资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，是的边上的一点，下列条件不可能是的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，周长为定值的平行四边形中，，设的长为，周长为16，平行四边形的面积为，与的函数关系的图象大致如图所示，当时，的值为（ ）
A．1或7 B．2或6 C．3或5 D．4
3．关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，则整数a的最大值是（ ）
A．1 B．﹣4 C．3 D．4
4．已知二次函数的图象如图所示，对于下列结论：①；②；③；④；⑤方程的根是，，其中正确结论的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．抛物线经过平移得到抛物线,平移过程正确的是（ ）
A．先向下平移个单位,再向左平移个单位
B．先向上平移个单位,再向右平移个单位
C．先向下平移个单位,再向右平移个单位
D．先向上平移个单位,再向左平移个单位.
6．如图：已知，且，则（ ）
A．5 B．3 C．3. 2 D．4
7．如图，点A、B、C均在⊙O上，若∠AOC＝80°，则∠ABC的大小是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．50°
8．如图，为圆的切线，交圆于点，为圆上一点，若，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的大小为( )
A．42° B．48°
C．52° D．58°
10．150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．1.5cm B．3cm C．6cm D．12cm
11．已知3x＝4y（x≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，下列关于平移后所得抛物线的说法，正确的是（ ）
A．开口向下 B．经过点 C．与轴只有一个交点 D．对称轴是直线
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是_______.
14．如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，则的值为___.
15．如图，，，△A2B2B3 是全等的等边三角形，点 B，B1，B2，B3 在同一条 直线上，连接 A2B 交 AB1 于点 P，交 A1B1 于点 Q，则 PB1∶QB1 的值为___．
16．如图，四边形是的内接四边形，且，点在的延长线上，若，则的半径_________________．
17．点关于原点对称的点为_____．
18．若点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1与y2的大小关系是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）（发现）在解一元二次方程的时候，发现有一类形如x2+（m+n）x+mn＝0的方程，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它转化成x2+（m+n）x+mn＝（m+x）（m+n）＝0
（探索）解方程：x2+5x+6＝0：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3），原方程可转化为（x+2）（x+3）＝0，即x+2＝0或x+3＝0，进而可求解．
（归纳）若x2+px+q＝（x+m）（x+n），则p＝ q＝ ；
（应用）
（1）运用上述方法解方程x2+6x+8＝0；
（2）结合上述材料，并根据“两数相乘，同号得正，异号得负“，求出一元二次不等式x2﹣2x﹣3＞0的解．
20．（8分）如图，反比例函数y1＝与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（﹣2，5）和点B（n，l）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出当y1≥y2时自变量x的取值范围；
（3）点P是y轴上的一个动点，若S△APB＝8，求点P的坐标．
21．（8分）如图，，射线于点，是线段上一点，是射线上一点，且满足.
（1）若，求的长；
（2）当的长为何值时，的长最大，并求出这个最大值.
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+5与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点C．
(1)求直线AC解析式；
(2)过点A作AD平行于x轴，交抛物线于点D，点F为抛物线上的一点(点F在AD上方)，作EF平行于y轴交AC于点E，当四边形AFDE的面积最大时？求点F的坐标，并求出最大面积；
(3)若动点P先从(2)中的点F出发沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点M处，再沿垂直于y轴的方向运动到y轴上的点N处，然后沿适当的路径运动到点C停止，当动点P的运动路径最短时，求点N的坐标，并求最短路径长.
23．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线（b为常数）的对称轴是直线x=1．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点A（8，m）在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A'，求点A'的坐标；
（3）选取适当的数据填入下表，并在如图5所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．
24．（10分）如图，射线交一圆于点，，射线交该圆于点，，且 .
（1）判断与的数量关系.（不必证明）
（2）利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法），求证：平分.
25．（12分）数学实践小组的同学利用太阳光下形成的影子测量大树的高度．在同一时刻下，他们测得身高为1．5米的同学立正站立时的影长为2米，大树的影子分别落在水平地面和台阶上．已知大树在地面的影长为2．4米，台阶的高度均为3．3米，宽度均为3．5米．求大树的高度．
26．定义：若函数与轴的交点的横坐标为，，与轴交点的纵坐标为，若，中至少存在一个值，满足（或），则称该函数为友好函数．如图，函数与轴的一个交点的横坐标为-3，与轴交点的纵坐标为-3，满足，称为友好函数．
（1）判断是否为友好函数，并说明理由；
（2）请探究友好函数表达式中的与之间的关系；
（3）若是友好函数，且为锐角，求的取值范围．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据相似三角形的判定判断各选项即可进行解答．
【详解】解： A、∵∠ACP＝∠B，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、∵，缺少夹角相等，∴不可判定△ACP∽△ABC，故本选项符合题意；
C、∵∠APC＝∠ACB，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意；
D、∵，∠A=∠A，∴△ACP∽△ABC，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定．要找的对应边与对应角，公共角是很重要的一个量，要灵活加以利用．
2、B
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，构建直角△ABE，通过解该直角三角形求得AE的长度，然后利用平行四边形的面积公式列出函数关系式，即可求解.
【详解】如图，过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠B＝60°，边AB的长为x，
∴AE＝AB•sin60°＝
∵平行四边形ABCD的周长为16，
∴BC＝（16−2x）＝8−x，
∴y＝BC•AE＝（8−x）×（0≤x≤8）．
当时，（8−x）×=
解得x1=2,x2=6
故选B.
【点睛】
考查了动点问题的函数图象．掌握平行四边形的周长公式和解直角三角形求得AD、BE的长度是解题的关键．
3、D
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】由题意可知：△＝16﹣4a≥0且a≠0，
∴a≤4且a≠0，
所以a的最大值为4，
故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法.
4、B
【分析】根据抛物线与轴的交点个数可对①进行判断；利用时函数值为负数可对②进行判断；由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴方程得到，由抛物线与轴交点位置得，于是可对③进行判断；由于时，，得到，然后把代入计算，则可对④进行判断；根据抛物线与轴的交点问题可对⑤进行判断．
【详解】解：抛物线与轴有两个不同的交点，
，
∴，即①正确；
时，，
，
∴，即②正确；
抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线与轴交点位于轴负半轴，
，
，所以③错误；
，，
，
而，
，所以④正确；
抛物线与轴的交点坐标为、，
即或3时，，
方程的根是，，所以⑤正确．
综上所述：正确结论有①②④⑤，正确结论有4个.
故选：．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；抛物线与轴交点个数由△决定．
5、D
【分析】先利用顶点式得到抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移情况．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，而点先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得点，
抛物线先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得抛物线．
故选：．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6、C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可.
【详解】解：∵AD∥BE∥CF
∴
∵AB=4，BC=5，EF=4
∴
∴DE=3.2
故选C
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键.
7、C
【分析】根据圆周角与圆心角的关键即可解答.
【详解】∵∠AOC＝80°，
∴.
故选：C.
【点睛】
此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
8、B
【分析】根据切线的性质以及圆周角定理求解即可．
【详解】连接OA
∵为圆的切线
∴
∵
∴
∴
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了圆的角度问题，掌握切线的性质以及圆周角定理是解题的关键．
9、A
【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．故选A．
考点：旋转的性质．
10、C
【分析】根据150°的圆心角所对的弧长是5πcm，代入弧长公式即可得到此弧所在圆的半径．
【详解】设此弧所在圆的半径为rcm，
∵150°的圆心角所对的弧长是5πcm，
∴，
解得，r＝6，
故选：C．
【点睛】
本题考查弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键.
11、B
【解析】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，逐项判断即可．
【详解】A、由＝得4x＝3y，故本选项错误；
B、由＝得3x＝4y，故本选项正确；
C、由＝得xy＝12，故本选项错误；
D、由＝得4x＝3y，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了比例的基本性质，熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．
12、C
【分析】根据二次函数图象和性质以及二次函数的平移规律，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】∵二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，
∴平移后的二次函数解析式为：，
∵2＞0，
∴抛物线开口向上，故A错误，
∵，
∴抛物线不经过点，故B错误，
∵抛物线顶点坐标为：(2，0)，且开口向上，
∴抛物线与轴只有一个交点，故C正确，
∵抛物线的对称轴为：直线x=2，
∴D错误．
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质以及平移规律，掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】求方程的解即是求函数图象与x轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x轴上方的图象可得结果.
【详解】由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x轴的一个交点为5，所以，另一交点为2-3=-1. ∴x1=-1,x2=5. ∴不等式的解集是.
故答案为
【点睛】
要了解二次函数性质与图像，由于图像的开口向下，所以，有两个交点，知一易求另一个，本题属于基础题.
14、
【分析】证明 ，从而求出CD的长度，再求出即可．
【详解】∵是斜边上的高
∴
∵
∴
∴
∴
解得（舍去）
∴在 中
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定以及三角函数，掌握相似三角形的性质以及判定是解题的关键．
15、
【分析】根据题意说明PB1∥A2 B3，A1B1∥A2B2，从而说明△BB1P∽△BA2 B3，△BB1Q∽△BB2A2，再得到PB1 和A2B3的关系以及QB1和A2B2的关系，根据A2B3=A2B2，得到PB1和QB1的比值.
【详解】解：∵△ABB1，△A1B1B2，△A2B2B3是全等的等边三角形，
∴∠BB1P=∠B3，∠A1B1 B2=∠A2B2B3，
∴PB1∥A2B3，A1B1∥A2B2，
∴△BB1P∽△BA2 B3，△BB1Q∽△BB2A2，
∴,,
∴，，
∵，
∴PB1∶QB1=A2B3∶A2 B2=2：3.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键．
16、
【分析】根据圆内接四边形的性质，证得是等边三角形，再利用三角函数即可求得答案.
【详解】如图，连接BD，过点O作OF⊥BD于F，
∵四边形是的内接四边形，且AB=AD=8，∠DCE=60，
∴∠DCE=∠A=60，∠BOD=2∠A=120，
∴是等边三角形，AB=AD=BD= 8，
∵OB=OD，OF⊥BD，
∴∠BOF=BF=，
∴.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形函数的应用等知识，运用“圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”证得∠A=60是解题的关键.
17、
【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点的对称点的坐标变化规律，即可得到答案.
【详解】∵平面直角坐标系中，关于原点的对称点的横纵坐标分别互为相反数，
∴点关于原点对称点的坐标为．
故答案是：.
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点的对称点的坐标变化规律，掌握关于原点的对称点的横纵坐标分别互为相反数，是解题的关键.
18、y1＜y1
【分析】由k=-1可知，反比例函数y＝﹣的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则问题可解.
【详解】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣1＜0，
∴此函数在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（1，y1），B（1，y1）在反比例函数y＝﹣的图象上，1＞1，
∴y1＜y1，
故答案为y1＜y1．
【点睛】
本题考查了反比例函数的增减性，解答关键是注意根据比例系数k的符号确定，在各个象限内函数的增减性解决问题.
三、解答题（共78分）
19、归纳：m+n，m；应用（1）：x1＝﹣2，x2＝4；（2）x＞3或x﹣1
【分析】归纳：根据题意给出的方法即可求出答案．
应用：（1）根据题意给出的方法即可求出答案；
（2）根据题意给出的方法即可求出答案；
【详解】解：归纳：故答案为：m+n，m；
应用：（1）x2+6x+8＝0，
∴（x+2）（x+4）＝0
∴x+2＝0，x+4＝0
∴x1＝﹣2，x2＝4；
（2）∵x2﹣2x﹣3＞0
∴（x﹣3）（x+1）＞0
∴或
解得：x＞3或x﹣1
【点睛】
本题考查了一元二次方程，一元二次不等式的解及题目所给信息的总结归纳能力
20、（1）y1＝﹣，y2＝x+6；（2）x≤﹣10或﹣2≤x＜0；（3）点P的坐标为（0，4）或（0，1）．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝中求出k得到反比例函数解析式为y＝﹣，再利用反比例函数解析式确定B（﹣10，1），然后利用待定系数法求一次解析式；
（2）根据图象即可求得；
（3）设一次函数图象与y轴的交点为Q，易得Q（0，6），设P（0，m），利用三角形面积公式，利用S△APB＝S△BPQ﹣S△APQ得到|m﹣6|×（10﹣2）＝1，然后解方程求出m即可得到点P的坐标．
【详解】解：（1）把A（﹣2，5）代入反比例函数y1＝得k＝﹣2×5＝﹣10，
∴反比例函数解析式为y1＝﹣，
把B（n，1）代入y1＝﹣得n＝﹣10，则B（﹣10，1），
把A（﹣2，5）、B（﹣10，1）代入y2＝ax+b得，解得，
∴一次函数解析式为y2＝x+6；
（2）由图象可知，y1≥y2时自变量x的取值范围是x≤﹣10或﹣2≤x＜0；
（3）设y＝x+6与y轴的交点为Q，易得Q（0，6），设P（0，m），
∴S△APB＝S△BPQ﹣S△APQ＝1，
|m﹣6|×（10﹣2）＝1，解得m1＝4，m2＝1．
∴点P的坐标为（0，4）或（0，1）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
21、（1）；（2）当时，的最大值为1.
【分析】（1）先利用互余的关系求得，再证明，根据对应边成比例即可求得答案；
（2）设为，则，根据，求得，利用二次函数的最值问题即可解决．
【详解】（1）如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）设为，则，
∵（1）可得，
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为1．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数等综合知识，根据线段比例来求线段的长是本题解题的基本思路．
22、 (1)y＝﹣x+5；(2)点F(，)；四边形AFDE的面积的最大值为；(3)点N(0，)，点P的运动路径最短距离＝2+.
【分析】(1)先求出点A，点C坐标，用待定系数法可求解析式；
(2)先求出点D坐标，设点F(x，﹣x2+4x+5)，则点E坐标为(x，﹣x+5)，即可求EF＝﹣x2+5x，可求四边形AFDE的面积，由二次函数的性质可求解；
(3)由动点P的运动路径＝FM+MN+NC＝GM+2+MH，则当点G，点M，点H三点共线时，动点P的运动路径最小，由两点距离公式可求解.
【详解】解：(1)∵抛物线y＝﹣x2+4x+5与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点C.
∴当x＝0时，y＝5，则点A(0，5)
当y＝0时，0＝﹣x2+4x+5，
∴x1＝5，x2＝﹣1，
∴点B(﹣1，0)，点 C(5，0)
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∴
解得：
∴直线AC解析式为：y＝﹣x+5，
(2)∵过点A作AD平行于x轴，
∴点D纵坐标为5，
∴5＝﹣x2+4x+5，
∴x1＝0，x2＝4，
∴点D(4，5)，
∴AD＝4
设点F(x，﹣x2+4x+5)，则点E坐标为(x，﹣x+5)
∴EF＝﹣x2+4x+5﹣(﹣x+5)＝﹣x2+5x，
∵四边形AFDE的面积＝AD×EF＝2EF＝﹣2x2+10x＝﹣2(x﹣)2+
∴当x＝时，四边形AFDE的面积的最大值为，
∴点F(，)；
(3)∵抛物线y＝﹣x2+4x+5＝﹣(x﹣2)2+9，
∴对称轴为x＝2，
∴MN＝2，
如图，将点C向右平移2个单位到点H(7，0)，过点F作对称轴x＝2的对称点G(，)，连接GH，交直线x＝2于点M，
∵MN∥CH，MN＝CH＝2，
∴四边形MNCH是平行四边形，
∴NC＝MH，
∵动点P的运动路径＝FM+MN+NC＝GM+2+MH，
∴当点G，点M，点H三点共线时，动点P的运动路径最小，
∴动点P的运动路径最短距离＝2+＝2+，
设直线GH解析式为：y＝mx+n，
∴，
解得，
∴直线GH解析式为：y＝﹣x+，
当x＝2时，y＝，
∴点N(0，).
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，函数极值的确定方法，两点距离公式等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．
23、（1）；（2）（-6，49）；（3）答案见解析.
【分析】（1）由对称轴为，即可求出b的值，然后代入即可；
（2）把代入解析式，求出m，利用抛物线的对称轴性质，即可得到点坐标；
（3）选取对称轴左右两边的几个整数，计算出函数值，然后画出抛物线即可.
【详解】解：（1）∵对称轴为，
∴．
∴；
∴抛物线的表达式为．
（2）∵点A（8，m）在该抛物线的图像上，
∴当x=8时，．
∴点A（8，49）．
∴ 点A（8，49）关于对称轴对称的点A'的坐标为（-6，49）．
（3）列表，如下：
抛物线图像如下图：
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和图像，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和图像的画法.
24、（1）AC=AE；（2）图见解析，证明见解析
【解析】（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO．证△APO≌△AQO，由BC=DE，得CP=EQ后得证；
（2）同AC=AE得∠ECM=∠CEN，由CE=EF得∠FCE=∠FEC=∠MCE=∠CEN得证．
【详解】证明：(1)作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，连接AO，BO，DO.
∵，
∴BC=DE，
∴BP=DQ，
又∵OB=OD，
∴△OBP≌△ODQ，
∴OP=OQ.
∴BP=DQ=CP=EQ.
直角三角形APO和AQO中，
AO=AO，OP=OQ，
∴△APO≌△AQO.
∴AP=AQ.
∵CP=EQ，
∴AC=AE.
（2）作图如图所示
证明：∵AC=AE，∴，
∴， 由于AF是CE的垂直平分线，且CF平分，
∴CF=EF.
∴
因此EF平分
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系, 全等三角形的判定与性质, 线段垂直平分线的性质, 等腰三角形的性质，综合性比较强，熟练掌握性质定理是解题的关键.
25、米
【分析】根据平行投影性质可得：；.
【详解】解：延长交于点，延长交于．
可求，．
由，可得．
∴．
由，可得．
所以，大树的高度为4．45米．
【点睛】
考核知识点：平行投影.弄清平行投影的特点是关键.
26、（1）是，理由见解析；（2）；（1）或，且
【分析】（1）根据友好函数的定义，求出函数与x轴交点的横坐标以及与y轴交点的纵坐标，即可进行判断；
（2）先求出函数与y轴交点的纵坐标为c，再根据定义，可得当x=c时，y=0，据此可得出结果；
（1）分一下三种情况求解：（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，进而可得出结果；（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，画出图像可得出结果；（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．
【详解】解：（1）是友好函数．理由如下：
当时，；当时，或1，
∴与轴一个交点的横坐标和与轴交点的纵坐标都是1．
故是友好函数．
（2）当时，，即与轴交点的纵坐标为．
∵是友好函数．
∴时，，即在上．
代入得：，而，∴．
（1）（ⅰ）当在轴负半轴上时，由（2）可得：，
即，显然当时，，
即与轴的一个交点为．
则，∴只需满足，即．
∴．
（ⅱ）当在轴正半轴上时，且与不重合时，
∴显然都满足为锐角．
∴，且．
（ⅲ）当与原点重合时，不符合题意．
综上所述，或，且．
【点睛】
本题主要考查二次函数的新定义问题以及二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是理解题意．
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