圆与方程知识点总结.doc

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圆梦教育中心 圆与方程知识点总结

1. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.
特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.
2. 点与圆的位置关系：
(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：
a.点在圆内 d＜r； b.点在圆上 d=r； c.点在圆外 d＞r
(2). 给定点及圆.
①在圆内
②在圆上
③在圆外
〔3〕涉及最值：
①　 圆外一点，圆上一动点，讨论的最值

②　 圆内一点，圆上一动点，讨论的最值

思考：过此点作最短的弦？〔此弦垂直〕

3. 圆的一般方程： .
(1) 当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.
(2) 当时，方程表示一个点.
(3) 当时，方程不表示任何图形.
注：方程表示圆的充要条件是：且且.

4. 直线与圆的位置关系：
直线与圆
圆心到直线的距离
1〕；
2〕；
3〕；弦长|AB|=2

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：
〔1〕当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；
〔2〕当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；
〔3〕当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；

5. 两圆的位置关系
〔1〕设两圆与圆，
圆心距
①　 ；
②　 ；
③　 ；
④　 ；
⑤　 ；

外离 外切 相交 内切
〔2〕两圆公共弦所在直线方程
圆：，
圆：，
那么为两相交圆公共弦方程.
补充说明：
①　 假设与相切，那么表示其中一条公切线方程；
②　 假设与相离，那么表示连心线的中垂线方程.

〔3〕圆系问题
过两圆：和：交点的圆系方程为〔〕
补充：
①　 上述圆系不包括；
②　 2〕当时，表示过两圆交点的直线方程〔公共弦〕
③　 过直线与圆交点的圆系方程为

6. 过一点作圆的切线的方程：
(1) 过圆外一点的切线：
①k不存在，验证是否成立
②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即

求解k，得到切线方程【一定两解】
例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线，那么切线方程为 。

(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x—a)2+(y—b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，
那么过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r2
特别地，过圆上一点的切线方程为.
例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，那么切线方程为 。

7．切点弦
(1)过⊙C：外一点作⊙C的两条切线，切点分别为，那么切点弦所在直线方程为：

8. 切线长：
假设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，那么过圆外一点P(x0,y0)的切线长为 d=．

9. 圆心的三个重要几何性质：
①　 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
②　 圆心在某一条弦的中垂线上；
③　 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。

10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法
1：x2 +y2 —2x =0和圆C2：x2 +y2 +4 y=0，试判断圆和位置关系，
假设相交，那么设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。
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