过程分步探究,解法深入思考——以一道二次函数综合题为例.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 9 月（中旬）作者简介院王莹（1996），本科学历，中小学二级教师，从事初中数学教学工作.试题呈现试题 如图1所示，已知二次函数y=mx2+（m2-m）x-2m+1的图象与平面直角坐标系的x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1.图1xyOAQBCD（1）求二次函数的解析式以及点A，B的坐标；（2）若P（0，t）（t-1）是y轴上一点，已知Q（-5，0），将点Q绕着点P顺时针旋转90毅后得点E，若点E恰好落在该二次函数的图象上，试求t的值；（3）在（2）的条件下连接AD，AE，若M是该二次函数图象上一点，且蚁DAE=蚁MCB，试求点M的坐标.解析突破上述为二次函数综合题，涉及抛物线与直线相交、点旋转、等角等内容，三小问由易到难，关联性较强.解决时建议立足条件解析问题，结合图象逐步突破.1.探求解析式对于第（1）问，D为二次函数图象的顶点，故点D在抛物线的对称轴上.故原m2原m2m=1，解得m=原1（舍去m=0），所以二次函数的解析式为y=-x2+2x+3.点A，B为抛物线与x轴的交点，令二次函数y=0，可解得x1=-1，x2=3，所以A（-1，0），B（3，0）.2.模型定坐标第（2）问探究点的坐标，旋转后所得的点在二次函数的图象上，核心条件有三个，需要分别进行解读.条件淤：由点P（0，t）（t 试题研究83投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 9 月（中旬）QR=-t，EF=PR=5，进一步分析可知点E的坐标为（-t，t+5）.第三步，将点坐标代入解析式求t值.已知点E在二次函数的图象上，将点E的坐标（-t，t+5）代入函数解析式y=-x2+2x+3中，可解得t=-1（舍去）或t=-2，所以t的值为-2.图3xyOABCDPE（-t，t+5）Q（-5，0）RF-t5-t（0，t）53.定量探等角第（3）问是等角存在性问题，建立在第（2）问条件的基础上，探究二次函数图象上的点M，使得蚁DAE=蚁MCB.问题解析可以采用“把握不变量”与“确定性思想”的策略，即对于成立条件蚁DAE=蚁MCB，蚁DAE的三个顶点A，D，E的坐标是确定的，故为定角，则蚁MCB的大小一定，同时该角中与之相关的点B和点C也是定点，故点M的坐标可确定，可求出.基于上述分析，解析突破可分如下几步.第一步，三角形特性分析.按照题意连接AD和AE，依托吟DAE的各顶点作“水平竖直辅助线”，可得Rt吟DGE和Rt吟EHA，如图4所示.由点坐标可知AH=EH，故吟AHE为等腰直角三角形.由条件可证Rt吟DGE易Rt吟EHA，可推得蚁DEG=蚁AEH=45毅，故蚁DEA=90毅，即吟DEA为直角三角形.并且可求得tan蚁DAE=13，从而可知tan蚁DAE=tan蚁MCB=13.第二步，建模推坐标.点M在二次函数的图象上，显然有两种情形：一是点M在点B的下端（M1），二是点M在点B的上端（M2）.当点M在点B的下端（M1）时，由题意可知tan蚁M1CB=13，过点B作BC的垂线，交M1C于点N，再依托Rt吟NCB构造“K”形相似模型，如图5所示.易证Rt吟BCG易Rt吟NBH，且可得两三角形的相似比为3 颐 1.由点坐标可得CG=3，BG=3，于是可得BH=1，NH=1.又知OB=3，可推知点N的坐标为（2，-1）.由点C和点N的坐标可确定直线CM1的解析式，再与抛物线的解析式联立即可确定M1（4，-5）.图5xyOAGCHB13（2，-1）NM131当点M在点B的上端（M2）时，由题意可知tan蚁M2CB=13，过点B作BC的垂线，交M2C于点N，同样依托Rt吟NCB构造“K”形相似模型，如图6所示.同理可证Rt吟BCO易Rt吟NBG，可得两三角形的相似比为3 颐 1.由点坐标可得OB=3，OC=3，可得BG=1，NG=1，可推知点N的坐标为（4，1）.由点C和点N的坐标可确定直线CM2的解析式，再与抛物线的解析式联立即可确定M252，74蓸蔀.综上可知，满足条件的点M有两个，坐标分别为（4，-5），52，74蓸蔀.解后思考上述对一道二次函数综合题进行了解法探究，试题的后两问为核心之问.上述在解析时充分利用了“K”形模型，其中第（2）问依托旋转的点、线构造了“K”形全等模型，由全等三角形的性质推导线段长；而第（3）问则依托直角三角形构造了“K”形相似模型，利用相似比推导线段长.整个解题过程，利用“K”形模型实现了线段的“化斜为直”，巧妙地利用模型特性推导线段长.“K”形模型是几何中重要的模型之一，模型特性可广泛应用于解题.从模型特征来看，两直角三角形共定角，且一边共线，形成了一个90毅的夹角，由条件可证得两三角形有两种特殊关系：淤全等关系（有一组对边相等）；于相似关系.实际解答时，可依托相似或全等关系推导与边、角相关的条件.而在函数问题中合理使用“K”形模型，可以避免烦琐的坐标运算，并借助模型特性实现线段“化斜为直”，直接获得线段长.实际解答时，可以按照“图形分析寅模型构建寅特性推导寅问题解答”四步进行，具体如下.第一步袁图形分析由“K”形模型的特性可知，模型构建的基础为直角，故分析图形时关注其中的90毅角或直角三角形.第二步袁模型构建依托图形中的90毅角或直角三角形构建“K”形模型，建模过程尽量采用补形的思路，依托三角形的顶点，作“水平垂直辅助线”，实现线段“化斜为直”.第三步袁特性推导该步主要利用模型的特性来证明一组三角形相似或全等，充分把握模型中的边角关系.图4xyOAGCDHEB3311图6xyOAN（4，1）CM2GB3311 试题研究84投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 9 月（中旬）试题研究85