14.2-勾股定理的应用.ppt

第第14章章 勾股定理勾股定理第第2节节 勾股定理的应用勾股定理的应用1课堂讲解u圆柱体表面上两点间的最短距离圆柱体表面上两点间的最短距离 u正方体或长方体表面上两点间的最短距离正方体或长方体表面上两点间的最短距离 u勾股定理的其他应用勾股定理的其他应用2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 勾股定理能解决直角三角形的勾股定理能解决直角三角形的许许多多问题问题，因，因此在此在现现 实实生活和数学中有着广泛的生活和数学中有着广泛的应应用用.知知1 1讲讲1知识点圆柱体表面上两点间的最短距离圆柱体表面上两点间的最短距离(1)在平面上在平面上寻寻找两点之找两点之间间的最短路的最短路线线的依据：的依据：两点之两点之间间线线段段 最最短；短；直直线线外一点到直外一点到直线线上所有点的上所有点的连线连线中，垂中，垂线线段最短段最短(2)在立体在立体图图形中，由于受到物体和空形中，由于受到物体和空间间的阻隔，两点的阻隔，两点间间的最的最短短 路路线线长长不一定是两点不一定是两点间间的的线线段段长长(3)确定立体确定立体图图形上的最短路形上的最短路线线，需要先将立体，需要先将立体图图形展开成形展开成平面平面 图图形形，再构造直角三角形，再构造直角三角形进进行行计计算，最后通算，最后通过过比比较较得出最得出最短短 路路线线 如如图图14.2.1，一，一圆圆柱体的底面周柱体的底面周长为长为20 cm,高高AB为为4 cm,BC是上底面的直径是上底面的直径.一只一只蚂蚁蚂蚁从点从点A出出发发，沿着，沿着圆圆柱的柱的侧侧面爬行到面爬行到点点C，试试求出爬行的最短求出爬行的最短 路程路程.（精确到（精确到0.01 cm)知知1 1讲讲 例例1（来自（来自教材教材）图图14.2.1知知1 1讲讲 蚂蚁实际蚂蚁实际上是在上是在圆圆柱的半个柱的半个侧侧面内爬行，如面内爬行，如 果将果将这这半个半个侧侧面展开（如面展开（如图图14.2.2)，得到，得到长长方形方形ABCD，根据根据“两点之两点之间间，线线段最短段最短”，所求的最短路程就是所求的最短路程就是这这一一 展开展开图图长长方形方形ABCD的的对对角角线线AC之之长长.分析分析：图图14.2.2（来自（来自教材教材）知知1 1讲讲 如如图图14.2.2,在在RtABC中，中，BC=底面周底面周长长 的一的一半半=10 cm.由勾股定理，可得由勾股定理，可得AC=10.77(cm).答：爬行的最短路程答：爬行的最短路程约为约为10.77 cm.解解：（来自（来自教材教材）如如图图，有一个，有一个圆圆柱形玻璃杯，高柱形玻璃杯，高为为12 cm，底，底面周面周长为长为18 cm，在杯内离杯底，在杯内离杯底4 cm的点的点C处处有一滴蜂蜜，此有一滴蜂蜜，此时时一只一只蚂蚁蚂蚁正好在杯外壁，离正好在杯外壁，离杯上沿杯上沿4 cm与蜂蜜相与蜂蜜相对对的点的点A处处，则蚂蚁则蚂蚁爬到爬到蜂蜜蜂蜜处处的最短路的最短路线长为线长为_cm(杯子厚度杯子厚度忽略不忽略不计计)知知1 1讲讲 例例2（来自（来自点拨点拨）将将圆圆柱柱侧侧面适当展开成平面面适当展开成平面图图形，形，再再结结合合轴对轴对称的知称的知识识求解求解导导引引：15知知1 1练练 如如图图，在，在圆圆柱的柱的轴轴截面截面ABCD中，中，AB ，BC12，动动点点P从从A点出点出发发，沿着，沿着圆圆柱的柱的侧侧面移面移动动到到BC的中点的中点S的最短路程的最短路程为为()A10 B12 C20 D141（来自（来自典中点典中点）知知1 1练练 如如图图，有一，有一圆圆柱，其高柱，其高为为8 cm，它的底面周，它的底面周长为长为16 cm，在，在圆圆柱外柱外侧侧距离下底面距离下底面1 cm的的A处处有一有一蚂蚂蚁蚁，它想得到距上底面，它想得到距上底面1 cm的的B处处的食物，的食物，则蚂则蚂蚁经过蚁经过的最短路程的最短路程为为_2（来自（来自典中点典中点）知知2 2讲讲2知识点正方体或长方体表面上两点间的最短距离正方体或长方体表面上两点间的最短距离求求长长方体方体(或正方体或正方体)表面上两点表面上两点间间的最短路的最短路线长线长的的方法：方法：先将先将长长方体方体(或正方体或正方体)的表面展开成平面的表面展开成平面图图形，形，展开展开时时一般要考一般要考虑虑各种可能的情况在各种可能的各种可能的情况在各种可能的情况中，分情况中，分别别确定两点的位置并确定两点的位置并连结连结成成线线段，再利段，再利用勾股定理分用勾股定理分别别求其求其长长度，最后度，最后进进行比行比较较，长长度最度最短的路短的路线为线为最短路最短路线线知知2 2讲讲 探究探究题题如如图图，长长方体的高方体的高为为3厘米，底厘米，底面是正方形，其面是正方形，其边长为边长为2厘米厘米现现有一只有一只蚂蚂蚁蚁从从A处处出出发发，沿，沿长长方体表面到达方体表面到达C处处，则则蚂蚁蚂蚁爬行的最短路爬行的最短路线线的的长为长为()A4厘米厘米B5厘米厘米C6厘米厘米D7厘米厘米（来自（来自点拨点拨）例例3 B考考虑虑将将长长方体表面展开成平面方体表面展开成平面图图形的各种形的各种情况，分析后可知，将情况，分析后可知，将该长该长方体的右方体的右侧侧面面翻折至前翻折至前侧侧面，如面，如图图，连结连结AC，此，此时线时线段段AC的的长长度即度即为为最短路最短路线线的的长长度因度因为为AC2(22)23225，所以，所以AC5(厘米厘米)知知2 2讲讲 （来自（来自点拨点拨）导导引引：总 结 解决解决有关立体有关立体图图形中路形中路线线最短的最短的问题问题，其关，其关键键是是把把立体立体图图形中的路形中的路线问题转线问题转化化为为平面上的路平面上的路线问题线问题如如圆圆柱柱侧侧面展开面展开图为长图为长方形，方形，圆锥侧圆锥侧面展开面展开图为图为扇形扇形，长长方体方体侧侧面展开面展开图为长图为长方形等运用平面上两点方形等运用平面上两点间间线线段段最短的道理，利用勾股定理求解最短的道理，利用勾股定理求解知知2 2讲讲 知知2 2练练 如如图图，正方体的棱，正方体的棱长为长为1，一只，一只蚂蚁蚂蚁从正方体的一从正方体的一个个顶顶点点A爬行到另一个爬行到另一个顶顶点点B，则蚂蚁则蚂蚁爬行的最短爬行的最短路程的平方是路程的平方是()A2 B3 C4 D51（来自（来自典中点典中点）知知2 2练练 （来自（来自典中点典中点）如如图图(单单位：位：m)，一个三，一个三级级台台阶阶，它的每一，它的每一级级的的长长、宽宽和高分和高分别为别为20 m，3 m，2 m，A和和B是是这这个台个台阶阶两两个相个相对对的端点，的端点，A点有一只点有一只蚂蚁蚂蚁，想到，想到B点去吃可口点去吃可口的食物，的食物，则蚂蚁则蚂蚁沿着台沿着台阶阶面爬到面爬到B点的最短路程是点的最短路程是_2知知3 3讲讲3知识点勾股定理的其他应用勾股定理的其他应用1.在一些求高度、在一些求高度、宽宽度、度、长长度、距离等量的度、距离等量的问题问题中，中，首先要首先要结结合合题题意画出符合要求的直角三角形，也就意画出符合要求的直角三角形，也就 是把是把实际问题转实际问题转化化为为数学数学问题问题，进进而把要求的量看而把要求的量看 成直角三角形的一条成直角三角形的一条边边，然后利用勾股定理，然后利用勾股定理进进行求行求 解解2在日常生活中，判断一个角是否在日常生活中，判断一个角是否为为直角直角时时，除了，除了 用三角板、量角器等用三角板、量角器等测测量角度的工具外，量角度的工具外，还还可以可以 通通过测过测量量长长度，度，结结合勾股定理的逆定理来判断合勾股定理的逆定理来判断一一辆辆装装满货满货物的卡物的卡车车，其外形高，其外形高2.5米，米，宽宽 1.6米，要开米，要开进进厂厂门门形状如形状如图图14.2.3所示的所示的某工厂，某工厂，问这辆问这辆 卡卡车车能否通能否通过该过该工厂的厂工厂的厂门门(厂厂门门上方上方为为半半圆圆形拱形拱门门)？知知3 3讲讲 例例4（来自（来自教材教材）由于由于车宽车宽1.6米，所以卡米，所以卡车车能否通能否通过过，只要，只要 比比较较距厂距厂门门中中线线0.8米米处处的高度与的高度与车车高即高即可可.如如图图 14.2.3所示，点所示，点D在离厂在离厂门门中中线线0.8米米处处，且，且CDAB，与地面相交于点与地面相交于点H.分析分析：知知3 3讲讲 （来自（来自教材教材）在在RtOCD中，由勾股定理，可得中，由勾股定理，可得CD=0.6，CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9 2.5.可可见见高度上有高度上有0.4米的余量，因此卡米的余量，因此卡车车能通能通过过厂厂门门.解解：知知3 3讲讲 如如图图14.2.4,以以RtABC的三的三边为边边为边分分别别向外作正方向外作正方形形.在以在以BC为边为边所作的正方形中，点所作的正方形中，点O是正方形是正方形 对对角角线线的的交点，交点，过过点点O作作AB的平行的平行线线，交正方形于，交正方形于 M、N两点，两点，过过点点O作作M N的垂的垂线线，交正方形于，交正方形于E、F两两 点，点，这样这样把正把正方形划分成四个形状与大小都一方形划分成四个形状与大小都一样样的的四四 边边形形.试试将将图图中中5个着色的个着色的图图形拼入形拼入到上方空白的大正方形中，填到上方空白的大正方形中，填满满整个整个大正方形大正方形.如如图图14.2.5,在在3 3的方格的方格图图中，每个小中，每个小 方格方格的的边长边长都都为为1，请请在在给给定网格中按下列要求定网格中按下列要求画出画出 图图形：形：(1)画出所有从点画出所有从点A出出发发，另一个端点在格点，另一个端点在格点 （即（即 小正方形的小正方形的顶顶点）上，且点）上，且长长度度为为 的的线线段；段；(2)画出所有以画出所有以题题（1)中所中所 画画线线段段为为腰的等腰三腰的等腰三 角形角形.知知3 3讲讲 例例5（来自（来自教材教材）只需利用勾股定理看哪一条以格点只需利用勾股定理看哪一条以格点为为端点端点 的的线线段段满满足要求足要求.(1)图图14.2.6中，中，AB、AC、AE、AD的的长长度度 均均为为(2)图图 14.2.6 中，中，ABC、ABE、ABD、ACE、ACD、AED就是所要画的等就是所要画的等 腰三角形腰三角形.知知3 3讲讲 （来自（来自教材教材）分析分析：解解：如如图图 14.2.7，已知，已知 CD=6 m，AD=8 m，ADC=90，BC=24 m,AB=26 m.求求图图中中着色部分着色部分 的面的面积积.知知3 3讲讲 例例6（来自（来自教材教材）在在 Rt ADC中，中，AC2=AD2+CD2(勾股定理）勾股定理）=82+62=100,AC=10.AC2+BC2=102+242=676=262=AB2,ACB为为直角三角形（勾股定理的逆定理），直角三角形（勾股定理的逆定理），S阴影部分阴影部分=SACB S ACD =10 24 6 8 =96(m2).知知3 3讲讲 解解：（来自（来自教材教材）如如图图所示，在正方形所示，在正方形ABCD中，点中，点E为为AD的的中点，点中点，点F在在DC上，且上，且DF DC，连结连结BE，EF，BF，试试判断判断BE与与EF的位置关系，的位置关系，并并说说明理由明理由知知3 3讲讲 例例7（来自（来自点拨点拨）由由图图可知可知线线段段BE与与EF都在都在BEF中，故可猜中，故可猜想想BE与与EF的位置关系是的位置关系是BEEF.于是可以于是可以说说明明BE2EF2FB2，从而判定，从而判定BEF为为直角三直角三角形，角形，进进而得到而得到BEEF.知知3 3讲讲 导导引引：（来自（来自点拨点拨）BE与与EF的位置关系是的位置关系是BEEF，理由如下：，理由如下：设设正方形的正方形的边长为边长为4k(k0)，则则AEED2k，DFk，CF3k.在在RtABE中，中，BE2AB2AE2(4k)2(2k)220k2.在在RtDEF中，中，EF2ED2DF2(2k)2k25k2.在在RtCFB中，中，FB2CF2CB2(3k)2(4k)225k2.在在BEF中，中，BE2EF220k25k225k2，所以所以BE2EF2FB2，所以所以BEF为为直角三角形，且直角三角形，且BEF是直角，即是直角，即BEEF.知知3 3讲讲 解解：（来自（来自点拨点拨）总 结 运用运用勾股定理的逆定理，根据三角形三勾股定理的逆定理，根据三角形三边边的的数量数量关系关系，判定两条，判定两条线线段所在的三角形段所在的三角形为为直角三角形，直角三角形，进进而而说说明两条明两条线线段互相垂直本段互相垂直本题综题综合运用了合运用了参数法参数法和和数数形形结结合思想合思想解解题题知知3 3讲讲 知知3 3练练 （来自（来自典中点典中点）1(中考中考厦厦门门)已知已知A，B，C三地位置如三地位置如图图所示，所示，C90，A，C两地的距离是两地的距离是4 km，B，C两两地的距离是地的距离是3 km，则则A，B两地的距离是两地的距离是_km；若；若A地在地在C地的正地的正东东方向，方向，则则B地在地在C地的地的_方向方向知知3 3练练 （来自（来自典中点典中点）2如如图图，在，在长长方形方形ABCD中，点中，点E在在边边AB上，将上，将长长方方形形ABCD沿直沿直线线DE折叠，点折叠，点A恰好落在恰好落在BC边边上的上的点点F处处，若，若AE5，BF3，则则CD的的长长是是()A7 B8 C9 D10 应用勾股定理解决实际问题的一般思路：将实际应用勾股定理解决实际问题的一般思路：将实际问题转化为数学模型，然后利用勾股定理列出方程，问题转化为数学模型，然后利用勾股定理列出方程，再解方程求解由于勾股定理反映了直角三角形三边再解方程求解由于勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，因此往往与方程进行联系即应用时要之间的关系，因此往往与方程进行联系即应用时要注意两点：注意两点：(1)在解决实际问题时，注意从在解决实际问题时，注意从“形形”到到“数数”的转化；的转化；(2)在解决实际问题时，注意构造直角在解决实际问题时，注意构造直角三角形模型，结合方程进行求解三角形模型，结合方程进行求解1.必做：完成教材必做：完成教材P121-122 T1-2；P123 T1-2.2.补补充：充：请请完成完成典中点典中点剩余部分剩余部分习题习题.