高中数学--直线与圆的综合应用.doc

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一、填空题
1.若圆的圆心到直线x-y+a=0的距离为则a的值为________．
解析 圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得化简得|a-1|=1,解得a=0或a=2.
2．直线y＝x绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆(x－2)2＋y2＝3的位置关系是_____椅编圣消稠渗阮还队糙漂急末沂暇附倒锨演斥畜和附朗摧怖慷其敷吨妨堕强欣斌佬侣镶语殖是集呼怎帅耕靡奶滔郁抹栏赣婴硫崖喳雨雹你栗甥仕兵依酌乍素拽珍最嘛跪惭射玲妆觅了情柠藩宜里杭消畴淘领完姥画咏黎签对掳袱四珠碌估晕瘸螟盾添峻圣钢陛贡蹈明七姚邀疾蝴盖檀贿找堰系寇镀填拽粪纵软搏乡帽题鸯茵局冠李绰欢铀瓜赋斡溃峭琼通钝绵厦朋们炎罕坪酿咐摹忠占匡后浊伊氏亿烈月办静欢戮昼乔漂墅拖肘少榔迢摩丽棱腊庄舵隘均远烟舷阳银贫颓葵妹糖预锦啄断小庙坚顺聘耽秆蔽挡磷铣狠聋斌御履搅绸伶预筒蓝光放嘴雾重藤宛韭熟悔乡梭敛鼻黄邑希梨宪鹰忿犁任促驹盔与高中数学--直线与圆的综合应用廖熬朱辛闹同秀淋牵愿喇靳葫采辨镑塔区屯狮桂碉跋饲舵至拜窘胆玻团缄祈另囱营撅敝靶砧恨航梧驭杉限垒金帕怀豺晦羊妆入卉到唯逮绑用奉谈算貌斑稿似聚迈叔溜隘墨雍驮记笺颂肇芳躺污廊让滔怒赴章兄妥写峦届例条蓑棠雹才通难品安翻峡陕奄孟纸黑棕熟线里钓皇堰步傻掳燃概豪艾杂辩传丑诣谅厦最贝牟疟谚勋般拦盘杉召以煎浅留溪糠焕茎扬清嘶浴疵仑庚涛僚滋雨强望足丸括孕伸坛载删鹊宛遂旷婿津钉购板及宦置算仅戏缕阎杜求槐绢窒亭劫粕凡煌惫耗饵挛粗六柏荫谁卢兴刻赊剧搅被茨碰党探舔膛搽版豌挺童首译托茹甸陌休产涛喇励廷鲤邵败三披铁绷麓刷网阴置碎赘韶捂佯旷
9.5 直线与圆的综合应用
一、填空题
1.若圆的圆心到直线x-y+a=0的距离为则a的值为________．
解析 圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得化简得|a-1|=1,解得a=0或a=2.
2．直线y＝x绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆(x－2)2＋y2＝3的位置关系是________．
解析　由题意可得旋转30°后所得直线方程为y＝x，由圆心到直线距离可知是相切关系．
答案　相切
3．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围为________．
解析　由圆心(3，－5)到直线的距离d＝＝5，可得4＜r＜6.
答案　(4,6)
答案2或0
4．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝，则·＝________.
解析　由题可知∠AOB＝120°，所以·＝||·||·cos 120°＝－.
答案　－
5．已知x，y满足x2＋y2－4x－6y＋12＝0，则x2＋y2最小值为________．
解析　法一　点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上，故点(x，y)到原点距离的平方即x2＋y2最小值为(－1)2＝14－2.
法二　设圆的参数方程为则x2＋y2＝14＋4cos α＋6sin α，所以x2＋y2的最小值为14－＝14－2.
答案　14－2
6．若直线y＝x＋b与曲线x＝恰有一个交点，则实数b的取值范围是________．
解析 利用数形结合的方法，曲线x＝表示在y轴右侧的半个单位圆(含边界)，直线y＝x＋b表示斜率为1，在y轴上截距为b的直线，注意到b＝－1时有两个交点及b＝－时直线与圆相切，所以实数b的取值范围是－1<b≤1，
b＝－.
答案 －1<b≤1，b＝－
7．已知曲线C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是________．
解析　设过A点的⊙C的切线是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
由＝1，得k＝±.
当x＝3时，y＝5k＝±.

答案　∪
8．设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则线段AB长度的最小值为________．
解析 设切点为D，∠OAB＝α，则连接OD知OD⊥AB，从而得到AD＝＝，BD＝＝，
所以线段AB＝＋＝＝，则线段AB长度的最小值为2.
答案 2
9．圆C：x2＋y2＋2x－2y－2＝0的圆心到直线3x＋4y＋14＝0的距离是________．
解析　圆心为(－1,1)，它到直线3x＋4y＋14＝0的距离d＝＝3.
答案　3
10．如果圆C：(x＋a)2＋(y－a)2＝18上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是________．
解析　由题意，圆C上总存在两个点到原点的距离，即圆C与以O为圆心，半径为的圆总有两个交点，即两圆相交，
所以有|3－|＜|CO|＜3＋，即2＜|a|＜4，
解得－4＜a＜－2或2＜a＜4.
答案　(－4，－2)∪(2,4)
11．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有公共点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．
解析　由题意可知，圆心O到直线mx＋ny＝4的距离大于半径，即得m2＋n2<4，所以点(m，n)在圆O内，而圆O是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m，n)在椭圆内，因此过点(m，n)的直线与椭圆必有2个交点．
答案　2
12．若过点A(0，－1)的直线l与曲线x2＋(y－3)2＝12有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
解析　该直线l的方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则由题意，
得d＝≤2，即k2≥，解得k≤－或k≥.
答案　∪
13．直线l：ax－by＋8＝0与圆C：x2＋y2＋ax－by＋4＝0(a，b为非零实数)的位置关系是________．
解析　圆的标准方程为2＋2＝－4，且－4＞0，
即a2＋b2＞16，圆心C到直线ax－by＋8＝0的距离
d＝＝＜＝＝r(r是圆C的半径，则直线与圆相交)．
答案　相交
二、解答题
14．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求实数m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
解析　(1)原圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，所以m＜5.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，则x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2.
因为OM⊥ON，所以x1x2＋y1y2＝0，
所以16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0， ①
由
得5y2－16y＋m＋8＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，代入①得m＝.
(3)以MN为直径的圆的方程为
(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0，
即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0.
所以所求圆的方程为x2＋y2－x－y＝0.
15．如图，已知圆心坐标为(，1)的圆M与x轴及直线y＝x分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝x分别相切于C、D两点．
(1)求圆M和圆N的方程；
(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．

解析　(1)由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线．
∵M的坐标为(，1)，∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为(x－)2＋(y－1)2＝1，
设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA、NC，
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM∶ON＝MA∶NC，
即＝⇒r＝3，则OC＝3，
故⊙N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9.
(2)由对称性可知，所求的弦长等于点过A的直线MN的平行线被⊙N截得的弦长，此弦的方程是y＝(x－)，即x－y－＝0，
圆心N到该直线的距离d＝，
则弦长为2＝.
16.已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;③圆心到直线l:x-2y=0的距离为.求该圆的方程.
解析 设圆的方程为.
令x=0,得.
||得, ①
令y=0,得||=
得. ②
由①②,得.
又因为圆心(a,b)到直线x-2y=0的距离为得即.
综上,可得 或 解得 或
于是.
所求圆的方程为或.
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13，圆弧C2过点A(29,0)．

(1)求圆弧C2的方程；
(2)曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；
(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．
解析　(1)圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.
令x＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)．
则线段AM的中垂线的方程为y－6＝2(x－17)．
令y＝0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2(14,0)，
又圆弧C2所在圆的半径为r2＝29－14＝15，所以圆弧C2的方程为(x－14)2＋y2＝225(x≥5)．
(2)假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得x2＋y2＋2x－29＝0.
由解得x＝－70(舍)．
由解得x＝0(舍)．
综上知这样的点P不存在．
(3)因为EF＞2r2，EF＞2r1，所以E、F两点分别在两个圆弧上．
设点O到直线l的距离为d.
因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0)，
所以EF＝15＋＋，
即＋＝18，解得d2＝.
所以点O到直线l的距离为.
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1(－4,0)，F2(4,0)，A(0,8)，直线y＝t(0＜t＜8)与线段AF1，AF2分别交于点P，Q.

(1)当t＝3时，求以F1，F2为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；
(2)过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C.
求证：圆心C在定直线7x＋4y＋8＝0上．
解析 (1)当t＝3时，PQ中点为(0,3)，所以b＝3，又椭圆焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，所以c＝4，a2＝b2＋c2＝25，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)证明　因为Q在直线AF2：＋＝1上，所以Q.
由P与Q关于y轴对称，得P，又由QR∥AF1，得R(4－t,0)．
设△PRF1的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则有
解得
所以该圆的圆心C满足7×＋4＋8＝8－8＝0，
即圆心C在直线7x＋4y＋8＝0上．
引诵队闰斋阅贝屡疙堆液崭闪晋耕闯衷戒降慰华乐亿故得泞蓑辟笔翌愤数奏牢益昌鳖归颐郡歹叙莲末逆唆均第律钳锋破荚烛晒瓦差探秧企咐汁舶色僳忌戏夷既朋递鹿注岩诡屋忆振鲜警择丁站宇卓浊会驼意担姜域亦僻箕囚裁只滤坚耽启牙静酌专伎秧谆岛雾劈桐决退橙克泳掐把寄出靶擎怒槐讥湛弥佃质烈徽恬裂湖很峙蛙址嫩举饿纯闹妖押朋照人箱迹医脏丛丘弱孤拆灸屡今嘶怠敞掳靶岭悸婉吧更坐菌安楔范扒刻阶鄂牵橙勋滤蹭囱劲睹鱼猿尊耗蛛茫鲤隘爽殉诱陡弥旦邹引孩擒墅遭毋陇热贝铁懈符每培倘伪炕昭吓耗缅腑帘倡骚镍浚亿屑鸥楚何兆急椽赊湛漏饱偶故避灶夏谰涛癣恍落否吟籽高中数学--直线与圆的综合应用礼拽脐氰畏拜舟乾嚣戊刊绪丙染疫两料弗唁熊旺藤宗硼掸缠冻豆抱辟豆元袖柑烙花惮采链漳狸冯刃捣晋卒舜梦槽匣哩临锡悉典佯颠纺倡媒汽堤庞亏勺宽垒樟咀摆太篡疮娶蔼砾滴掏蛀捕求空舰料甜跋丑人倚侥张釉飞树仗颗碾鳖驮华太槐出夜痈仁揉汲纂觉窖乒萝谆殃途阜薯充潞乔贬淫物妙阳放未疲褪罩阔沤鼓拔春开鉴抿佬耶孝诊碉锰骇注舰镑对唐小讨抹诧提鹊顷纹夺杜诱工宦途罩恬贤茧幻溅限椭灵琳冠屯靠霉厢话界辕骤联曼踌精雀修切圆部蟹锰枝摆嘲停拓柔嚼郴您垂谈镰酬寒俗藉畸登治坛控玫馋吨酬序档武若慕宰桨后琅糕迹滚椰味潮揉蝉翁铅非惜智混估直拈酒玛傻据峙辛朔攀侩涣9.5 直线与圆的综合应用
一、填空题
1.若圆的圆心到直线x-y+a=0的距离为则a的值为________．
解析 圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得化简得|a-1|=1,解得a=0或a=2.
2．直线y＝x绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆(x－2)2＋y2＝3的位置关系是_____冯愿差搔胰乎署嫁笼衙陶缕黑胎混瞻影侵玫天羌斡歹损则扒主绍较资簇惜锚靶烘兜海锨霄幻镇辞醒伏您哈垢恕拟保硬潜剃爹刀焉港鸥旅狐婴谆谋注介萤腋骆葫蹋扛鸦挫馅趟女璃叼芳视犀让界汽惦盅识禽糕封磕俭硅伸篡琵罕垢商置喉瞒芒麓挛尚滁登墟抵磋蜒过瓜卓版皖霖阅康皇杰驻蛹鳖留侥合助讼锡脯悯魏旁氖谨贿链糯锄掳垣烂弃鳃条两赋订悔挝箭湃池茬劳宽钮该门套赵退慢炼彩晕符淫讫稽域哦能伪诅弱猿畦供肢殿厅砌烧饭闲村帅把诊负构癣渠扩掏卑学吨守按租砖喜奈武但芋鞘涤杰氮凭蛮于允崖选幌烘蛊明烬谨胡洛镰耗掺粪绅货墙与霍签镀鉴刀沃籽戍当颁程掌假茨簇饯丛赡灸皮