数值计算方法复习.doc

2016计算方法复习务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容：1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky分解的平方根法求解方程组2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton插值多项式和余项3. 会Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速5. 会用欧拉预报校正法和经典四阶龙格库塔法求解初值问题6. 会最小二乘法多项式拟合7. 会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式第1章、数值计算引论(一)考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。(二) 复习要求1.了解数值分析的研究对象与特点。2.了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。3.了解误差的定性分析及避免误差危害。（三）例题例1. 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。例2. 为了提高数值计算精度, 当正数充分大时, 应将改写为 。例3. 的相对误差约是的相对误差的1/3 倍.第2章、非线性方程的数值解法(一)考核知识点对分法；不动点迭代法及其收敛性；收敛速度; 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法；Steffensen斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法。(二) 复习要求1.了解求根问题和二分法。2.了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。3.理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形。5.了解弦截法。（三）例题1.为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )(A) (B)(C) (D)迭代公式解：在(A)中,=1.076故迭代发散。应选择(A)。可以验证在(B)，(C)， (D)中，j(x)满足，迭代收敛。2.用Newton法求方程在区间内的根, 要求。解 此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。设则 ， Newton法迭代公式为， 取，得。 3设可微，求方程根的Newton迭代格式为4. 牛顿切线法是用曲线f(x)上的点的切线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0的解；而弦截法是用曲线f(x)上的；两点的连线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0的解.5. 试确定常数使迭代公式 .产生的序列收敛到，并使收敛阶尽量高.解 因为迭代函数为，而.根据定理知，要使收敛阶尽量高，应有，由此三式即可得到所满足的三个方程为： ，.解之得，且，故迭代公式是三阶收敛的.P25.例2-4P30.例2-6P33.例2-8P35例2-10P35.例2-11P38.例2-13P39.例2-14P41.例2-16P45.例2-18P48.例2-20第3章、线性代数方程组的数值解法(一)考核知识点高斯消去法，列主元消去法；矩阵三角分解法；平方根法；追赶法；迭代法的基本概念，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法，超松弛迭代法SOR，迭代解数列收敛的条件。(二) 复习要求1.了解矩阵基础知识，了解向量和矩阵的几种范数。2.掌握高斯消去法，掌握高斯列主元素消去法。4.掌握直接三角分解法，平方根法，了解追赶法，了解有关结论。5.了解矩阵和方程组的性态，会求其条件数。6.了解迭代法及其收敛性的概念。7.掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。（三）例题1.分别用顺序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脱尔分解)求解线性方程组解：1) Gauss消去法，回代 x3=3, x2=2, x1=12) 直接三角分解法(杜利脱尔分解)：=LU解Ly=b得y=(14,-10,-72)T解，Ux=y得x=(1,2,3)T2. 用平方根法（Cholesky分解）求解方程组：解：由系数矩阵的对称正定性，可令，其中L为下三角阵。求解可得，求解可得3.讨论的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性其中，解：Jacobi迭代法的迭代矩阵则Jacobi迭代收敛Gauss-Seidel迭代矩阵Gauss-Seidel迭代发散.4.已知方程组，其中，(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；(2)讨论上述两种迭代法的收敛性。解：（1）Jacobi迭代法： Jacobi迭代矩阵： 收敛性不能确定 （2）Gauss-Seidel迭代法： Gauss-Seidel迭代矩阵： 该迭代法收敛 5. 给定方程组，用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法是否收敛？解：由系数矩阵可知，（1）雅可比迭代矩阵为，由可知，因而雅可比迭代法发散。（2）高斯-塞德尔迭代矩阵为，由可知，因而高斯-塞德尔迭代法收敛。P68.例3-3P68.例3-4P72.例3-5P76.例3-7P77.例3-8P78.例3-9P79.例3-10P88.例3-15P89.例3-16P91.例3-17P98.例3-24P110.例3-30P111.例3-31P118.例3-36第4章、插值法(一)考核知识点插值多项式，插值基函数，拉格朗日插值多项式，差商及其性质，牛顿插值多项式，差分与等距插值；分段线性插值；样条函数，三次样条插值函数。(二) 复习要求1.了解插值的概念。2.掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。3.了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。4.了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。5.了解埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。6.知道高次插值的病态性质,会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。7.会三次样条插值,知道其误差和收敛性。（三）例题例1. 设,则-x(x-2)，的二次牛顿插值多项式为;例2. 设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3为互异节点的三次插值基函数,则= 例3. 给定数据表：，1246741011求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。解：一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商1421-34061710由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。例4 已知函数y=f(x)的观察数据为xk2045yk5131试构造f(x)的拉格朗日多项式Pn (x)，并计算f(1)。解 先构造基函数 所求三次多项式为P3(x)= P3(1)例5. 已知一组观察数据为012123试用此组数据构造Lagrange插值多项式, 并求。解： ，所以 =，。例6.，求，.解：，P130.例4-4P131.例4-5P133.例4-7P135.例4-10P142.例4-13P143.例4-14P145.例4-15第5章、曲线拟合(一)考核知识点勒让德多项式；切比雪夫多项式；曲线拟合; 最小二乘法，正则方程组，线性拟合,超定方程组的最小二乘解,多变量的数据拟合,多项式拟合;正交多项式曲线拟合.(二) 复习要求1.了解函数逼近的基本概念,了解范数和内积空间。2.了解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质,知道其他常用正交多项式。3.了解曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多项式做最小二乘拟合。（三）例题1已知实验数据如下：192531384419.032.349.073.397.8用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。解：由题意，。故法方程为，解得。均方误差为2. 给定数据表x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据.解 ， 正则方程 的解为， 得到三次多项式P174.例5-1P176.例5-3P178.例5-5P180.例5-6P181.例5-7P182.例5-8第6章、数值积分与数值微分(一)考核知识点代数精度；插值型求积公式，牛顿柯特斯公式，梯形公式和辛普森公式, 复合求积公式，求积公式的误差，步长的自动选择，龙贝格求积公式，高斯型求积公式。(二点、三点)高斯勒让德求积公式。(二) 复习要求1.了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。2.掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项; 梯形公式和辛普生公式.3. 掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。4. 掌握龙贝格(Romberg)求积算法。5.会高斯求积公式。（三）例题1用下列方法计算积分，并比较结果。(1)龙贝格方法； (2)三点及五点高斯公式.解: (1)采用龙贝格方法可得k01.33333311.1666671.09925921.1166671.1000001.09925931.1032111.0987261.0986411.09861341.0997681.0986201.0986131.0986131.098613故有(2)采用高斯公式时 此时 令则利用三点高斯公式，则利用五点高斯公式，则2.用复化梯形公式和复化辛普森公式计算下列积分：； n=8;解：。精确值为。P200.例6-5P205.例6-8P207.例6-9P210.例6-11P213.例6-12P214.例6-13P216.例6-14P219.例6-15P225.例6-17,例6-18第7章、常微分方程初值问题的数值解法(一)考核知识点欧拉法, 后退欧拉法；梯形公式; 改进欧拉法；龙格库塔法，局部截断误差。(二) 复习要求1.掌握欧拉法和改进的欧拉法，知道其局部截断误差。2. 知道龙格库塔法的基本思想。知道二阶、三阶龙格库塔法。掌握四阶龙格库塔法，知道龙格库塔法的局部截断误差。（三）例题例1 用欧拉法解初值问题,取步长h=0.2。解h=0.2, f(x)=yxy2。首先建立欧拉迭代格式 当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有y(0.2)y1=0.21(401)0.8当k1,x2=0.4时,已知x1=0.2, y1=0.8,有y(0.4)y2=0.20.8(40.20.8)0.614 4当k=2,x3=0.6时,已知x2=0.4,y2=0.6144,有y(0.6)y3=0.20.6144(40.40.6144)= 0.461321例2 设初值问题 .写出用改进的Euler法解上述初值问题数值解的公式，若，求解，保留两位小数。解：改进的Euler公式是： 具体到本题中，求解的公式是： 代入求解得：, 例3求解初值问题，取步长, 经典四阶龙格库塔法的求解公式为：其中 k1=83 yk；k2=5.62.1 yk；k3=6.322.37yk; k4=4.2081.578yk即P240.例7-1P244.例7-2P251.例7-3