高中数学直线与圆的方程知识点总结.doc

高中数学之直线与圆的方程
一、概念理解：
1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向；
②平行：α=0°；
③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tanα （α≠90°）；
②垂直：斜率k不存在；
③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、 斜率与坐标：
①构造直角三角形（数形结合）；
②斜率k值于两点先后顺序无关；
③注意下标的位置对应。
4、 直线与直线的位置关系：
①相交：斜率（前提是斜率都存在）
特例----垂直时：<1> ；
<2> 斜率都存在时： 。
②平行：<1> 斜率都存在时：；
<2> 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：；
二、方程与公式：
1、直线的五个方程：
①点斜式： 将已知点直接带入即可；
②斜截式： 将已知截距直接带入即可；
③两点式： 将已知两点直接带入即可；
④截距式： 将已知截距坐标直接带入即可；
⑤一般式： ，其中A、B不同时为0
用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可
3、距离公式：
①两点间距离：
②点到直线距离：
③平行直线间距离：
4、中点、三分点坐标公式：已知两点
①AB中点：
②AB三分点： 靠近A的三分点坐标
靠近B的三分点坐标
中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。
5.直线的对称性问题
已知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x0，y0）,对称后的点坐标为P’（x，y），则pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp’的中点坐标在已知直线上。
三、 解题指导与易错辨析：
1、解析法（坐标法）：
①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；
②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果；
y
x
o
③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。
2、 动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：
①的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：
②的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；
③的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
3、 直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3
令：x+2=0 => 必过点(-2,3)
②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0
令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7)
4、 易错辨析：
① 讨论斜率的存在性：
解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意；
<2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。
② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；
（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）
③ 直线到两定点距离相等，有两种情况：
<1> 直线与两定点所在直线平行；
<2> 直线过两定点的中点。
圆的方程
1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.
2. 圆的方程表示方法：
第一种：圆的一般方程—— 其中圆心，半径.
当时，方程表示一个圆，
当时，方程表示一个点.
当时，方程无图形.
第二种：圆的标准方程——.其中点为圆心，为半径的圆
第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：（为参数）
注：圆的直径方程：已知
3. 点和圆的位置关系：给定点及圆.
①在圆内
②在圆上
③在圆外
4. 直线和圆的位置关系：
设圆圆：； 直线：；
圆心到直线的距离.
①时，与相切；
②时，与相交；，
③时，与相离.
5、 圆的切线方程：
①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)
②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X轴的直线。）
6.圆系方程：
过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0则过两圆的交点圆方程可设为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0
过两圆的交点的直线方程：x2+y2+D1x+E1y+F1- x2+y2+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）
7.与圆有关的计算：
弦长的计算：AB=2*√R2-d2 其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离
AB=（√1+k2）*∣X1-X2∣ 其中k是直线的斜率，X1与X2是直线与圆的方程联
立之后得到的两个根
过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线
圆内的最长弦是直径
8.圆的一些最值问题
①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径
②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径
③假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。
④假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y，在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。
9.圆的对称问题
①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆
的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。
②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆
心坐标