初中数学基础知识点整理.docx

幂的有关计算
同底数幂的乘法
am·an=am+n(n,m都是正整数)
幂的乘方
（am）n=anm（m,n都是正整数）
积的乘方
（ab）n=anbn（n是正整数）
同底数幂的除法
am÷an=am-n(a≠0，n,m都是正整数，m>n)
零指数幂
a0=1(a≠0)
负整数指数幂
a-p=1ap(a≠0,p为正整数)
乘法公式
平方差公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式：
(a±b)2=a2±2ab+b2

等式、不等式的性质
等式的性质：
对称性：若a=b,则b=a
传递性:若a=b,b=c,则a=c
性质1：若a=b,则a±c=b±c
性质2：若a=b,则ac=bc；若a=b，c≠0，则ac=bc
不等式的性质：
反对称性：若a>b，则b<a
传递性：若a>b，b>c，则a>c
性质1：若a>b,则a±c>b±c
性质2：若a>b,c>0,则ac>bc, ac>bc
性质3：若a>b，c<0，则ac<bc，

分式
分式的基本性质：
AB=A∙CB∙C , AB=A÷CB÷C （C≠0，A，B，C均为整式）
分式的运算：
（1） ab∙dc=adbc （b,c均不为0）
（2） ab÷cd=ab∙dc=adbc （b,c,d均不为0）
（3） (ab)n=anbn (b≠0,n为整数
（4） ba±ca=b±ca (a≠0)
（5） ba±cd=bdad±acad=bd±acad (a,b≠0)

一次函数
（1）概念：若两个变量x,y间的关系可以表示成y=kx+b（k,b是常数，且k≠0）的形式，则称y是x的一次函数。当b=0时，称y是x的正比例函数。
（2）图像：一条直线
（3）图像性质
k,b的含义
k：表示一次函数的斜率，在图像中可控制函数的倾斜程度，k值越大，斜率越大
一次函数
k,b的符号
函数的图像
图像的位置
性质
k>0
b>0

图像过一、二、三象限
y随着x的增大而增大
b<0

图像过一、三、四象限
k<0
b>0

图像过一、二、四象限
y随着x的增大而减小
b<0

图像过二、三、四象限
b：表示一次函数的截距。
已知两点（x1,y1）（x2,y2），计算k，b可选择带入解方程组，还可k=y2-y1x2-x1或三角形正切
理解k,b的含义，可根据计算方便选择解题方法。
二次函数
（1）概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
（2）图像 :抛物线
（3）图像与性质
二次函数的图像与性质
关系式
一般式：
Y= ax2+bx+c
(a≠0)
顶点式：
y=a(x-h)2+k
(a≠0)
开口方向
当a>0时，开口向上
当a<0时，开口向下
顶点坐标
（-b2a，4ac-b24a）
(h，k)
对称轴
x=-b2a
x=h
图像及其增减性
a>0
a<0

对称轴左侧，y随x的增大而减小
对称轴右侧，y随x的增大而增大
对称轴左侧，y随x的增大而增大
对称轴右侧，y随x的增大而减小
最大值或最小值
a>0
当x=-b2a时，y最小值=4ac-b24a
当x=h时，y最小值=k
a<0
当x=-b2a时，y最大值=4ac-b24a
当x=h时，y最大值=k
平移规律
左加右减，上加下减
（4）二次函数与坐标轴的交点关系(y=ax2+bx+c)
当y=0时，与x轴的交点坐标为（x1,0）(x2,0)，x1,x2即方程ax2+bx+c=0的两个解。
当x=0时，与y轴的交点坐标为（0,c）即y=c
二次函数与一元二次方程的关系（注：△=b2-4ac）
△>0
抛物线与x轴有两个交点
一元二次方程有两个不相等的实根
△<0
抛物线与x轴有一个交点
一元二次方程有两个相等的实根
△=0
抛物线与x轴无交点
一元二次方程无实数根

扩：韦达定理
当y=0时，ax2+bx+c=0，一元二次方程的两个解x1,x2满足x1+x2=-ba x1×x2=ca
推导过程：

ax2+bx+c=0的根

明白一元二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解，要活学活用，如：
y=kx+n
y=ax2+bx+c
确定该方程组的解的数目，可将其转化称一元二次方程ax2+（b-k）x+c-n=0，然后按一元二次方程的方法解题。

反比例函数
（1）概念：一般地，函数y=kx(k是常数，k≠0)叫做反比例函数。自变量x的取值范围是x≠0的一切实数。
（2）图像：双曲线
（3）图像的性质
k对函数的影响
k>0
k<0
图像

图像位置
经过一、三象限
经过二、四象限
性质
x>0, y随x的增大而减小
x<0,y岁x的增大而减小
x>0, y随x的增大而增大
x<0,y岁x的增大而增大
变化趋势：双曲线无限接近与x轴、y轴，但永远不会相交
对称性
关于坐标原点成中心对称，
关于直线y=x对称
关于坐标原点成中心对称，
关于直线y=-x对称

在关于函数的应用，在注意自变量的范围，求函数的最大值和最小值要在自变量的范围内分析。
几何图形
1.三角形
三角形
等腰三角形
三边不相等三角形
仅两边相等的等腰三角形

三边相等的等边三角形

直角三角形
斜三角形
锐角三角形

钝角三角形
（1）分类

（2）三角形的性质
两边之和大于第三边：a+b>c
两边之差小鱼第三边：a-b<c
三角形三个内角和为180°：∠A+∠B+∠C=180°
（3）三角形的主要线段的定义：
A
C
B
O
2
1
E
M
N
三角形的中线：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段。
三角形中线的性质：
①中线把三角形分成两个面积相等的三角形。
②三角形三条中线交于三角形内部一点，该点称为重心，重心所截中线，将中线分成两段比例为1:2的线段。
推导： ∵M,N是三角形两边的中点
∴NM是△ABC的中位线
∴NM∥AC，NM=12AC
∴△OAC∽△ONM，MNAC=AOON=12
E
M
N
A
C
B
O

三角形的角平分线：三角形一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段。
三角形角平分线的性质：
①三角形的三条角平分线全在三角形内部，其交点在三角
形内，该点称为内心，即三角形内切圆的圆心
推导：

三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

A
B
O
N
C
E
M
三角形的中垂线
性质：三角形中垂线的交点是外心，即三角形外接圆的圆心。
推导：

（4）特殊三角形
直角三角形：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形
①性质：
1）直角三角形两个锐角互余
2）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
A
C
B
D
2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
推导：

②直角三角形的判定
1)有一个角为90°的三角形是直角三角形;
2)一个三角形,如果这个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
3)若三角形三边满足勾股定理，则是直角三角形

等腰三角形：有两边相等的三角形
①性质：
1）等腰三角形的两个底角相等
2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“三线合一”）
②等腰三角形的判定
1）有两条边相等的三角形是等腰三角形
2）有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)
3）在一个三角形中，一边上的高线与此边上的中线，及此边对角角平分线中任意两线重合可推知此三角形为等腰三角形。

等边三角形：有三条边相等的三角形（等边三角形是特殊的等腰三角形）
①性质
1）等边三角形的内角都相等，且为60°
2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线重合
②等边三角形的判定
1）三边相等的三角形是等边三角形(定义)
2）三个内角都相等的三角形是等边三角形 ,且每个角都为60°
3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
三角形相似与全等判定定理：
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
三角形的两条对应边及其夹角相等的两个三角形全等
三角形的三边对应相等的两个三角形全等
三角形的两个角及任意一边对应相等的两个三角形全等
直角三角形的斜边与一直角边对应相等的两个三角形全等
SAS
SSS
AAS /ASA
HL
相似三角形的判定
两边对应成比例且夹角相等
三边对应成比例
两角对应相等
一条直角边与斜边对应成比例
补：黄金分割比：AC=5-12AB≈0.618AB

2.四边形
（1）一般四边形地性质
①四边形内角和等于360°
②四边形的外角和等于360°
递进：多边形的内角和与外角和定理
①n边形内角和等于（n-2）180°
②四边形的外角和等于360°

（2）平行四边形
①平行四边形的性质
1）两组对边分别平行
2）两组对边分别相等
3）两组对角分别相等
4）对角线相互平分
5）邻角互补
②平行四边形的判定
1）两组对边分别平行
2）两组对边分别相等
3）两组对角分别相等
4）一组对边平行且相等
5）对角线互相平分

（3）矩形
①矩形的性质
1）是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有通性
2）四个角都是直角
3）对角线相等
②矩形的判定：
1）先判断出平行四边形+一个直角
2）三个角都是直角
3）对角线相等的平行四边形
（4）菱形
①菱形的性质
1）是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有通性
2）四条边都相等
3）对角线垂直且平分对角
②矩形的判定：
1）先判断出平行四边形+一组邻边相等
2）四条边都相等
3）对角线垂直的平行四边形

（5）正方形
具备矩形，菱形，平行四边形的所有通性

补：（6）梯形
梯形中位线：（上底+下底）÷2

C
O
B
A
r
d
3.圆
（1）点与圆的位置关系
①点在圆内è d<r è点C在圆内；
②点在圆上è d=r è点B在圆内；
③点在圆外è d>r è点A在圆内；

（2）直线与圆的位置关系
①直线与圆相离è d<r è无交点；
②直线与圆相切è d=r è有一个交点；
③直线与圆相交è d>r è有两个交点；

（3）圆与圆的位置关系
①外离è 无交点 è d>R+r
②外切è 有一个交点 è d=R+r
③相交è 有两个交点 è R-r<d<R+r
④内切è 有一个交点è d=R-r
⑤内含è 无交点è d<R-r

（4）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论1：①平分弦（不是直径的弦）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

（5）圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

（6）圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧。
②半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是圆的直径。
③若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（7）圆内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
B
A
C
D
E
即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形
∴∠C+∠BAD=180° ∠B+∠D=180°
∠DAE=∠C

（8）切线的性质与判定定理
1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线
2）性质定理：切线垂直于过切点的半径
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心

（9）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这点和圆心的连线平分聊天切线的夹角。

补：平均数与方差
原数：x1,x2,x3,x4……xn
平均数：x=x1+x2+x3+…xnn
标准差：S
方差：S2
若每一个数都加上a，即x1+a,x2+a,x3+a……xn+a
则，平均数：x+a
标准差：S
方差：S2
具体情况具体分析，学会公式整体套用发现规律。