13线性子空间的相关理论.pptx

线线 性性 空空 间间 引引 论论Department of Mathematics,College of Sciences哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系Department of Mathematics 线线线线 性性性性 空空空空 间间间间 与与与与 线线线线 性性性性 映映映映 射射射射第第第第 一一一一 章章章章Department of Mathematics 定理定理1：设设W为为n维线性空间维线性空间V的任一子空间，的任一子空间，是是W的一组基，则有的一组基，则有定理定理21）；为线性空间为线性空间V 中的两组向中的两组向量，则量，则与与 等价等价 2）生成子空间生成子空间 的维数的维数向量组向量组 的秩的秩一一,子空间的相关定理子空间的相关定理 1.3 线性子空间的相关理论线性子空间的相关理论Department of Mathematics证：证：1）若）若 则对则对 有有 ，从而从而 可被可被线性表线性表出出；同理每一个同理每一个也可被也可被 线性表出线性表出.所以，所以，与与 等价等价，可被可被 线性表出，线性表出，从而可被从而可被 线性表出，即线性表出，即 反之，反之，与与 等价等价 Department of Mathematics同理可得，同理可得，故，故，2 2）设向量组）设向量组 的秩的秩t，不妨设，不妨设 为它的一个极大无关组为它的一个极大无关组 则有则有与与 等价，等价，就是就是 的一组基，的一组基，所以，所以，的维数的维数tDepartment of Mathematics无关组，则无关组，则推论：推论：设是线性空间设是线性空间V 中不全为零中不全为零的一组向量，是它的一个极的一组向量，是它的一个极大大设设 ，称：，称：定理定理3：（1）为为 的的值域值域；（2）为为 的的核空间核空间；则则 是是 的子空间，的子空间，是是 的字空间。的字空间。Department of Mathematics 设设 ，则，则 定理定理4（1）（2）（3）（3）若）若 为为 的特征值，则：的特征值，则：为为 的子空间，称的子空间，称 为为 的对应于特征值的对应于特征值 的的特征子空间特征子空间。Department of Mathematics证明（证明（1）（2）由由 ，再由定理知，再由定理知 （3）由于由于 是方程组是方程组 的解空间，所的解空间，所以以 所以所以,由由(2)Department of Mathematics基扩充定理基扩充定理为为 V 的一组基即在的一组基即在 V 中必定可找到中必定可找到 nm 个向量个向量设设W为为 n 维线性空间维线性空间 V 的一个的一个 m 维子空间，维子空间，定理定理5为为W的一组基，则这组向量必定可扩充的一组基，则这组向量必定可扩充，使使 为为 V 的一组的一组基基定理成立定理成立 证明：证明：对对nm作数学归纳法作数学归纳法当当 nm0时，即时，即nm，就是就是V的一组基的一组基.假设当假设当nmk时结论成立时结论成立.下面我们考虑下面我们考虑 nmk1 的情形的情形Department of Mathematics必定是线性无关的必定是线性无关的既然既然 还不是还不是V的一组基，它又是线性的一组基，它又是线性无关的，那么在无关的，那么在V中必定有一个向量中必定有一个向量 不能被不能被 线性表出，把它添加进去，则线性表出，把它添加进去，则因因 n(m1)(nm)1(k1)1k，由定理，由定理，子空间子空间 是是m1维的维的可以扩充为整个空间可以扩充为整个空间V的一组基由归纳原理得证的一组基由归纳原理得证.由归纳假设，由归纳假设，的基的基Department of Mathematics它扩充为它扩充为R4的一组基，其中的一组基，其中例例1 求求 的维数与一组基，并的维数与一组基，并把把解答解答:对以对以 为列向量的矩阵为列向量的矩阵A作作初等行变换初等行变换Department of Mathematics由由B知，为知，为 的一个极大的一个极大故，维故，维 3，就是就是 的一组基的一组基.无关组无关组.Department of Mathematics则则 线性无关，从而为线性无关，从而为R4的一组基的一组基.Department of Mathematics也为也为V的子空间，的子空间，定义：定义：设设V1、V2为线性空间为线性空间V的子空间，则集合的子空间，则集合 称之为称之为V1与与V2的的交空间交空间.二二,子空间的交、和及维数定理子空间的交、和及维数定理1.交的概念交的概念任取任取 则有则有 同时有同时有 故故 为为V的子空间的子空间.事实上，事实上，Department of Mathematics显然有显然有,推广推广 多个子空间的交多个子空间的交 为线性空间为线性空间V的子空间，则集合的子空间，则集合也为也为V的子空间，称为的子空间，称为 的交空间的交空间.Department of Mathematics2,和的概念和的概念定义定义 设设V1、V2为线性空间为线性空间V的子空间，则集合的子空间，则集合 也为也为V的子空间，的子空间，称之为称之为V1与与V2的的和空间和空间.其中，其中，则有则有 任取设任取设 事实上，事实上，Department of Mathematics 推广推广多个子空间的和多个子空间的和 显然有显然有,为线性空间为线性空间V的子空间，则集合的子空间，则集合也为也为V的子空间，称为的子空间，称为 的和空间的和空间.若若 则称则称 为直和为直和记为记为Department of MathematicsV的两子空间的并集未必为的两子空间的并集未必为V的子空间的子空间.例如例如 注意注意：并不是并不是R3的子空间的子空间.因为它对因为它对R3的运算不封闭，如的运算不封闭，如但是但是皆为皆为R3的子空间，但是它们的并集的子空间，但是它们的并集 Department of Mathematics三三、子空间的交与和的有关性质子空间的交与和的有关性质 1.设设 为线性空间为线性空间V的子空间的子空间 1）若）若 则则 2）若）若 则则 2、设设 为线性空间为线性空间V的子空间，则以下三的子空间，则以下三条件等价条件等价:Department of Mathematics3，为线性空间为线性空间V(F)中两组向量，令：中两组向量，令：则：则：证明：证明：而而 可由可由 线性表示线性表示 同理：同理：可由可由 线性表示，所以：线性表示，所以：可由可由 线性表示线性表示 即：即：Department of Mathematics4、维数公式、维数公式设设 为线性空间为线性空间V的两个子空间，则的两个子空间，则或或反之：反之：所以：所以：Department of Mathematics由扩基定理，它可扩充为由扩基定理，它可扩充为V1的一组基的一组基证：证：设设取的一组基取的一组基 它也可扩充为它也可扩充为V2的一组基的一组基即有即有 Department of Mathematics所以，有所以，有 下证下证线性无关线性无关.假设有等式假设有等式令令 Department of Mathematics则有则有 即可被即可被 线性表出线性表出 令令 则则 即即 从而有从而有 由于线性无关，得由于线性无关，得 因而因而 Department of Mathematics由于线性无关，得由于线性无关，得 所以所以，线性无关线性无关.因而它是因而它是 的一组基的一组基.Department of Mathematics注：注：从维数公式中可以看到，子空间的和的维数从维数公式中可以看到，子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小往往比子空间的维数的和要小.例如，在例如，在R3中，设子空间中，设子空间其中，其中，但，但，则，则，由此还可得到，由此还可得到，是一直线是一直线.维数的和是维数的和是4 4和的维数是和的维数是3 3Department of Mathematics推论：推论：设设 为为 n 维线性空间维线性空间V的两个子空间，的两个子空间，若若 ，则，则 必含非零的公共必含非零的公共向量向量.即中必含有非零向量即中必含有非零向量.证：证：由维数公式有由维数公式有又是又是V的子空间，的子空间，若若则则故中含有非零向量故中含有非零向量.Department of Mathematics例例3、在在 中，用分别表示齐次线性方程组中，用分别表示齐次线性方程组 的解空间，则就是齐次线性方程组的解空间，则就是齐次线性方程组 Department of Mathematics 的解空间的解空间.证：证：设方程组设方程组,分别为分别为 Department of Mathematics即即 设设W为为的解空间，任取的解空间，任取，有，有从而从而 反之，任反之，任 取，则有取，则有 从而从而 故故Department of Mathematics例例4、在在 中，设中，设1）求求 的维数的与一组基；的维数的与一组基；2）求求 的维数的与一组基的维数的与一组基.Department of Mathematics解：解：1)任取任取 设设 则有则有()解解 得得（t为任意数）为任意数）()即即Department of Mathematics令令 t=1，则得则得 的一组基的一组基 为一维的为一维的.2)对以对以 为列向量的矩阵为列向量的矩阵A作初等行变换作初等行变换 Department of Mathematics为为3维的，维的，由由B知，知，为为 的一个极大无关组的一个极大无关组.为其一组基为其一组基.Department of Mathematics在中，令在中，令 求及求及易知，皆为易知，皆为 的子空间的子空间.练练 习习Department of Mathematics 任取任取由有由有由有由有故，故，从而，从而，Department of Mathematics再求再求因为，因为，Department of Mathematics所以，所以，Department of Mathematics从维数定理知从维数定理知有有两种情形：两种情形：由维数公式由维数公式设设 为线性空间为线性空间V的两个子空间，的两个子空间，此时此时 即，必含非零向量即，必含非零向量.四四,论子空间的直和论子空间的直和Department of Mathematics情形情形2）是子空间的和的一种特殊情况）是子空间的和的一种特殊情况直和直和此时此时 不含非零向量，即不含非零向量，即 Department of Mathematics直和的定义直和的定义注注:若有若有 则则 分解式分解式 唯一的，意即唯一的，意即 设设 为线性空间为线性空间V的两个子空间，若和的两个子空间，若和是唯一的，和就称为是唯一的，和就称为直和直和，记作，记作 中每个向量的分解式中每个向量的分解式Department of Mathematics 分解式唯一分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中的不是在任意两个子空间的和中都成立都成立.例如，例如，R3的子空间的子空间这里，这里，在和中，向量的分解式不唯一，如在和中，向量的分解式不唯一，如所以和不是直和所以和不是直和.Department of Mathematics总之，总之，设为线性空间设为线性空间V的子空间，则下面的子空间，则下面四个条件等价四个条件等价:2）零向量分解式唯一）零向量分解式唯一1）是直和）是直和 3）4）余子空间：余子空间：设设U是线性空间是线性空间V的一个子空间，的一个子空间，称这样的称这样的W为为U的一个的一个余子空间余子空间余子空间余子空间.则必存在一个子空间则必存在一个子空间W，使，使 Department of Mathematics证：证：取取U的一组基的一组基把它扩充为把它扩充为V的一组基的一组基则则 余子空间余子空间 一般不是唯一的一般不是唯一的(除非除非U是平凡子空间是平凡子空间).注意：注意：如，在如，在R3中，设中，设则则 但但Department of Mathematics 设设 分别是线性子空间分别是线性子空间的一组基，则的一组基，则是直和是直和线性无关线性无关.证：证：由题设，由题设，若线性无关若线性无关，则它是则它是 的一组基的一组基.从而有从而有定理：定理：Department of Mathematics反之反之,若若 直和，则直和，则从而的秩为从而的秩为rs.所以线性无关所以线性无关.是直和是直和.Department of Mathematics 练习练习2：设：设A是数域是数域F上上n阶可逆矩阵阶可逆矩阵.任意将任意将A分为分为试证：试证：n维线性空间维线性空间Fn是齐次线性方程组是齐次线性方程组A1X=0的解的解空间空间V1与与A2X=0的解空间的解空间V2的直和的直和.两个子块两个子块 证明证明:由于由于A是可逆矩阵是可逆矩阵,那么那么A的所有行向量线性的所有行向量线性无关无关,不妨设不妨设r(A1)=r,那么显然有那么显然有r(A2)=n-r.注意到注意到Department of Mathematics 那么有那么有A1A-1=(Ir,0),A2A-1=(0,In-r).对任意的对任意的XRn,不妨设不妨设 其中其中 分别是分别是r维和维和n-r维向量维向量.那么有那么有:有有:Department of Mathematics 令令显然显然V为为V1和和V2的和的和.又有又有dimV1=n-r,dimV2=r,dim(V1+V2)=dimV=n.于是由维数公式于是由维数公式 dim(V1+V2)+dim(V1V2)=dimV1+dimV2可知必有可知必有dim(V1V2)=0,也即也即V1V2=0,显然显然V为为V1和和V2的直和的直和.Department of Mathematics证明证明:对于对于i=1,2,都有都有dim(Wi+W)=dimWi+dimW-dim(WiW).由题目条件有由题目条件有dim(W1W)=dim(W2W),dim(W1+W)=dim(W2+W).例例 设设W,W1,W2是向量空间是向量空间V的子空间的子空间W1 W2,W1W=W2W,W1+W=W2+W.证明证明:W1=W2.那么显然有那么显然有dimW1=dimW2.又由又由W1 W2,可知可知W1=W2.Department of Mathematics