初一数学分类讨论思想例题分析及练习.doc

分类讨论思想

在数学中,如果一个命题的条件或结论不唯一确定,有多种可能情况,难以统一解答,就需要按可能出现的各种情况分门别类的加以讨论,最后综合归纳出问题的正确答案,这种解题方法叫做分类讨论。
　　在数学学习中，我们不仅要分阶段学习知识，还要适时的总结一下数学思想方法。初中常见的数学思想有：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、方程思想等。分类讨论思想是大家在中学阶段需要掌握的重要思想方法。特别就中考而言，经常出现带有这种思想的考题。几乎可以这么说：“分类讨论一旦出现，就是中高档次题”。今天，我们就带着大家把初一一年常见的分类讨论问题大致整理一下。
　　在分类讨论的问题中有三个重要的注意事项。
　　1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定，无法进行下一步”(如几何中，画图的不确定；代数中，出现字母系数等)。
　　2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”，特别要注意分类标准的统一性。
3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏，讨论之后不检验是否合题意”。

　　【例1】 解方程：|x-1|=2
　　分析：绝对值为2 的数有2个
　　解：x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1
　　说明 应该说，绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。其实归根究底，一般考察绝对值的问题有三。
1. 化简(如当a<0<b时，化简|a-1|+|b+1|+|a-b|)
　　处理方法：根据绝对值符号内的式子的正负性
2. 类似于“解方程”(如本题)
　　处理方法：注意解往往不只一个，需关注绝对值为正数的数有两个。
　　3. 使用绝对值的几何意义解题(如已知|x-1|<2，求x的取值范围)
　　处理方法：画数轴，|x-1|<2表示数轴上到表示1的点的距离小于2的点。

【例2】 试比较1+a与1-a的大小。
　　分析：常规的比较大小的方法有很多种，现阶段最常用的是作差法。两个数量的大小可以通过它们的差来判断：
　　①a>b即a-b>0 ②a=b即a-b=0 ③a<b即a-b<0
　　解：作差 (1+a)-(1-a)=2a
　　分类讨论：
　　①当a>0时，2a>0，即(1+a)-(1-a)>0，即1+a>1-a
　　②当a=0时，2a=0，即(1+a)-(1-a)=0，即1+a=1-a
　　③当a<0时，2a<0，即(1+a)-(1-a)<0，即1+a<1-a
答：当a>0时，1+a>1-a；当a=0时，1+a=1-a；当a<0时，1+a<1-a。

【例3】 已知线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC=2cm，求BC的长度。
　　分析：注意点C的位置不能确定。在直线上，与一个定点的距离为定值的点有两个。
　　处理方法：画一个示意图，往往能帮助理解。
　　解：如示意图，有两种情况。

　　如图1，点C在AB之间时，BC=AB-AC=6cm-2cm=4cm
　　如图2，点C在BA的延长线上时，BC=AB+AC=6cm+2cm=8cm

【例4】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？
解：5个或4个或3个。

【例5】已知△ABC周长为20cm，AB=AC，其中一边边长是另一边边长的2倍，BC长多少？
　　解：设AB=AC=x
　　①当AB=2BC时，BC=0.5x
　　据题意，列x+x+0.5x=20，解得x=8cm，则BC=0.5x=4cm
　　②当BC=2AB时，BC=2x
　　据题意，列x+x+2x=20，解得x=5cm，则BC=2x=10cm
　　检验：当AB=2BC时，三边长为8cm，8cm，4cm，可组成三角形；
　　当BC=2AB时，三边长为5cm，5cm，10cm，不可组成三角形，舍。
　　答：BC长为4cm。

　 【例6】 富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。如果小明一次性购书 付款162元，那么小明所购书的价格为多少。
解：付款162元，由于162＞100，可确定享受了优惠。
因不确定是打九折还是打八折，所以分类。
①∵200×=180＞162，∴162元可能享受了九折优惠，162÷=180（元）；
②∵200×=160＜162，∴162元可能享受了八折优惠，162÷=202.5（元）
答：小明所购书的价格为180元或202.5元。

　 【例7】 三人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍，已知糖果总数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11，试求甲、乙、丙各分得几块糖？
　　分析：　1. 两个限制条件：整数、质数
　　 2.一个常见说法：乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍
　 　3.一个常见不等式列法：糖果总数是小于50
　　解：设丙获得了x块粮果，则乙的糖果数为(x+13)块，甲的糖果数为2(x+13)，
根据题意，可列不等式 2(x+13)+(x+13)+x<50
　　整理这个不等式，解得x<11/4=2.75
　　由于糖果块数必为正整数，所以x=1或2
　　①当x=1时，x+13=14，2(x+13)=28
总块数1+14+28=43，为质数，但4+3=7≠11，则x=1应舍去；
　　②当x=2时，x+13=15，2(x+13)=30
总块数2+15+30=47，为质数4+7=11，合题意。
　　答：甲分得糖果数为30块，乙分得15块，丙分得2块。

练习题
1.解方程：（1）|x+4|=3 （2）
2.|a|+a的值的情况讨论。
3. 如果、、是非零有理数，求的值
4.比较a2-a+4与a2+3的大小
5.数轴上有A、B两点,若A点对应的数是-2,且A、B两点的距离为3,则点B对应的数为多少（画图表示）。
6.平面内有四点，经过两点可画多少条直线。
7.平面内有三条直线,它们可能有几个交点?
8. 已知∠A0B=120º，∠BOC=30º，则∠AOC为多少。
9.在一条直线上顺次取A、B、C三点，已知AB＝5cm，点O是线段AC的中点，且OB=1.5cm，求线段BC的长。
10. 已知△ABC周长为18cm，AB=AC，其中一边边长比另一边边长大3cm，BC长多少？
11. 在△ABC中，若AB=3，BC=1-2x，CA=8，求x的取值范围。
12. A、B两地相距480千米,一列慢车从A地开出,每小时行60千米,一列快车从B地开出,每小时行65千米,慢车先开出1小时,两车相向而行,慢车开出x小时后,两车相距100千米,则列方程为
13.甲班学生到集市上购买苹果，苹果价格如下表所示：
购苹果数
不超过30kg
30kg以上但不超过50kg
50kg以上
价格（元/kg）
3元
2.5元
2元
甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付189元，则甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克。 3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X
Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√

A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)