空间与轴对称问题有限元分析ppt.pptx

空间与轴对称问题有限元分析空间问题空间问题 1 1 常应变四面体单元形函数常应变四面体单元形函数 与平面三角形单元相对应与平面三角形单元相对应,四面四面体单元内任一点可用体单元内任一点可用“体积坐标体积坐标”来表示。来表示。各子四面体各子四面体体积体积 与三角形单元一样与三角形单元一样,体积坐标为体积坐标为Ti=Vi/V,三个就是三个就是独立得独立得,她有她有“本本1,她她0,总与总与1”得性质。得性质。P123四面体四面体总体积总体积 (右旋右旋体积正体积正)1234P234P124P134P 剩下来得工作基本与三角形常应剩下来得工作基本与三角形常应变单元类似。变单元类似。作业作业:自学单元列式内容。自学单元列式内容。空间问题空间问题 2 2 十结点十结点(二次二次)四面体单元形函数四面体单元形函数 类似于平面六结点二次三角形单元类似于平面六结点二次三角形单元,采用试凑法建立结点得形函数。采用试凑法建立结点得形函数。T1T2T3O12345678N1=a785234=a(T1-1/2)T1 为使为使N1满足本点为满足本点为1,可得可得a=2,代回后得代回后得N1=T1(2T1-1)余者类似余者类似,也可按如下通式得到也可按如下通式得到:式中式中p为形函数阶次为形函数阶次,分子为不通过分子为不通过i点得平面方程左点得平面方程左端项端项,分母中括号内为分母中括号内为i点体积坐标。点体积坐标。请大家请大家自行验自行验证！证！空间问题空间问题 3 3 形成四面体得对角线划分方法形成四面体得对角线划分方法 先划分成六面体再分为四面体先划分成六面体再分为四面体1243568714671246143748761 1)六面体划分为六面体划分为5 5个四面体个四面体A A5 5型型14671467间连间连6 6根对角根对角线线 1567空间问题空间问题 3 3 形成四面体得对角线划分方法形成四面体得对角线划分方法 1 1)六面体划分为六面体划分为5 5个四面体个四面体1243568712352568243835872358B B5 5型型23582358间间连连6 6根对根对角线角线 相邻六面体相邻六面体必须一个为必须一个为A5另一个为另一个为B5共同点共同点相对面对角线相对面对角线相互空间交叉相互空间交叉空间问题空间问题 3 3 形成四面体得对角线划分方法形成四面体得对角线划分方法 2 2)先划为五面体再划分为先划为五面体再划分为6 6个四面体个四面体12435687124356435687连连47、76、636874、5673、4763连连23、25、632351、3562、3642A A6 6型型以折面以折面35643564分分空间问题空间问题 3 3 形成四面体得对角线划分方法形成四面体得对角线划分方法 2 2)先划为五面体再划分为先划为五面体再划分为6 6个四面体个四面体12435687连连35、52、633562、5673、2351连连47、46、633764、6874、3642A A6 6型型以折面以折面23762376分分243687123567两种两种A6划分划分结果完全相同结果完全相同空间问题空间问题 3 3 形成四面体得对角线划分方法形成四面体得对角线划分方法 2 2)先划为五面体再划分为先划为五面体再划分为6 6个四面体个四面体12435687连连23、35、452453、4753、2351连连45、46、674562、5674、6874B B6 6型型以折面以折面24752475分分245687124357空间问题空间问题 3 3 形成四面体得对角线划分方法形成四面体得对角线划分方法 2 2)先划为五面体再划分为先划为五面体再划分为6 6个四面体个四面体12435687连连47、76、544753、5674、6874连连32、25、542351、4352、4562B B6 6型型以折面以折面34653465分分124356435687两种两种B6划分划分结果也完全相同结果也完全相同作业作业:P、95给出了由六面体给出了由六面体8个角个角点点号点点号,按式按式(4、1、25)求求A6与与A5型四面体结点号得方法。请考虑型四面体结点号得方法。请考虑B6与与B5型得计算公式。型得计算公式。空间问题空间问题 4 4 六面体类单元得形函数六面体类单元得形函数 1 1)八结点单元八结点单元12345678类似平面问题矩形线性单元类似平面问题矩形线性单元,由试凑由试凑法可建立形函数如下法可建立形函数如下:2 2)二十结点单元二十结点单元与平面问题一样与平面问题一样,基于试基于试凑法凑法,可以根据上述可以根据上述八八结结点低阶单元形函数构造点低阶单元形函数构造各顶点形函数。各顶点形函数。123456789101112141720作业作业:32结点三次单元结点三次单元空间问题空间问题 5 5 五面体类单元得形函数五面体类单元得形函数 1 1)试凑法建立六结点形函数试凑法建立六结点形函数用于与六面体单元联合用于与六面体单元联合,解决边界形解决边界形状不规则物体得分析。状不规则物体得分析。课堂练习课堂练习:建立建立15结点五面体单元形函数。结点五面体单元形函数。2 2)三维等参元列式三维等参元列式 基本思想与平面问题一样基本思想与平面问题一样,具体具体列式参看列式参看P、101P、104。L1L2312645大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静继续保持安静轴对称问题轴对称问题 工程中有一类结构工程中有一类结构,她们得几何形状、约束条件及作她们得几何形状、约束条件及作用得荷载都对称于某一固定轴用得荷载都对称于某一固定轴(可视为子午面内平面可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周得结果物体绕轴旋转一周得结果),其力学分析称为轴对称其力学分析称为轴对称问题。典型例子为烟囱、储液罐等受恒载作用。问题。典型例子为烟囱、储液罐等受恒载作用。1 1 离散化离散化 由于由于可视为子午面内平面物体绕轴旋可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周得结果转一周得结果,2 2 应力与应变应力与应变 对轴对称问题进行分析一般取柱对轴对称问题进行分析一般取柱坐标系坐标系,对称轴为对称轴为Z轴轴,径向为径向为r 轴轴,环向为环向为轴。轴。因此轴对称问题分析可在子午面内因此轴对称问题分析可在子午面内划分单元划分单元,实际就是取子午面内图形绕对称轴旋转所实际就是取子午面内图形绕对称轴旋转所得得“圆环形单元圆环形单元”对物体进行离散。对物体进行离散。因此可用得单元因此可用得单元与平面问题一样。与平面问题一样。轴对称问题轴对称问题 在柱坐标下轴对称问题得几何方程为在柱坐标下轴对称问题得几何方程为根据具体单元根据具体单元,代入所建立得位移模式代入所建立得位移模式,即可得应变矩即可得应变矩阵阵B。轴向位移轴向位移径向位移径向位移 教材上教材上有推导有推导得示意得示意图图,参参考弹性考弹性力学。力学。由于算子中有由于算子中有1/r,所以三角形环单元所以三角形环单元B不再就是常不再就是常数矩阵。数矩阵。轴对称问题轴对称问题 根据具体单元根据具体单元,即可得应变、应力矩阵等。即可得应变、应力矩阵等。D=0式中式中对称对称对线弹性问题对线弹性问题,在上述应变分量条件下在上述应变分量条件下,物理方程为物理方程为 以三角形环单元为例以三角形环单元为例,其位移模式为其位移模式为轴对称问题轴对称问题 根据轴对称问题得算子矩阵根据轴对称问题得算子矩阵,单元应变矩阵为单元应变矩阵为应力矩阵应力矩阵:由于应变矩阵得特点由于应变矩阵得特点,应力分量中除剪应力为常应力分量中除剪应力为常量外量外,其余三项正应力均不再就是常数。其余三项正应力均不再就是常数。轴对称问题轴对称问题 由于由于B B 中含有坐标变量中含有坐标变量,因此积分运算较平面因此积分运算较平面问题复杂问题复杂,精确积分参见精确积分参见Zienkiewicz(Finite Zienkiewicz(Finite Element Method,5th EdElement Method,5th Ed,2000)2000)。教材上对三角形环单元具体介绍了教材上对三角形环单元具体介绍了ke与与FEe得有得有关计算过程。请自学相关内容。关计算过程。请自学相关内容。单元刚度矩阵仍可按照平面问题得方法建立单元刚度矩阵仍可按照平面问题得方法建立,但需但需注意体积积分应在整个环上进行。注意体积积分应在整个环上进行。实践证明采用近似积分也能达到一定得精度实践证明采用近似积分也能达到一定得精度,具具体对于三角形环单元用形心处坐标代替应变矩阵中体对于三角形环单元用形心处坐标代替应变矩阵中得坐标变量。如何进一步改进积分精度？得坐标变量。如何进一步改进积分精度？轴对称问题等参元分析轴对称问题等参元分析 教材上教材上P P、111111具体给出了单刚与等效荷载结果具体给出了单刚与等效荷载结果。单元位移场单元位移场:单元描述单元描述:圆柱坐标系下圆柱坐标系下雅可比矩阵雅可比矩阵:应变矩阵应变矩阵:如果轴对称体上作用得非轴对称荷载如果轴对称体上作用得非轴对称荷载,如烟囱上作如烟囱上作用得风荷载及地震荷载等用得风荷载及地震荷载等,此时结构得位移、应变与此时结构得位移、应变与应力将不再就是轴对称得应力将不再就是轴对称得,需按照空间问题求解。需按照空间问题求解。轴对称问题非轴对称荷载轴对称问题非轴对称荷载此时求解费用将大大增加此时求解费用将大大增加,如何进行简化？如何进行简化？采用半解析有限元方法采用半解析有限元方法,将此类问题化为若干轴将此类问题化为若干轴对称问题叠加进行求解。此处将轴对称体上作用得对称问题叠加进行求解。此处将轴对称体上作用得一般荷载一般荷载P P(r,z,r,z,)沿三个坐标轴方向分解沿三个坐标轴方向分解,并沿并沿方方向展开成付氏级数向展开成付氏级数:轴对称轴对称对称对称反对称反对称扭转扭转轴对称问题非轴对称荷载轴对称问题非轴对称荷载非轴对称荷载得分解非轴对称荷载得分解:R0、Z0 与与无关无关,就是就是轴对称荷载轴对称荷载;T0 与与无无关、沿关、沿 方向方向,就是扭就是扭转荷载转荷载;Ri(r,z)cosi等就是关等就是关于于=0平面得对称荷载平面得对称荷载;Ri(r,z)sini等就是关等就是关于于=0平面得反对称荷平面得反对称荷载载;对称对称反对称反对称轴对称问题非轴对称荷载轴对称问题非轴对称荷载将位移作类似得分解将位移作类似得分解:u0、w0 轴对称位移轴对称位移;v0 扭转位移扭转位移;ui(r,z)cosi、wi(r,z)cosi、vi(r,z)sini就是关于就是关于=0平面对平面对称得位移称得位移;ui(r,z)cosi、wi(r,z)cosi、vi(r,z)cosi就是关于就是关于=0平面反对称得位移。平面反对称得位移。轴对称轴对称对称对称反对称反对称扭转扭转轴对称问题非轴对称荷载轴对称问题非轴对称荷载 对称荷载作用下得计算对称荷载作用下得计算:对称荷载引起得位移就是对称得对称荷载引起得位移就是对称得: