人教中学七年级下册数学期末质量监测题(及答案).doc

人教中学七年级下册数学期末质量监测题（及答案）
一、选择题
1．下列各式中，没有平方根的是（）
A．-22 B．（-2）2 C．-（-2） D．∣-2∣
2．下列四种汽车车标，可以看做是由某个基本图案经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）

A． B． C． D．
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．两直线平行，同旁内角相等
C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．同位角相等，两直线平行
5．如图，直线，点E，F分别在直线．AB和直线CD上，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，已知，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
6．下列命题正确的是(　　)
A．若a＞b，b＜c，则a＞c B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．49的平方根是7 D．负数没有立方根
7．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点O在直线EF上，则．以上结论正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A…的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　　）

A．（﹣1，0） B．（1，﹣2） C．（1，1） D．（﹣1，﹣1）
九、填空题
9．已知＝8，则x的值是________________．
十、填空题
10．已知点A（2a+3b，﹣2）和点B（8，3a+1）关于y轴对称，那么a+b＝_____．
十一、填空题
11．如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，则图中∠1、∠2、∠A之间的关系为___________．

十二、填空题
12．如图，∠B＝∠C，∠A＝∠D，有下列结论：①ABCD；②AEDF；③AE⊥BC；④∠AMC＝∠BND．其中正确的有_____．（只填序号）

十三、填空题
13．如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若，则____________，____________．

十四、填空题
14．[x)表示小于x的最大整数，如[2.3)=2，[4)=5，则下列判断：①[)=；②[x)x有最大值是0；③[x)x有最小值是1；④x[x)x，其中正确的是__________ （填编号）．
十五、填空题
15．已知点M在y轴上，纵坐标为4，点P（6，﹣4），则△OMP的面积是__．
十六、填空题
16．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（0，3），对△AOB连续作图所示的旋转变换，依次得到三角形（1），（2），（3），（4）…，那么第（2013）个三角形的直角顶点坐标是______

十七、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
十八、解答题
18．求下列各式中x的值：
（1）
（2）
十九、解答题
19．如图，已知，，，求证：平分．

证明：， （已知）
（垂直的定义）
（ ）
（ ）
（两直线平行，同位角相等）
又（已知）
（ ）
平分（角平分线的定义）
二十、解答题
20．在平面直角坐标系中，已知O，A，B，C四点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（－3，3），C（－3，0）．
（1）在平面直角坐标系中，描出O，A，B，C四点；
（2）依次连接OA，AB，BC，CO后，得到图形的形状是___________．

二十一、解答题
21．已知：是的小数部分，是的小数部分．
（1）求的值；
（2）求的平方根．
二十二、解答题
22．如图，在3×3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位．请解决下面的问题．
（1）阴影正方形的面积是________？（可利用割补法求面积）
（2）阴影正方形的边长是________？
（3）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由．

二十三、解答题
23．已知直线AB//CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按逆时针方向以每秒12°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按逆时针方向每秒3°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间10秒时，PB'与QC'的位置关系为　 　；
（2）若射线QC先转15秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为多少秒时，PB′//QC′．

二十四、解答题
24．阅读下面材料：
小颖遇到这样一个问题：已知：如图甲，为之间一点，连接，求的度数．

她是这样做的：
过点作
则有
因为
所以①
所以
所以
即_ ；
1．小颖求得的度数为__ ；
2．上述思路中的①的理由是__ ；
3．请你参考她的思考问题的方法，解决问题：
已知：直线点在直线上，点在直线上，连接平分平分且所在的直线交于点．
（1）如图1，当点在点的左侧时，若，则的度数为 ；(用含有的式子表示)．

（2）如图2，当点在点的右侧时，设，直接写出的度数(用含有的式子表示)．

二十五、解答题
25．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如：一个三角形三个内角的度数分别是120°，40°，20°，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为__________
（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O、B重合），若∠ACB=80°．判定△AOB、△AOC是否是“梦想三角形”，为什么？
（3）如图2，点D在△ABC的边上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使得∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“梦想三角形”，求∠B的度数．

【参考答案】
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
把各数进行化简，再根据平方根的性质即可进行求解．
【详解】
解：A、-22=-4，是负数，负数没有平方根，故该选项符合题意；
B、（-2）2=4，是正数，正数有平方根，故该选项不符合题意；
C、-（-2）=2，是正数，正数有平方根，故该选项不符合题意；
D、∣-2∣=2，是正数，正数有平方根，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解本题的关键．
2．B
【分析】
根据平移变换的性质，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
A. 可以经过轴对称变换得到，不能经过平移变换得到，故本选项不符合题意；
B. 可以经过平移变换得到，故本选项符合题意；
C
解析：B
【分析】
根据平移变换的性质，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】
A. 可以经过轴对称变换得到，不能经过平移变换得到，故本选项不符合题意；
B. 可以经过平移变换得到，故本选项符合题意；
C. 可以经过轴对称变换得到，不能经过平移变换得到，故本选项不符合题意；
D. 可以经过轴对称变换得到，不能经过平移变换得到，故本选项不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查平移变换的性质，掌握平移变换的性质，是解题的关键．
3．C
【分析】
根据平面直角坐标系的象限内点的特点判断即可；
【详解】
∵盖住的点在第三象限，
∴符合条件；
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系象限内点的特征，准确分析判断是解题的关键．
4．B
【分析】
真命题就是正确的命题，条件和结果相矛盾的命题是假命题．
【详解】
解：A. 对顶角相等是真命题，故A不符合题意；
B. 两直线平行，同旁内角互补，故B是假命题，符合题意；
C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，故C不符合题意；
D. 同位角相等，两直线平行，是真命题，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查真假命题，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．D
【分析】
过点P作PQ∥AB，过点H作HG∥AB，根据平行线的性质得到∠EPF=∠BEP+∠DFP=78°，结合角平分线的定义得到∠AEH+∠CFH，同理可得∠EHF=∠AEH+∠CFH．
【详解】
解：过点P作PQ∥AB，过点H作HG∥AB，
，
则PQ∥CD，HG∥CD，
∴∠BEP=∠QPE，∠DFP=∠QPF，
∵∠EPF=∠QPE+∠QPF=78°，
∴∠BEP+∠DFP=78°，
∴∠AEP+∠CFP=360°-78°=282°，
∵EH平分∠AEP，HF平分∠CFP，
∴∠AEH+∠CFH=282°÷2=141°，
同理可得：∠EHF=∠AEH+∠CFH=141°，
故选D．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行，内错角相等得出结论．
6．B
【解析】
【分析】
根据不等式的性质、平行线的判定、平方根和立方根依次判定各项后即可解答．
【详解】
选项A，由a＞b，b＞c，则a＞c，可得选项A错误；
选项B， 若a∥b，b∥c，则a∥c，正确；
选项C，由49的平方根是±7，可得选项C错误；
选项D，由负数有立方根，可得选项D错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了命题的知识，关键是根据不等式的性质、平行线的判定、平方根和立方根解答．
7．B
【分析】
如图1所示，过点E作EF//AB，由平行线的性质即可得到∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，则∠A+∠C+∠AEC=360°，故①错误；如图2所示，过点P作PE//AB，由平行线的性质即可得到∠A=∠APE=180°，∠C=∠CPE，再由∠APC=∠APE=∠CPE，即可得到∠APC=∠A-∠C，即可判断②；如图3所示，过点E作EF//AB，由平行线的性质即可得到∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，再由∠AEF+∠CEF=∠AEC，即可判断③ ；由平行线的性质即可得到，，再由，即可判断④．
【详解】
解：①如图所示，过点E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EF，
∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，
∴∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=360°，
又∵∠AEF+∠CEF=∠AEC，
∴∠A+∠C+∠AEC=360°，故①错误；

②如图所示，过点P作PE//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//PE，
∴∠A=∠APE=180°，∠C=∠CPE，
又∵∠APC=∠APE=∠CPE，
∴∠APC=∠A-∠C，故②正确；

③如图所示，过点E作EF//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EF，
∴∠A+∠AEF=180°，∠1=∠CEF，
又∵∠AEF+∠CEF=∠AEC，
∴180°-∠A+∠1=∠AEC，故③错误；

④∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，故④正确；
故选B
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质
8．B
【分析】
根据点、、、的坐标可得出、的长度以及四边形为长方形，进而可求出长方形的周长，根据细线的缠绕方向以及细线的长度即可得出细线的另一端所在位置．
【详解】
解：，，，，
，，且四边形为长方形
解析：B
【分析】
根据点、、、的坐标可得出、的长度以及四边形为长方形，进而可求出长方形的周长，根据细线的缠绕方向以及细线的长度即可得出细线的另一端所在位置．
【详解】
解：，，，，
，，且四边形为长方形，
长方形的周长．
，，
细线的另一端落在点上，即．
故选：．
【点睛】
本题考查了规律型中点的坐标、长方形的判定以及长方形的周长，根据长方形的周长结合细线的长度找出细线终点所在的位置是解题的关键．
九、填空题
9．65
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义确定x-1的值，解方程即可.
【详解】
∵＝8
∴x-1=64
x=65
故答案为65
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是关键
解析：65
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义确定x-1的值，解方程即可.
【详解】
∵＝8
∴x-1=64
x=65
故答案为65
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是关键.
十、填空题
10．-3．
【分析】
关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得a，b的值．
【详解】
解：∵点A（2a+3b，﹣2）和点B（8，3a+1）关于y轴对称，
∴，
解得，
∴a+b＝
解析：-3．
【分析】
关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得a，b的值．
【详解】
解：∵点A（2a+3b，﹣2）和点B（8，3a+1）关于y轴对称，
∴，
解得，
∴a+b＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】
本题考查的是关于轴对称的两个点的坐标关系，掌握以上知识是解题的关键．
十一、填空题
11．∠1+∠2-∠A=90°
【分析】
先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，写出∠1+∠2与∠A的关系，再根据三角形内角和等于180°，求出∠1+∠2与∠A的度数关系．
【详解】
∵BD、C
解析：∠1+∠2-∠A=90°
【分析】
先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，写出∠1+∠2与∠A的关系，再根据三角形内角和等于180°，求出∠1+∠2与∠A的度数关系．
【详解】
∵BD、CE为△ABC的两条角平分线，
∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，
∵∠1=∠ACE+∠A，∠2=∠ABD+∠A
∴∠1+∠2=∠ACE+∠A+∠ABD+∠A
=∠ABC+∠ACB+∠A+∠A
＝（∠ABC+∠ACB+∠A）+∠A
=90°+∠A
故答案为∠1+∠2-∠A=90°．
【点睛】
考查了三角形的内角和等于180°、外角与内角关系及角平分线的性质，是基础题．三角形的外角与内角间的关系：三角形的外角与它相邻的内角互补，等于与它不相邻的两个内角的和．
十二、填空题
12．①②④
【分析】
根据平行线的判定与性质分析判断各项正确与否即可．
【详解】
解：∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠AEC，
又∵∠A＝∠D，
∴∠AEC＝∠D，
∴AE∥DF，
∴∠AMC
解析：①②④
【分析】
根据平行线的判定与性质分析判断各项正确与否即可．
【详解】
解：∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠AEC，
又∵∠A＝∠D，
∴∠AEC＝∠D，
∴AE∥DF，
∴∠AMC＝∠FNM，
又∵∠BND＝∠FNM，
∴∠AMC＝∠BND，
故①②④正确，
由条件不能得出∠AMC＝90°，故③不一定正确；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了对顶角的性质及平行线的判定与性质，难度一般．
十三、填空题
13．68°； 112°．
【分析】
首先根据折叠的性质和平行线的性质求∠FED的度数，然后根据平角的定义求出∠1的度数，最后根据平行线的性质求出∠2的度数．
【详解】
解：∵延折叠得到，
解析：68°； 112°．
【分析】
首先根据折叠的性质和平行线的性质求∠FED的度数，然后根据平角的定义求出∠1的度数，最后根据平行线的性质求出∠2的度数．
【详解】
解：∵延折叠得到，
∴，
∵，，
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
综上，．
故答案为：68°；112°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
十四、填空题
14．③，④
【分析】
①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可，
②由定义得[x)x变形可以直接判断，
③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，
④由定义
解析：③，④
【分析】
①[x) 示小于x的最大整数，由定义得[x)x≤[x)+1，[)<<-8，[)=-9即可，
②由定义得[x)x变形可以直接判断，
③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，
④由定义知[x)x≤[x)+1，由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，又[x)x联立即可判断．
【详解】
由定义知[x)x≤[x)+1，
①[)=-9①不正确，
②[x)表示小于x的最大整数，[x)x，[x) -x0没有最大值，②不正确
③x≤[x)+1，[x)-x≥-1，[x)x有最小值是1，③正确，
④由定义知[x)x≤[x)+1，
由x≤[x)+1变形的x-1≤[x)，
∵[x)x，
∴x[x)x，
④正确．
故答案为：③④．
【点睛】
本题考查实数数的新规定的运算 ，阅读题给的定义，理解其含义，掌握性质[x)x≤[x)+1，利用性质解决问题是关键．
十五、填空题
15．【分析】
由M点的位置易求OM的长，在根据三角形的面积公式计算可求解．
【详解】
解：∵M在y轴上，纵坐标为4，
∴OM＝4，
∵P（6，﹣4），
∴S△OMP＝OM•|xP|
＝×4×6
＝12
解析：【分析】
由M点的位置易求OM的长，在根据三角形的面积公式计算可求解．
【详解】
解：∵M在y轴上，纵坐标为4，
∴OM＝4，
∵P（6，﹣4），
∴S△OMP＝OM•|xP|
＝×4×6
＝12．
故答案为12．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，根据三角形的面积公式求解是解题的关键．
十六、填空题
16．（8052，0）．
【分析】
观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2013除以3，根据商和余数的情况确定出第（2013）个三角形的直角顶点到原点O的距离，然后写出坐标即可．
【详解
解析：（8052，0）．
【分析】
观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2013除以3，根据商和余数的情况确定出第（2013）个三角形的直角顶点到原点O的距离，然后写出坐标即可．
【详解】
解：∵点A（﹣4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∴第（3）个三角形的直角顶点的坐标是；
观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，
∴一次循环横坐标增加12，
∵2013÷3＝671
∴第（2013）个三角形是第671组的第三个直角三角形，
其直角顶点与第671组的第三个直角三角形顶点重合，
∴第（2013）个三角形的直角顶点的坐标是即．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理的应用，观察图形，发现每3个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键．
十七、解答题
17．（1）0.5；（2）4
【分析】
（1）根据立方根，算术平方根的定义对各项进行化简，最后相加减即可；
（2）根据实数的混合运算法则进行求解．
【详解】
解：（1）；
（2）．
【点睛】
本题考查实数
解析：（1）0.5；（2）4
【分析】
（1）根据立方根，算术平方根的定义对各项进行化简，最后相加减即可；
（2）根据实数的混合运算法则进行求解．
【详解】
解：（1）；
（2）．
【点睛】
本题考查实数的运算，熟练掌握立方根，算术平方根的定义是解题的关键．
十八、解答题
18．（1）；（2）
【分析】
（1）先移项，再把系数化1，然后根据平方根的性质，即可求解；
（2）先移项，再根据立方根的性质，即可求解．
【详解】
（1）解：∵
∴
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∴
∴．
解析：（1）；（2）
【分析】
（1）先移项，再把系数化1，然后根据平方根的性质，即可求解；
（2）先移项，再根据立方根的性质，即可求解．
【详解】
（1）解：∵
∴
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∴
∴．
【点睛】
本题主要考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
十九、解答题
19．见解析
【分析】
应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．
【详解】
解：证明：∵DE⊥BC，AB⊥BC（已知），
∴∠DEC=∠ABC=90°（垂直的定义）．
∴DE∥AB（同位角相等，两直线
解析：见解析
【分析】
应用平行线的判定与性质进行求解即可得出答案．
【详解】
解：证明：∵DE⊥BC，AB⊥BC（已知），
∴∠DEC=∠ABC=90°（垂直的定义）．
∴DE∥AB（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
∠1=∠A（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠A=∠3（已知），
∴∠1=∠2（等量代换）．
∴DE平分∠CDB（角平分线的定义）．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练应用平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
二十、解答题
20．（1）见解析；（2）正方形
【分析】
（1）根据平面直角坐标系找出各点的位置即可；
（2）观察图形可知四边形ABCO是正方形．
【详解】
解：（1）如图．
（2）四边形ABCO是正方形．
【点睛】
解析：（1）见解析；（2）正方形
【分析】
（1）根据平面直角坐标系找出各点的位置即可；
（2）观察图形可知四边形ABCO是正方形．
【详解】
解：（1）如图．

（2）四边形ABCO是正方形．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，能够准确在平面直角坐标系中找出点的位置是解题的关键．
二十一、解答题
21．（1），；（2）±3．
【分析】
（1）首先得出1＜＜2，进而得出a，b的值；
（2）根据平方根即可解答．
【详解】
（1）∵1＜＜2
∴10＜＜11，7＜＜8
∴的整数部分为10，的整数部分为7，
解析：（1），；（2）±3．
【分析】
（1）首先得出1＜＜2，进而得出a，b的值；
（2）根据平方根即可解答．
【详解】
（1）∵1＜＜2
∴10＜＜11，7＜＜8
∴的整数部分为10，的整数部分为7，
，
，；
（2）原式

的平方根为：．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出a，b的值是解题关键．
二十二、解答题
22．（1）5；（2）；（3）2与3两个整数之间，见解析
【分析】
（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；
（2）根据实数的性质即可求解；
（3）根据实数的估算即可求解．
【详解】
（1）阴影正方形的
解析：（1）5；（2）；（3）2与3两个整数之间，见解析
【分析】
（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；
（2）根据实数的性质即可求解；
（3）根据实数的估算即可求解．
【详解】
（1）阴影正方形的面积是3×3-4×=5
故答案为：5；
（2）设阴影正方形的边长为x，则x2=5
∴x=（-舍去）
故答案为：；
（3）∵
∴
∴阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间．
【点睛】
本题考查了无理数的估算能力和不规则图形的面积的求解方法：割补法．通过观察可知阴影部分的面积是5个小正方形的面积和．会利用估算的方法比较无理数的大小．
二十三、解答题
23．（1）PB′⊥QC′；（2）当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′
【分析】
（1）求出旋转10秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，设PB′与QC′交于O，过O作OE∥AB，根
解析：（1）PB′⊥QC′；（2）当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′
【分析】
（1）求出旋转10秒时，∠BPB′和∠CQC′的度数，设PB′与QC′交于O，过O作OE∥AB，根据平行线的性质求得∠POE和∠QOE的度数，进而得结论；
（2）分三种情况：①当0＜t≤15时，②当15＜t≤30时，③当30＜t＜45时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．
【详解】
解：（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝10°×12＝120°，∠CQC′＝3°×10=30°，
过O作OE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OE∥CD，
∴∠POE＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QOE＝∠CQC′＝30°，
∴∠POQ＝90°，
∴PB′⊥QC′，
故答案为：PB′⊥QC′；

（2）①当0＜t≤15时，如图，则∠BPB′＝12t°，∠CQC′＝45°+3t°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即12t＝45+3t，
解得，t＝5；

②当15＜t≤30时，如图，则∠APB′＝12t﹣180°，∠CQC'＝3t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，
即12t﹣180＝45+3t，
解得，t＝25；

③当30＜t≤45时，如图，则∠BPB′＝12t﹣360°，∠CQC′＝3t+45°，

∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠BEQ＝∠CQC′，
即12t﹣360＝45+3t，
解得，t＝45；
综上，当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB′∥QC′．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．
二十四、解答题
24．；2．平行于同一条直线的两条直线平行；3．（1）；（2）．
【分析】
1、根据角度和计算得到答案；
2、根据平行线的推论解答；
3、（1）根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；
（2）根据B
解析：；2．平行于同一条直线的两条直线平行；3．（1）；（2）．
【分析】
1、根据角度和计算得到答案；
2、根据平行线的推论解答；
3、（1）根据角平分线的性质及1的结论证明即可得到答案；
（2）根据BE平分平分求出，过点E作EF∥AB，根据平行线的性质求出∠BEF=，，再利用周角求出答案．
【详解】
1、过点作
则有
因为
所以①
所以
所以
即；
故答案为：；
2、过点作
则有
因为
所以EF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；
3、（1）∵BE平分平分
∴，
过点E作EF∥AB，由1可得∠BED=，
∴∠BED=，
故答案为：；

（2）∵BE平分平分
∴，
过点E作EF∥AB，则∠ABE=∠BEF=，
∵
∴EF∥CD，
∴，
∴，
∴．

【点睛】
此题考查平行线的性质：两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，平行线的推论，正确引出辅助线是解题的关键．
二十五、解答题
25．（1）36°或18°；（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”，证明详见解析；（3）∠B＝36°或∠B＝．
【分析】
（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，
解析：（1）36°或18°；（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”，证明详见解析；（3）∠B＝36°或∠B＝．
【分析】
（1）根据三角形内角和等于180°，如果一个“梦想三角形”有一个角为108°，可得另两个角的和为72°，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，72°÷（1＋3）＝18°，由此比较得出答案即可；
（2）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO、∠OAC的度数，根据“梦想三角形”的定义判断即可；
（3）根据同角的补角相等得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“梦想三角形”的定义求解即可．
【详解】
解：当108°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为180°﹣108°﹣108÷3°＝36°，
当180°﹣108°＝72°的角是另一个内角的3倍时，
最小角为72°÷（1＋3）＝18°，
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为36°或18°．
故答案为：18°或36°．
（2）△AOB、△AOC都是“梦想三角形”
证明：∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
∴∠OAB＝3∠ABO，
∴△AOB为“梦想三角形”，
∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，∠ACB＝∠OAC＋∠MON，
∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，
∴∠AOB＝3∠OAC，
∴△AOC是“梦想三角形”．
（3）解：∵∠EFC＋∠BDC＝180°，∠ADC＋∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵AE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“梦想三角形”，
∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，
∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，
∴∠B＝36°或∠B＝．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理、“梦想三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．