.
11、B
【分析】根据反比例函数的特点k=xy为定值，列出方程，求出m的值，便可求出一次函数的解析式；
【详解】由题意可知，m（m+1）=（m+1）（m-1）
解得m=1．
∴A（1，4），B（6，2）；
设AB的解析式为
∴
解得
∴AB的解析式为
故选B.
【点睛】
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，比较简单．
12、C
【分析】将点代入求出反比例函数的解析式，再对各项进行判断即可．
【详解】将点代入得
解得
∴
只有点在该函数图象上
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的问题，掌握反比例函数的性质以及应用是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】过D点作DH⊥BC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，连接BM．由菱形性质和可证明，进而可得，由BM最小值为BH即可求解．
【详解】解：过D点作DH⊥BC交BC延长线与H点，延长EF交DH与点M，连接BM．
∵在菱形中，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴当BM最小时FG最小，
根据点到直线的距离垂线段最短可知，BM的最小值等于BH，
∵在菱形中， ，
∴
又∵在Rt△CHD中，，
∴，
∴，
∴AM的最小值为6，
∴的最小值是1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了动点线段的最小值问题，涉及了菱形的性质、等腰三角形性质和判定、垂线段最短、中位线定理等知识点；将“两动点”线段长通过中位线转化为“一定一动”线段长求解是解题关键．
14、3.1或4.32或4.2
【解析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=1，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，
∴AB==5，S△ABC=AB•BC=1．
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB=AP=3时，如图1所示，
S等腰△ABP=•S△ABC=×1=3.1；
②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，
作△ABC的高BD，则BD=，
∴AD=DP==1.2，
∴AP=2AD=3.1，
∴S等腰△ABP=•S△ABC=×1=4.32；
③当CB=CP=4时，如图3所示，
S等腰△BCP=•S△ABC=×1=4.2；
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.1或4.32或4.2，
故答案为3.1或4.32或4.2．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．
15、（，2）．
【详解】解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，
设BE=DE=x，则AE=4-x，
在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，
∴（4-x）2+22=x2，
∴x=，
∴BE=ED=，AE=AD-ED=，
∴点E坐标（，2）．
故答案为：（，2）．
【点睛】
本题考查翻折变换（折叠问题），利用数形结合思想解题是关键．
16、1
【分析】利用公式法可求二次函数y=x2-2x+1的对称轴．也可用配方法．
【详解】∵-=-=1，
∴x=1．
故答案为1
【点睛】
本题考查二次函数基本性质中的对称轴公式；也可用配方法解决．
17、
【分析】由题意得CP=10-3t，EC=3t,BE=16-3t，又EF//AC可得△ABC∽△FEB，进而求得EF的长；如图，由点P的对应点M落在EF上，点F的对应点为点N，可知∠PEF=∠MEN，由EF//AC∠C=90°可以得出∠PEC=∠NEG，又由，就有∠CBN=∠CEP.可以得出∠CEP=∠NEP=∠B,过N做NG⊥BC,可得EN=BN,最后利用三角函数的关系建立方程求解即可；
【详解】解：设运动的时间为秒时；
由题意得：CP=10-3t，EC=3t,BE=16-3t
∵EF//AC
∴△ABC∽△FEB
∴
∴
∴EF=
在Rt△PCE中，PE=
如图：过N做NG⊥BC,垂足为G
∵将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在直线上，点的对应点记为点，
∴∠PEF=∠MEN，EF=EN,
又∵EF//AC
∴∠C=∠CEF=∠MEB=90°
∴∠PEC=∠NEG
又∵
∴∠CBN=∠CEP.
∴∠CBN=∠NEG
∵NG⊥BC
∴NB=EN,BG=
∴NB=EN=EF=
∵∠CBN=∠NEG，∠C=NGB=90°
∴△PCE∽△NGB
∴
∴=，解得t=或-（舍）
故答案为.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质的运用、三角函数值的运用、勾股定理的运用，灵活利用相似三角形的性质和勾股定理是解答本题的关键.
18、15个．
【解析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解：
由题意可得，，解得，a=15（个）．
三、解答题（共78分）
19、（1）CD；（2）平行线分段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例）等；（3）
【分析】（1）根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；
（2）根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；
（3）先证△OAC∽△OBD得，即，从而知，又，与反向可得出结果.
【详解】解：（1）根据作图知，线段CD就是所求的线段x，
故答案为：CD；
（2）平行线分段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例）；或三角形一边的平行线性质定理（平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例）.
（3），
∴△OAC∽△OBD，
.
，，
.得.
，，与反向，
.
【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．
20、（1）两人抽取相同数字的概率是；（2）这个游戏公平．
【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数和两人抽取相同数字的情况数，然后根据概率公式即可得出答案;
（2）根据概率公式求出两人抽取的数字和为4的倍数以及和为奇数的概率,然后进行比较即可得出答案．
【详解】（1）根据题意画树状图如下：
共有9种等情况数，其中两人抽取相同数字的有3种，
则两人抽取相同数字的概率是；
（2）∵共有9种等情况数，其中两人抽取的数字和为4的倍数有4种，抽取的数字和为奇数的有4种，
∴P（和为4的倍数）＝，P（和为奇数）＝，
∴这个游戏公平．
【点睛】
本题主要考查的是利用概率计算判断游戏公平性, 解决本题的关键是要熟练掌握树状图求概率的方法.
21、（1）；（2）的取值范围为或.
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，利用对称性求出A、B的坐标，然后把点代入抛物线，即可求出m的值；
（2）根据根的判别式得到m的范围，再结合，然后分为：①开口向上，②开口向下，两种情况进行分析，即可得到答案.
【详解】解：（1）抛物线对称轴为直线.
∴点关于直线对称，
∵
抛物线与轴交于点，
将代入中，
得，
∴；
（2）抛物线与轴有两个交点
∴，即，
解得：或；
①若，开口向上，如图，
当时，有，
解得：；
∵或，
∴；
②若，开口向下，如图，
当时，有，
解得：，
∵或，
∴；
综上所述，的取值范围为：或.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题，根的判别式，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题.
22、（1）见解析；（2）1或－1
【分析】（1）根据因式分解法求出方程的两个解，再证明这两个解不相等即可；
（2）根据（1）中的两个解分类讨论即可．
【详解】（1）证明： 原方程可化为
或
，
∵
∴无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）当时，解得：m=1，即方程的另一个根为1；
当m=-1时，则另一个根为，
∴另一个根为1或－1
故答案为：1或－1．
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程和根据一元二次方程的一个根求另一个根，掌握因式分解法解一元二次方程和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
23、（1）证明见解析（2）（3）
【分析】（1）连接半径，根据已知条件结合圆的基本性质可推出，即，即可得证结论；
（2）设，根据已知条件列出关于的方程、解方程即可得到圆心角，再求得半径，然后利用弧长公式即可得解；
（3）由，设，然后根据已知条件利用圆的一些性质、勾股定理以及三角形的不同求法分别表示出、，再利用平行线的判定以及相似三角形的判定和性质即可求得结论．
【详解】解：（1） 连结，如图：
∵是的直径
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵在圆上
∴是的切线．
（2）设
∵
∴
∴
∵在中，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
连结，过作于点，如图：
∵点是的中点
∴
∴设
∴
∴
∴
∵在中，
∴
∵，
∴
∴
∴．
故答案是：（1）证明见解析（2）（3）
【点睛】
本题考查了圆的相关性质、切线的判定、等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形的相关性质、锐角三角函数、三角形的外角性质以及弧长的计算公式等，综合性较强，但难度不大属中档题型．
24、（1）；（2）；（3）当20天或40天，最小利润为10元千克
【分析】（1）把代入可得结论；
（2）当时，设，把，代入；当时，设，把，代入，分别求解即可；
（3）设利润为，分两种情形：当时、当时，利用二次函数的性质分别求解即可．
【详解】解：（1）把代入，得到，
故答案为：．
（2）当时，设，
把，代入得到，
解得，
．
当时，设，
把，代入得到，
解得，
．
综上所述，．
（3）设利润为．
当时，，
当时，有最小值，最小值为10（元千克）．
当时，
，
当时，最小利润（元千克），
综上所述，当20天或40天，最小利润为10元千克．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键从函数图象中获取信息，利用待定系数法求得解析式．
25、（1）4米；（2）（14+4）米．
【分析】（1）作EH⊥OB于H，由四边形MOHE是矩形，解Rt求得EH即可；
（2）设ON＝OD＝m，作AK⊥ON于K，则四边形AKOB是矩形，，OK＝AB＝2，想办法构建方程求得m即可.
【详解】（1）如图，作EH⊥OB于H．则四边形MOHE是矩形．
∴OM＝EH，
在Rt中，
∵∠EHF＝90°，EF＝4，∠EFH＝45°，
∴EH＝FH＝OM＝米．
（2）设ON＝OD＝m．作AK⊥ON于K．则四边形AKOB是矩形，如图，
AK＝BO，OK＝AB＝2
∵AB∥OD，∴，∴，∴OC＝，
∴，
在Rt△AKN中，∵∠1＝60°，
∴AK，∴，
∴m＝（14+8）米，
∴MN＝ON﹣OM＝14+8﹣4＝（14+4）米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，轴对称的性质，解题的关键是添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用参数解决几何问题.
26、（1）；（2）①见解析，②见解析
【分析】（1）利用等面积法即可求出AC边上的高；
（2）①利用位似图形的性质得出对应点位置连接即可；
②利用矩形的判定方法即可画出．
【详解】解：（1）由图可知,设AC边上的高为x，
则由三角形面积公式可得：
解得，即AC边上的高为.
（2）①如图所示：△DEC即为所求．
②如图所示：矩形ABMN即为所求．
【点睛】
本题考查作位似图形，矩形的判定，勾股定理.（1）中熟练掌握等面积法是解决此问的关键；（2）中能作出AC的中点是解题关键；（3）中注意矩形的四个角都是直角，且矩形的一边为AB，另一边要与△ABC中AB边上的高相等.
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