资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．方程的两根分别是，则等于 （ ）
A．1 B．-1 C．3 D．-3
2．下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是( )
A．x2＋1＝0 B．x2＋2x＋1＝0 C．x2＋2x＋3＝0 D．x2＋2x－3＝0
3．如图，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为( )
A．3 B．2 C． D．1
4．某药品原价为100元，连续两次降价后，售价为64元，则的值为（ ）
A．10 B．20 C．23 D．36
5．下列说法正确的是（ ）
A．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上的次数一定是次
B．某种彩票的中奖率是，说明每买张彩票，一定有张中奖
C．篮球队员在罚球线上投篮一次，“投中”为随机事件
D．“任意画一个三角形，其内角和为”是随机事件
6．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，则tanB的值是( )
A． B． C． D．
8．如图，⊙是的外接圆，已知平分交⊙于点，交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼。通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（ ）
A．600条 B．1200条 C．2200条 D．3000条
11．二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．从1到9这9个自然数中任取一个，既是2的倍数，又是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是______________.
14．函数中，自变量的取值范围是________.
15．若关于的方程和的解完全相同，则的值为________．
16．如图，在中，，点为的中点.将绕点逆时针旋转得到，其中点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为______．
17．如图，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是_____．
18．小明练习射击，共射击次，其中有次击中靶子，由此可估计，小明射击一次击中靶子的概率约为__________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：）
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AD与BC相交于点E．连接BD，作∠BDF＝∠BAD，DF与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DF∥BC，求证：AD平分∠BAC；
（3）在（2）的条件下，若AB＝10，BD＝6，求CE的长．
21．（8分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）
22．（10分）如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°.求CD的长.
23．（10分）解答下列问题：
（1）计算：；
（2）解方程：；
24．（10分）已知函数y＝mx1﹣（1m+1）x+1（m≠0），请判断下列结论是否正确，并说明理由．
（1）当m＜0时，函数y＝mx1﹣（1m+1）x+1在x＞1时，y随x的增大而减小；
（1）当m＞0时，函数y＝mx1﹣（1m+1）x+1图象截x轴上的线段长度小于1．
25．（12分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标．
26．二次函数的部分图象如图所示，其中图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点．
求此二次函数的解析式；
将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出顶点坐标以及它与轴的另一个交点的坐标．
利用以上信息解答下列问题：若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是________．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到答案.
【详解】解：∵的两根分别是，
∴，
故选：B.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系进行解题.
2、D
【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】A、△=0-4×1×1=-4<0，没有实数根；
B、△=22-4×1×1=0，有两个相等的实数根；
C、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根；
D、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根，
故选D．
【点睛】
本题考查了根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
3、C
【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB=|k|，便可求得结果．
【详解】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB，
而S△OAB=|k|=，
∴S△CAB=，
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
4、B
【解析】根据题意可列出一元二次方程100（1-）²=64，即可解出此题.
【详解】依题意列出方程100（1-）²=64，
解得a=20，（a=180,舍去）
故选B.
【点睛】
此题主要考察一元二次方程的应用，依题意列出方程是解题的关键.
5、C
【分析】根据题意直接利用概率的意义以及三角形内角和定理分别分析得出答案．
【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数一定是50次，错误；
B、某种彩票的中奖率是，说明每买100张彩票，不一定有1张中奖，故此选项错误；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；
D、“任意画一个三角形，其内角和为360°”是不可能事件，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查概率的意义，熟练并正确掌握概率的意义是解题关键．
6、B
【解析】根据中心对称图形的定义，在平面内，把图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图像能与原图形重合，就为中心对称图形.
【详解】选项A，不是中心对称图形.
选项B,是中心对称图形.
选项C,不是中心对称图形.
选项D,不是中心对称图形.
故选B
【点睛】
本题考查了中心对称图形的定义.
7、C
【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB的长度，再利用勾股定理求出BC的长度，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答．
【详解】∵CD是斜边AB上的中线，CD=5，
∴AB=2CD=10，
根据勾股定理，BC=
tanB=．
故选C．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边应熟练掌握．
8、A
【分析】先根据角平分线的定义、圆周角定理可得，再根据相似三角形的判定定理得出，然后根据相似三角形的性质即可得．
【详解】平分
弧BD与弧CD相等
又
，即
解得
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、圆周角定理、相似三角形的判定定理与性质，利用圆周角定理找到两个相似三角形是解题关键．
9、B
【分析】根据矩形的性质可知，要求BD的最小值就是求AC的最小值，而AC的长度对应的是A点的纵坐标，然后利用二次函数的性质找到A点纵坐标的最小值即可．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴
∴顶点坐标为
∵点在抛物线上运动
∴点A纵坐标的最小值为2
∴AC的最小值是2
∴BD的最小值也是2
故选：B．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质及二次函数的最值，掌握矩形的性质和二次函数的图象和性质是解题的关键．
10、B
【分析】由题意已知鱼塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【详解】解：30÷2.5%=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．
11、A
【分析】①对称轴为，得；
②函数图象与x轴有两个不同的交点，得；
③当时，，当时，，得；
④由对称性可知时对应的y值与时对应的y值相等，当时
【详解】解：由图象可知，对称轴为，
，
，
①正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
，
②正确；
当时，，
当时，，
③正确；
由对称性可知时对应的y值与时对应的y值相等，
∴当时，
④错误；
故选A．
【点睛】
考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．
12、A
【分析】从1到9这9个自然数中，既是2的倍数，又是3的倍数只有6一个，所以既是2的倍数，又是3的倍数的概率是九分之一．
【详解】解：∵既是2的倍数，又是3的倍数只有6一个，
∴P（既是2的倍数，又是3的倍数）＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了用列举法求概率,属于简单题,熟悉概率的计算公式是解题关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、48π
【分析】首先利用圆的面积公式即可求得侧面积，利用弧长公式求得圆锥的底面半径，得到底面面积，据此即可求得圆锥的全面积．
【详解】解：侧面积是：，
底面圆半径为：，
底面积，
故圆锥的全面积是：，
故答案为：48π
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14、
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；可得关系式x﹣1≠0，求解可得自变量x的取值范围．
【详解】根据题意，有x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
【点睛】
本题考查了分式有意义的条件．掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解答本题的关键．
15、1
【分析】先分解因式，根据两方程的解相同即可得出答案．
【详解】解：，
，
∵关于x的方程和的解完全相同，
∴a=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能正确用因式分解法解方程是解此题的关键．
16、
【分析】连接，设AC、DE交于点N，如图，根据题意可得的度数和BM的长度，易证为的中位线，故MN可求，然后利用S阴影=S扇形MBE，代入相关数据求解即可.
【详解】解：连接，设AC、DE交于点N，如图，由题意可知，，∴，
∵，，且为的中点，
∴为的中位线，∴，，
∴S阴影=S扇形MBE.
【点睛】
本题考查了旋转的性质、三角形的中位线定理、扇形面积的计算等知识，属于常考题型，熟练掌握旋转的性质、将所求不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和差是解题的关键.
17、
【解析】试题解析：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=得：y1=2，y2=，
∴A（，2），B（2，）．
在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=ax+b（a≠0）
把A、B的坐标代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式是y=-x+，
当y=0时，x=，即P（，0）；
故答案为（，0）．
18、0.9
【分析】根据频率=频数÷数据总数计算即可得答案．
【详解】∵共射击300次，其中有270次击中靶子，
∴射中靶子的频率为=0.9，
∴小明射击一次击中靶子的概率约为0.9，
故答案为：0.9
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题（共78分）
19、5.5米
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出关于x的方程，解出即可.
【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，
设CD=x，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，则AD=CD=x.
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，则BD=CD=x.
由题意得，x﹣x=4，
解得：.
答：生命所在点C的深度为5.5米.
20、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）如图，连结OD，只需推知OD⊥DF即可证得结论；
（2）根据平行线的性质得到∠FDB＝∠CBD，由圆周角的性质可得∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BDF，即AD平分∠BAC；
（3）由勾股定理可求AD的长，通过△BDE∽△ADB，可得，可求DE＝，AE＝，由锐角三角函数可求CE的长．
【详解】（1）连接OD，CD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO+∠ODB＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∵∠BDF＝∠BAD，
∴∠BDF+∠ODB＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵DF∥BC，
∴∠FDB＝∠CBD，
∵，
∴∠CAD＝∠CBD，且∠BDF＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BDF，
∴AD平分∠BAC；
（3）∵AB＝10，BD＝6，
∴AD＝，
∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDE＝90°，
∴△BDE∽△ADB，
∴，
∴，
∴DE＝，
∴AE＝AD﹣DE＝，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴sin∠CAD＝sin∠BAD
∴
∴
∴CE＝
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，掌握平行线的性质、圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质以及判定定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．
21、（1）证明见解析（2）2
【解析】试题分析：（1）由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；
（2）由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．
试题解析：（1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO=∠CEO，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=，
在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，
∴CF==2，
∵四边形AECF是菱形，
∴CE=CF=2，
∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．
考点：1.矩形的性质；2.菱形的判定与性质3.三角函数.
22、CD=.
【分析】根据相似三角形的判定定理求出，再根据相似三角形对应边的比等于相似比解答．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APB=∠PAC+∠C，∠PDC=∠PAC+∠APD，
∵∠APD=60°，
∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，
∴∠APB=∠PDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
即，
∴CD=.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质，证出两三角形相似是解题的关键．
23、（1）；（2），
【分析】（1）先按照二次根式的乘除法计算，然后去条绝对值，再计算加减法；
（2）采用配方法解方程即可.
【详解】解：（1）原式；
（2）
∴，
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算与解一元二次方程，熟练掌握二次根式的乘除运算法则和配方法是解题的关键.
24、（1）详见解析；（1）详见解析．
【分析】（1）先确定抛物线的对称轴为直线x＝1+，利用二次函数的性质得当m＞1+时，y随x的增大而减小，从而可对（1）的结论进行判断；
（1）设抛物线与x轴的两交的横坐标为x1、x1，则根据根与系数的关系得到x1+x1＝，x1x1＝，利用完全平方公式得到|x1﹣x1|＝＝＝|1﹣|，然后m取时可对（1）的结论进行判断．
【详解】解：（1）的结论正确．理由如下：
抛物线的对称轴为直线，
∵m＜0，
∴当m＞1+时，y随x的增大而减小，
而1＞1+，
∴当m＜0时，函数y＝mx1﹣（1m+1）x+1在x＞1时，y随x的增大而减小；
（1）的结论错误．理由如下：
设抛物线与x轴的两交的横坐标为x1、x1，则x1+x1＝，x1x1＝，
|x1﹣x1|＝
＝
＝
＝
＝|1﹣|，
而m＞0，
若m取时，|x1﹣x1|＝3，
∴当m＞0时，函数y＝mx1﹣(1m+1)x+1图象截x轴上的线段长度小于1不正确．
【点睛】
本题考查了二次函数的增减性问题，与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）见解析，点C2的坐标为（1，3）；（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心为（，）
【解析】(1)作出A、B、C关于x轴的对称点，然后顺次连接即可得到;
(2)把A、B、C绕原点按逆时针旋转90度得到对应点，然后顺次连接即可得到，根据图可写出C2的坐标;
(3)成中心对称，连续各对称点，连线的交点就是对称中心，从而可以找出对称中心的坐标.
【详解】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标为（1，3）；
（3）△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称，对称中心为（，）．
【点睛】
本题综合考查了轴对称图形和图形的旋转的作图，图形变换的性质，不管是哪一种变化，找对应点是关键.
26、 (1) (2)，顶点坐标为(2,-9)，B(5,0) (3)
【解析】(1)直接代入三个坐标点求解解析式；
(2)利用配方法即可；
(3)关于的一元二次方程的根，就是二次函数与的交点，据此分析t的取值范围.
【详解】解：(1)代入A、D、C三点坐标：
，解得，故函数解析式为：；
(2)，故其顶点坐标为(2,-9)，
当y=0时，，解得x=-1或5，由题意可知B(5,0)；
(3)，故当时，-9≤y＜0，故-9≤t＜0.
【点睛】
本题第3问中，要理解t是可以取到-9这个值的，只有x=-1和x=3这两个端点对应的y值是不能取的.
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