资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．抛物线的项点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
3．给出下列四个函数：①y=﹣x；②y=x；③y=；④y=x1．x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（ ）
A．1个 B．1个 C．3个 D．4个
4．从一副完整的扑克牌中任意抽取1张，下列事件与抽到“”的概率相同的是（ ）
A．抽到“大王” B．抽到“2” C．抽到“小王” D．抽到“红桃”
5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k≠0 B．k＞4 C．k＜4 D．k＜4且k≠0
6．如图，是⊙上的点，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，我国传统文化中的“福禄寿喜”图由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G ， AF⊥BE于F ， 图中相似三角形的对数是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
9．如图，正三角形ABC的边长为4cm，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，2cm为半径作圆．则图中阴影部分面积为（ ）
A．（2-π）cm2 B．（π-）cm2 C．（4-2π）cm2 D．（2π-2）cm2
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：
①a+b+c＝0；
②b＞2a；
③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；
④c＝﹣3a，
其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①③④
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．关于的方程有一个根，则另一个根________.
12．已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简=_____．
13．当时，二次函数有最大值4，则实数的值为________．
14．已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－x + a2－1=0的一个根是0，那么a的值为 ．
15．分式方程＝1的解为_____．
16．若扇形的半径为3，圆心角120，为则此扇形的弧长是________.
17．顺次连接矩形各边中点所得四边形为_____．
18．如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点C是半圆AB上一动点（不与A，B重合），CD平分∠ACB交⊙O于点D，点 I是△ABC的内心，连接BD．下列结论：
①点D的位置随着动点C位置的变化而变化；
②ID=BD；
③OI的最小值为；
④ACBC=CD．
其中正确的是 _____________ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题(共66分)
19．（10分）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡米，坡度为；将斜坡的高度降低米后，斜坡改造为斜坡，其坡度为．求斜坡的长．（结果保留根号）
20．（6分）如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AE·AB＝AD·AC，连接DE，BD.
（1）求证：ADE~ABC.
（2）若点E为AB为中点，AD：AE＝6：5，ABC的面积为50，求BCD面积.
21．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝5，cosC＝，AD是BC边上的高线．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC的面积．
22．（8分）正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象有一个交点的纵坐标为1．
（1）求m的值；
（2）请结合图象求关于x的不等式2x≤的解集．
23．（8分）如图，点E是弧BC的中点，点A在⊙O上，AE交BC于点D．
（1）求证：；
（2）连接OB，OC，若⊙O 的半径为5，BC=8，求的面积．
24．（8分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边 AB、CD上的一点，且DF＝BE.
求证：AF=CE.
25．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上(不与点C，D重合)，连接AE，BD交于点F.
（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长.
（2）若∠AFB＝2，求的值.
（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连接AG，CG，设＝x，四边形AGCE的面积为，ABG的面积为，求的最大值.
26．（10分）已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y＜0时，直接写出x的取值范围是 ．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】由二次函数顶点式：，得出顶点坐标为，根据这个知识点即可得出此二次函数的顶点坐标．
【详解】解：由题知：
抛物线的顶点坐标为：
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的二次函数的顶点式的特点以及顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
2、C
【解析】根据题意，分P在OC、CD、DO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故图像都是线段，分析选项可得答案．
【详解】根据题意，分3个阶段；
① P在OC之间,∠APB逐渐减小,到C点时, ∠APB为45°，所以图像是下降的线段，
②P在弧CD之间,∠APB保持45°，大小不变，所以图像是水平的线段，
③P在DO之间,∠APB逐渐增大,到O点时, ∠APB为90°，所以图像是上升的线段，
分析可得：C符合3个阶段的描述；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段,依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况.
3、C
【解析】解: 当x<0时，①y=−x，③，④ y随x的增大而减小；
②y=x，y随x的增大而增大.
故选C.
4、B
【分析】根据扑克牌的张数,利用概率=频数除以总数即可解题.
【详解】解：扑克牌一共有54张,所以抽到“”的概率是,
A. 抽到“大王” 的概率是,
B. 抽到“2” 的概率是,
C. 抽到“小王”的概率是,
D. 抽到“红桃”的概率是,
故选B.
【点睛】
本题考查了概率的实际应用,属于简单题,熟悉概率的计算方法是解题关键.
5、C
【解析】根据判别式的意义得到△=（-1）2-1k＞0，然后解不等式即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：k＜1．
故答案为：C．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．
6、D
【分析】直接利用圆周角定理进行判断．
【详解】解：∵与都是所对的圆周角，
∴．
故选D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7、B
【解析】根据中心对称图形的概念逐一判断即可.
【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
B.是中心对称图形，符合题意，
C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意，
故选：B.
【点睛】
本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
8、D
【解析】试题解析：∵矩形ABCD
∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=
∴△EDG∽△ECB∽△BAG
∵AF⊥BE
∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=
∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA
∴△GAF∽△GBA∽△ABF
∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA
∴共有10对
故选D．
9、C
【分析】连接AD，由等边三角形的性质可知AD⊥BC，∠A=∠B=∠C=60°，根据S阴影=S△ABC-3S扇形AEF即可得出结论．
【详解】连接AD，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴AD==，
∴S阴影=S△ABC-3S扇形AEF=×4×2﹣=(4﹣2π)cm2，
故选C．
【点睛】
本题考查了有关扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
10、D
【分析】①观察图象可得，当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0；
②对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a；
③抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝﹣1，即可得ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；
④当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，即可得c＝﹣3a．
【详解】解：观察图象可知：
①当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴①正确；
②对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，
∴②错误；
③∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0）
∴ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1，
∴③正确；
④∵当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，
∴c＝﹣3a，
∴④正确．
所以正确的命题是①③④．
故选：D．
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、2
【分析】由根与系数的关系，根据两根之和为计算即可．
【详解】∵关于的方程有一个根，
∴
解得：；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系的结构是解题的关键．
12、﹣a+b
【分析】根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．
【详解】解：由图可知：a＜b＜0＜c，而且，
∴a+c＜0，b+c<0，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的情况是解题的关键．
13、2或
【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线x=m，且开口向下，
①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4，
解得，
，
∴不符合题意，
②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，
解得，
所以，
③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m=2或时，二次函数有最大值．
故答案为：2或．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．
14、-1
【解析】试题分析：把代入方程，即可得到关于a的方程，再结合二次项系数不能为0，即可得到结果．
由题意得，解得，则
考点：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．同时注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
15、x＝2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：2+x﹣1＝x2﹣1，即x2﹣x﹣2＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是增根，分式方程的解为x＝2，
故答案为：x＝2
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
16、
【解析】根据弧长公式可得：=2π，
故答案为2π.
17、菱形
【详解】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是矩形ABCD的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半），
∵矩形ABCD的对角线AC=BD，
∴EF=GH=FG=EH，
∴四边形EFGH是菱形．
故答案为菱形．
考点：三角形中位线定理；菱形的判定；矩形的性质．
18、②④
【分析】①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；
②连接IB，根据点I是△ABC的内心，得到，可以证得 ，即有，可以判断②正确；
③当OI最小时，经过圆心O，作，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，可求出，可判断③错误；
④用反证法证明即可．
【详解】解： 平分，AB是⊙O的直径，
，
，
是的直径，
是半圆的中点，即点是定点；
故①错误；
如图示，连接IB，
∵点I是△ABC的内心，
∴
又∵，
∴
即有
∴，
故②正确；
如图示，当OI最小时，经过圆心O，
过I点，作，交于点
∵点I是△ABC的内心，经过圆心O，
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
设，则，，
∴，
解之得：，
即：，
故③错误；
假设，
∵点C是半圆AB上一动点，
则点C在半圆AB上对于任意位置上都满足，
如图示，
当经过圆心O时，，，
∴
与假设矛盾，故假设不成立，
∴
故④正确；
综上所述，正确的是②④，
故答案是：②④
【点睛】
此题考查了三角形的内心的定义和性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形外接圆有关的性质，角平分线的定义等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、斜坡的长是米．
【解析】根据题意和锐角三角函数可以求得的长，进而得到的长，再根据锐角三角函数可以得到的长，最后用勾股定理即可求得的长．
【详解】∵，，坡度为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，斜坡的坡度为，
∴，
即，
解得，，
∴米，
答：斜坡的长是米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
20、 (1)详见解析； (2)14
【分析】（1）根据可得，又因，由相似三角形的判定定理即可证；
（2）设，根据得，由点E是AB的中点得，可求出的值，根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方可得的面积，因等底等高得，的面积等于的面积，从而可得答案.
【详解】（1）
在和中，
（两边对应成比例且夹角相等的三角形相似）
（2）设
又点E是AB的中点
由题（1）知
又
又和的边，且边上对应的高是同一条高
答：的面积为14.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理和性质，熟记判定定理和性质是解题关键.
21、（1）AD=2；（2）S△ABC＝1．
【分析】（1）由高的定义可得出∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ACD中，由AC的长及cosC的值可求出CD的长，再利用勾股定理即可求出AD的长；
（2）由∠B，∠ADB的度数可求出∠BAD的度数，即可得出∠B＝∠BAD，利用等角对等边可得出BD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．
【详解】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
在Rt△ACD中，AC＝5，cosC＝，
∴CD＝AC•cosC＝3，
∴AD＝＝2．
（2）∵∠B＝25°，∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝25°，
∴∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD＝2，
∴S△ABC＝AD•BC＝×2×（2+3）＝1．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，解题的关键是：(1) 通过解直角三角形及勾股定理，求出CD、AD的长；(2) 利用等腰三角形的性质，找出BD的长．
22、（1）8；（2）x≤﹣2或0＜x≤2
【分析】(1)先利用正比例函数解析式确定一个交点坐标，然后把交点坐标代入y＝中可求出m的值；
(2)利用正比例函数和反比例函数的性质得到正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图的另一个交点坐标为（﹣2，﹣1），然后几何图像写出正比例函数图像不在反比例函数图像上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：(1)当y＝1时，2x＝1，解得x＝2，则正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图像的一个交点坐标为（2，1），
把(2，1)代入y＝得m＝2×1＝8；
(2)∵正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图像有一个交点坐标为（2，1），
∴正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图的另一个交点坐标为（﹣2，﹣1），如图，
当x≤﹣2或0＜x≤2时，2x≤，
∴关于x的不等式2x≤的解集为x≤﹣2或0＜x≤2．
【点睛】
本题主要考查的是正比例函数与反比例函数的基本性质以及两个函数交点坐标，掌握这几点是解题的关键.
23、（1）见解析；（2）12
【分析】（1）由点E是的中点根据圆周角定理可得∠BAE=∠CBE，又由∠E=∠E（公共角），即可证得△BDE∽△ABE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．
（2）过点O作OF⊥BC于点F，根据垂径定理得出BF=CF=4 ，再根据勾股定理得出OF的长，从而求出的面积
【详解】（1）证明：∵点E是弧BC的中点
∴∠BAE=∠CBE=∠DBE
又∵∠E=∠E
∴△AEB∽△BED
∴
∴
（2）过点O作OF⊥BC于点F，则BF=CF=4
在中，
∴
【点睛】
此题考查了圆周角定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
24、证明见解析
【解析】由SAS证明△ADF≌△CBE，即可得出AF＝CE．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
在△ADF和△CBE中，，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
25、（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由可得DE的长，利用勾股定理可得AE的长，又易证，由相似三角形的性质可得，求解即可得；
（2）如图（见解析），连接AC与BD交于点O，由正方形的性质可知，，，设，在中，可求出，从而可得DF和BF的长，即可得出答案；
（3）设正方形的边长，可得DE、AO、BO、BD的长，由可得BF的长，又根据可得BG的长，从而可得的面积，用正方形的面积减去三个三角形的面积可得四边形AGCE的面积，再利用二次函数的性质求解的最大值.
【详解】（1）为CD中点，
，
，即
又
；
（2）如图，连接AC与BD交于点O
由正方形的性质得，
设
在中，
，
；
（3）设正方形的边长，则
由（1）知，
又
又
又
由二次函数图象的性质得：当时，有最大值，最大值为.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理和性质、正切三角函数、二次函数图象的性质，难度较大的是题（3），利用相似三角形的性质求出BG的长是解题关键.
26、（1）y＝x1﹣x﹣1；（1）﹣1＜x＜1．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（1）结合函数图象解答．
【详解】解：（1）把A（﹣1，0），B（1，0）分别代入y＝x1+mx+n，得
．
解得．
故该抛物线解析式是：y＝x1﹣x﹣1；
（1）由题意知，抛物线y＝x1﹣x﹣1与x轴交于点A（﹣1，0），B（1，0）两点，且开口方向向上，所以当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜1．
故答案是：﹣1＜x＜1．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法求解析式.
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