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15级《微积分1》复习要点
依据《微积分教学大纲》和教考分离制度对微积分1期末考试说明如下：
一、 试卷题型与考试知识要求
试卷客观题与主观题比例大约为30%与70%，客观题主要考查基本概念与基本关系，主观题主要考查基本运算和基本理论。对基本概念、基本关系的要求表述为理解，对基本运算、基本理论的要求表述为会求或会证明。
题型（题量）
选择题（8）
填空题（8）
计算题（10）
证明题（2）
分值
16分
16分
60分
8分

二、 知识点及要求
第一章 函数、极限与连续（26%）
1、理解函数的定义域；
（1）函数的定义域是 .
（2）函数的定义域是 。
（3）函数的定义域是 。
（4）函数的定义域是 。
2、会求各种未定型的极限.例如、、
（1）计算极限
解：==
（2）计算极限.
解：== =
（3）计算极限.
解：=
= ==
（4）计算极限
解：==2
（5）计算极限
解：==
（6）计算极限
解：=
（7）计算极限 .
解：==
= ==
（8）计算极限.
解：=
=
（9）计算极限 .
解：===
（10）计算极限
解：=
（11）计算极限
解：

（12）计算极限
解：
（13）计算极限
解：.
（14）计算极限
解：/
（15）计算极限
解：
3、理解无穷小的运算
(1) 下列极限计算正确的是（ D ）.
A、 B、 C、 D、
(2) = 0 .
(3) 0 .
4、理解间断点概念与类型；
(1) 设
A、可去间断点 B、无穷间断点　　 C、连续点 D、跳跃间断点
(2) 设，则是（　　D　　）
A、可去间断点 B、无穷间断点　　 C、连续点 D、跳跃间断点
（3）函数 ，是函数的（ A ）.
A、连续点 B、跳跃间断点 C、可去间断点 D、无穷间断点
5、会利用零点定理证明方程有解
（1）证明方程 在 内至少有一个实根
证明：设

即 方程在（0，1）内至少存在一个实根
（2）证明方程在（1，2）内至少存在一个实根.
证明：.

即 方程在（1，2）内至少存在一个实根
（3）证明方程在0和2之间至少有一个实根．
证明：设,

方程在0和2之间至少有一个实根．
（4）证明方程至少有一个小于1的正根．
^证明：设，
《0，

即 方程在（0，1）内至少存在一个实根
第二章 导数与微分(26%)
1、理解导数的定义；
（1）设存在，则（ B ）
A、 B、　　 C、 D、不存在
（2）若存在，则（ B ）
A、 B、　　 C、 D、
（3）设在可导，则（ B ）
A. B.
A. B.
2、会求函数的导数及二阶导数。
（1）若函数可导，设，求.
解：
（2）若函数可导，设，求.
解：
（3）若函数可导，设，求.
解：
3、会求隐函数的导数。
（1）已知由确定了 ，求
解：方程两边对求导数，得

（2）设函数由方程所确定，求
解：方程两边对求导数，得

（3）设函数由方程所确定，求.
解：方程两边对求导数

(4) 设函数由方程所确定，求.
解：方程两边对求导数

(5) 设函数由方程所确定，求.
解：方程两边对求导数

4、理解参数方程确定函数的导数，
(1) 已知，求.
解：
(2) 已知，求.
解：
(3) 已知，求.
解：
5、会利用对数求导法求导.
(1) 已知 ，求 ；
解：方程两边取对数
两边对求导数

(2) 已知 ，求 ；
解：方程两边取对数
两边对求导数

（3) 已知 ，求 ；
解：方程两边取对数
两边对求导数

6、理解函数的微分。
（1）已知 求 ；
解：
（2）已知 求 ；
解：
（3）已知 求 ；
解：
7、理解连续、可导、可微的关系；
（1） 函数在点处可微是在点处连续的( B ).
（2） 函数在点处连续是在点处可微的( A ).
（3） 函数在点处可微是在点处可导的( C ).
（4） 函数在点处连续是在点处可导的( A ).
（5）函数在点处可导是在点处连续的( B ).
A、必要条件 B、充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分也非必要条件
第三章 微分中值定理及导数应用(28%)
1、理解罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件与结论；
（1）函数在区间满足罗尔定理结论的
（2）函数在区间满足罗尔定理结论的
（2）函数在区间满足拉格朗日中值定理结论的
（4）使函数适合罗尔定理条件的区间是（　　D　　）
　A、； B、； C、； D、.
（5）．对于函数，满足罗尔定理全部条件的区间是（ D ）.
（A）； （B）； （C）； （D）
2、会求函数的单调区间和极值。
（1）求的单调区间和极值； 教材例题7
（2）求的单调区间和极值
解： 定义域为

-2
（-2,1）
1
（1，）

+
20
-
-7
+

极大值

极小值

在上单调递增，在上单调递减.
极大：，极小：.
（3）求的单调区间和极值
解： 定义域为

0
（0，2）
2
（2，）

+
0
-
-4
+

极大值

极小值

在上单调递增，在上单调递减.
极大：，极小：.
在上单调递增，在上单调递减.
极大：，极小：.
3、会利用单调性证明不等式及判断方程根的唯一性
（1）当时，证明 ；教材例5
（2）当时，证明.
证明：设，则在上连续，
因为
当,时 所以单调递增
因此，即
（3）当时，证明不等式：．
证明：设，则在上连续
因为，
当时 所以单调递增
因此 即
（4）当时，证明：.
证明：设，则在上连续，
因为
当时， 所以单调递增
因此 即.
（5）证明不等式：当时，证明.．
证明：设 则在上连续且，
因为
当,时 所以单调递增
因此，即
（6）证明方程在之间有且仅有一个实根．
证明：令，，
所以 在上至少一个根，又，
当时，所以单调递增，
因此 在上有且仅有一个根.
（7）证明方程在之间有且仅有一个实根．
证明：令，，
所以 在上至少一个根，又，
当时，所以单增，因此在上至多有一个根.
在上有且仅有一个根.
（8）证明方程在之间存在唯一一个实根．
证明：令，，
所以 在上至少一个根，又，
当时，所以单增，因此在上至多有一个根.
在上有且仅有一个根.
4、会求曲线的凹凸区间与拐点，
（1）确定函数的凹凸区间和拐点.
解：定义域为

当时， 在上凸，当时， 在上凹.
拐点：。
5、理解曲线的铅垂渐近线和水平渐近线。
（1）求 的水平渐近线和铅直渐近线.
解：， 所以是垂直渐近线
又，所以是水平渐近线
（2）曲线的水平渐近线为铅直渐近线为
（3）曲线的水平渐近线为铅直渐近线为
6、会求常见经济函数的最值和弹性；教材习题七
（1）一个公司已估算出产品的成本函数为（万元）。
⑴求时的总成本；
⑵求时的平均成本、边际成本；
⑶求产量为多大时，平均成本最低？求出最低平均成本。
解: ⑴ 时的总成本为（万元）
⑵ 由于平均成本函数为,
边际成本函数为，
即得：时的平均成本为（万元）
或为，平均成本为（万元），
时的边际成本为（万元），
⑶由平均成本函数得，
令，得，
由于，知当产量为60单位时，平均成本最低。
最低平均成本为（万元），
(2)设生产某产品的成本函数为（元），收益函数为
（元）。
⑴求当时的总利润，边际利润；
⑵为使利润最大化，公司必须生产并销售多少件产品？并求出最大利润。
解⑴由已知得总利润函数为

于是，边际利润函数为，
从而得当时的总利润为（元）,
边际利润为（元）,
⑵由总利润函数得边际利润，
可得利润函数的唯一驻点，
由于，可知，为使利润最大化，公司必须生产并销售300件产品，
最大利润为元。
(3) 设某商品的需求函数为。
⑴求需求弹性函数；
⑵求，并说明其经济意义；
⑶当时，价格上涨1%，总收益变化百分之几？是增加还是减少？
【解】⑴由得需求弹性函数
。
⑵，
其经济意义是，当价格为4时，再提高价格1%，将使需求量下降0.54%。
⑶当时，价格上涨1%，总收益变化的百分比属于总收益对价格的弹性，
由于总收益对价格的弹性函数为
，
当时，，
可知，当时，价格上涨1%，总收益变化0.46%，是增加。
(5)．设某商品的需求函数为，
⑴求需求弹性函数；
⑵求时的需求弹性函数；
⑶当时，若价格上涨1%，其总收益变化百分之几？是增加还是减少？
解 ⑴由得需求弹性函数
。
⑵当时的需求弹性函数是，
⑶当时，价格上涨1%，总收益变化的百分比属于总收益对价格的弹性，
由于总收益对价格的弹性函数为
，
当时，，
可知，当时，价格上涨1%，总收益变化0.93%，是增加。
第四章 不定积分(10%)
1、理解原函数、不定积分的概念，
(1) 已知的一个原函数为，则
(2) 已知的一个原函数为，则
(3) 设,则.
(4) .
(5) 下列等式中正确的是（　　B 　　）
　A、； B、；
　C、； D、
(6) 若不定积分，则.
(7) 设,则
(8) .
2、会求不定积分（直接积分法、第一类换元积分法和第二类换元积分法和分部积分法），
例如计算 等；
(1) 计算不定积分.
解：
(2)计算不定积分.
解：
(3)计算不定积分.
解：
(4) 计算不定积分
解：令

(5) 计算不定积分
解：令

（6）计算不定积分.
解：=
（7）计算不定积分.
解：=
（8）计算不定积分.
解：=
第五章 定积分(10%)
1、理解定积分的性质
（1）与的大小关系是( B ).
A、前者大 B、前者小 C、两者相等 D、无法判定
（2）若，，则（ D ）.
A、 B、 C、 D、
（3）若，，则（ B ）.
A、 B、 C、 D、
2、会利用换元积分法求定积分,例如
（1）计算定积分
解：令

（2）计算定积分
解：令

（3）计算定积分
解：令

3、理解积分上限函数的导数，例如已知，求 ；
（1）.
（2）.
（3）