数值计算方法复习.doc

2016计算方法复习

务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容：
1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky分解的平方根法求解方程组
2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton插值多项式和余项
3. 会Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性
4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速
5. 会用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题
6. 会最小二乘法多项式拟合
7. 会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式

第1章、数值计算引论
(一)考核知识点
误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。
(二) 复习要求
1.了解数值分析的研究对象与特点。
2.了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。
3.了解误差的定性分析及避免误差危害。
（三）
例题
例1. 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。
例2. 为了提高数值计算精度, 当正数充分大时, 应将改写为 。
例3. 的相对误差约是的相对误差的1/3 倍.

第2章、非线性方程的数值解法
(一)考核知识点
对分法；不动点迭代法及其收敛性；收敛速度; 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法；Steffensen斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法。
(二) 复习要求
1.了解求根问题和二分法。
2.了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。
3.理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。
4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形。
5.了解弦截法。
（三）例题
1.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )
(A) (B)
(C) (D)迭代公式
解：在(A)中,=1.076
故迭代发散。应选择(A)。
可以验证在(B)，(C)， (D)中，j(x)满足，迭代收敛。
2.用Newton法求方程在区间内的根, 要求。
解 此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。设

则 ，
Newton法迭代公式为
，
取，得。
3．设可微，求方程根的Newton迭代格式为
4. 牛顿切线法是用曲线f(x)上的点的切线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)＝0的解；而弦截法是用曲线f(x)上的；两点的连线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)＝0的解.
5. 试确定常数使迭代公式
.
产生的序列{}收敛到，并使收敛阶尽量高.
解 因为迭代函数为，而.根据定理知，要使收敛阶尽量高，应有，，，由此三式即可得到所满足的三个方程为：
，，.
解之得，，且，故迭代公式是三阶收敛的.
P25.例2-4
P30.例2-6
P33.例2-8
P35例2-10
P35.例2-11
P38.例2-13
P39.例2-14
P41.例2-16
P45.例2-18
P48.例2-20

第3章、线性代数方程组的数值解法
(一)考核知识点
高斯消去法，列主元消去法；矩阵三角分解法；平方根法；追赶法；迭代法的基本概念，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法，超松弛迭代法SOR，迭代解数列收敛的条件。
(二) 复习要求
1.了解矩阵基础知识，了解向量和矩阵的几种范数。
2.掌握高斯消去法，掌握高斯列主元素消去法。
4.掌握直接三角分解法，平方根法，了解追赶法，了解有关结论。
5.了解矩阵和方程组的性态，会求其条件数。
6.了解迭代法及其收敛性的概念。
7.掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。
（三）例题
1.分别用顺序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脱尔分解)求解线性方程组
解：1) Gauss消去法
，
回代 x3=3, x2=2, x1=1
2) 直接三角分解法(杜利脱尔分解)：

=LU
解Ly=b得y=(14,-10,-72)T
解，Ux=y得x=(1,2,3)T
2. 用平方根法（Cholesky分解）求解方程组：

解：由系数矩阵的对称正定性，可令，其中L为下三角阵。

求解可得，
求解可得
3.讨论的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性
其中，
解：Jacobi迭代法的迭代矩阵
则
Jacobi迭代收敛
Gauss-Seidel迭代矩阵

Gauss-Seidel迭代发散.
4.已知方程组，其中
，
(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；
(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。

解：（1）Jacobi迭代法：

Jacobi迭代矩阵：
收敛性不能确定

（2）Gauss-Seidel迭代法：

Gauss-Seidel迭代矩阵：
该迭代法收敛

5. 给定方程组，用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛？
解：由系数矩阵可知，
（1）雅可比迭代矩阵为，由
可知，，因而雅可比迭代法发散。
（2）高斯-塞德尔迭代矩阵为
，由
可知，，因而高斯-塞德尔迭代法收敛。

P68.例3-3
P68.例3-4
P72.例3-5
P76.例3-7
P77.例3-8
P78.例3-9
P79.例3-10
P88.例3-15
P89.例3-16
P91.例3-17
P98.例3-24
P110.例3-30
P111.例3-31
P118.例3-36

第4章、插值法
(一)考核知识点
插值多项式，插值基函数，拉格朗日插值多项式，差商及其性质，牛顿插值多项式，差分与等距插值；分段线性插值；样条函数，三次样条插值函数。
(二) 复习要求
1.了解插值的概念。
2.掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。
3.了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。
4.了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。
5.了解埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。
6.知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。
7.会三次样条插值,知道其误差和收敛性。
（三）例题
例1. 设,则-x(x-2)，的二次牛顿插值多项式为;
例2. 设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3为互异节点的三次插值基函数,则=
例3. 给定数据表：，

1
2
4
6
7

4
1
0
1
1
求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。
解：

一阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
1
4

2
1
-3

4
0

6
1

7
1
0

由差商表可得4次牛顿插值多项式为：
，
插值余项为
。
例4 已知函数y=f(x)的观察数据为

xk
－2
0
4
5
yk
5
1
－3
1
试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn (x)，并计算f(－1)。
解 先构造基函数

所求三次多项式为
P3(x)=
＝＋－＋
＝
P3(－1)＝
例5. 已知一组观察数据为

0
1
2

1
2
3
试用此组数据构造Lagrange插值多项式, 并求。
解： ，
所以
=，
。
例6.，求，.
解：，
P130.例4-4
P131.例4-5
P133.例4-7
P135.例4-10
P142.例4-13
P143.例4-14
P145.例4-15

第5章、曲线拟合
(一)考核知识点
勒让德多项式；切比雪夫多项式；曲线拟合; 最小二乘法，正则方程组，线性拟合,超定方程组的最小二乘解,多变量的数据拟合,多项式拟合;正交多项式曲线拟合.
(二) 复习要求
1.了解函数逼近的基本概念,了解范数和内积空间。
2.了解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质,知道其他常用正交多项式。
3.了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多项式做最小二乘拟合。
（三）例题
1．已知实验数据如下：

19
25
31
38
44

19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
解：由题意，，
，
，

。
。

故法方程为，解得。
均方误差为
2. 给定数据表
x
-2
-1
0
1
2
y
-0.1
0.1
0.4
0.9
1.6
试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.
解
，

正则方程

的解为，，，
得到三次多项式

P174.例5-1
P176.例5-3
P178.例5-5
P180.例5-6
P181.例5-7
P182.例5-8

第6章、数值积分与数值微分
(一)考核知识点
代数精度；插值型求积公式，牛顿—柯特斯公式，梯形公式和辛普森公式, 复合求积公式，求积公式的误差，步长的自动选择，龙贝格求积公式，高斯型求积公式。(二点、三点)高斯―勒让德求积公式。
(二) 复习要求
1.了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。
2.掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项; 梯形公式和辛普生公式.
3. 掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。
4. 掌握龙贝格(Romberg)求积算法。
5.会高斯求积公式。
（三）例题
1．用下列方法计算积分，并比较结果。
(1)龙贝格方法； (2)三点及五点高斯公式.
解:
(1)采用龙贝格方法可得
k

0
1.333333

1
1.166667
1.099259

2
1.116667
1.100000
1.099259

3
1.103211
1.098726
1.098641
1.098613

4
1.099768
1.098620
1.098613
1.098613
1.098613
故有
(2)采用高斯公式时
此时 令则

利用三点高斯公式，则

利用五点高斯公式，则

2.用复化梯形公式和复化辛普森公式计算下列积分：
； n=8;
解：
。

精确值为。

P200.例6-5
P205.例6-8
P207.例6-9
P210.例6-11
P213.例6-12
P214.例6-13
P216.例6-14
P219.例6-15
P225.例6-17,例6-18

第7章、常微分方程初值问题的数值解法
(一)考核知识点
欧拉法, 后退欧拉法；梯形公式; 改进欧拉法；龙格―库塔法，局部截断误差。
(二) 复习要求
1.掌握欧拉法和改进的欧拉法，知道其局部截断误差。
2. 知道龙格¾库塔法的基本思想。知道二阶、三阶龙格¾库塔法。掌握四阶龙格――库塔法，知道龙格¾库塔法的局部截断误差。
（三）例题
例1 用欧拉法解初值问题,取步长h=0.2。
解h=0.2, f(x)=－y－xy2。首先建立欧拉迭代格式

当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，
有y(0.2)»y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8
当k＝1,x2=0.4时,已知x1=0.2, y1=0.8,
有y(0.4)»y2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4
当k=2,x3=0.6时,已知x2=0.4,y2=0.6144,
有y(0.6)»y3=0.2×0.6144×(4－0.4×0.6144)= 0.461321

例2 设初值问题 .
写出用改进的Euler法解上述初值问题数值解的公式，若，求解，保留两位小数。
解：改进的Euler公式是：

具体到本题中，求解的公式是：

代入求解得：,

例3．求解初值问题，取步长, 经典四阶龙格—库塔法的求解公式为：

其中 k1=8－3 yk；k2=5.6－2.1 yk；k3=6.32－2.37yk; k4=4.208＋1.578yk
即
P240.例7-1
P244.例7-2
P251.例7-3