双曲线知识点总结.pdf

圆锥曲线-双曲线主要知识点主要知识点1、双曲线的定义:(1)定义：_(2)数学符号：_(3)应注意问题：2、双曲线的标准方程：图像标准方程不同点相同点注意：如何根据双曲线的标准方程判断出它的焦点在哪个轴上？进一步，如何求出焦点坐标？3、双曲线的几何性质标准方程焦点 焦距范围顶点实轴虚轴性质对称性离心率渐近线注意：（1）如何比较标准地在直角坐标系中画出双曲线的图像？（2）双曲线的离心率的取值范围是什么？离心率有什么作用？（3）当，双曲线有什么特点？时ba 4双曲线的方程的求法（1）双曲线的方程与双曲线渐近线的关系已知双曲线段的标准方程是（或），22221xyab(0,0)ab22221(0,0)xyabba则渐近线方程为_；已知渐近线方程为，则双曲线的方程可表示为0bxay_。（2）待定系数法求双曲线的方程与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可表示为22221xyab_；若双曲线的渐近线方程是，则双曲线的方程可表示为byxa _；与双曲线共焦点的双曲线方程可表示为22221xyab_；过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为_；与椭圆有共同焦点的双曲线的方程可表示为22221xyab(0)ab_。5双曲线离心率的有关问题（1），它决定双曲线的开口大小，越大，开口越大。cea1e e（2）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率。2e（3）双曲线离心率及其范围的求法。双曲线离心率的求解，一般可采用定义法、直接法等方法求解。双曲线离心率范围的求解，一般可以从以下几个方面考虑：与已知范围联系，a通过求值域或解不等式来完成；通过判别式；利用点在曲线内部形成的不等bc式关系；利用解析式的结构特点。d6、直线与双曲线的位置关系的判定及相关计算（1）直线与双曲线的位置关系有：_、_、_注意:如何来判断位置关系？（2）若斜率为 k 的直线被双曲线所截得的弦为 AB，A、B 两点分别为 A(x1，y1)、B(x2,y2)，则相交弦长 _AB二、典型例题：考点一：双曲线的定义考点一：双曲线的定义例例 1 1 已知动圆 M 与圆 C1：(x+4)2+y2=2 外切，与圆 C2：(x-4)2+y2=2 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程.变式训练：变式训练：由双曲线=1 上的一点 P 与左、右两焦点 F1、F2构4922yx成PF1F2，求PF1F2的内切圆与边 F1F2的切点坐标.巩固训练：(1).F1、F2是双曲线=1 的焦点，点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点162x202yF1的距离等于 9，求点 P 到焦点 F2的距离.(2).过双曲线 x2-y2=8 的左焦点 F1有一条弦 PQ 在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q 的周长是 .(3).一动圆与两定圆和都外切，则动圆圆心轨迹为122 yx012822xyxA.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线考点二：双曲线的方程考点二：双曲线的方程例例 2 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线=1 有共同的渐近线，且过点（-3，2）；16922yx3（2）与双曲线=1 有公共焦点，且过点（3，2）.41622yx2变式训练：变式训练：已知双曲线的渐近线的方程为 2x3y=0,（1）若双曲线经过 P（，2），求双曲线方程；6（2）若双曲线的焦距是 2，求双曲线方程；13（3）若双曲线顶点间的距离是 6，求双曲线方程.巩固训练：(1)求与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程；221255xy(3 2,2)(2)中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，求双曲线的标(3,0)5:4准方程；(3)已知双曲线的离心率，经过点，求双曲线的方程；2e(5,3)M(4)与双曲线有共同渐近线，且过点的双曲线方程;1422yx)2,2(5)已知双曲线(a0,b0)的两条渐近线方程为，若顶点到渐近12222byaxxy33线的距离为 1，则双曲线方程为_.(6).已知方程表示双曲线，则的取值范围是_.22121xymmm(7).经过两点的双曲线的标准方程为_.)3,72(),26,7(BA考点三：考点三：双曲线的几何性质例例 3 3 双曲线 C：=1(a0,b0)的右顶点为 A，x 轴上有一点 Q（2a，0），若 C 上2222byax存在一点 P，使=0，求此双曲线离心率的取值范围.APPQ变式训练：变式训练：已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F2在坐标轴上，离心率为,且过点2P（4，-）.（1）求双曲线方程；（2）若点 M（3，m）在双曲线上，求证：101MF=0；（3）求F1MF2的面积.2MF巩固训练：（1）已知双曲线(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角12222byax为 60的直线与双曲线的一条渐近线平行，则此双曲线的离心率是：A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为:2221(2)2xyaa3A.2 B.C.D.32 632 33(3)设双曲线的个焦点为 F；虚轴的个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_.(4)双曲线的一个焦点为F(4，0)，过双曲线的右顶点作垂直于22221(0,0)xyababx轴的垂线交双曲线的渐近线于A，B两点，O为为坐标原点，则AOB面积的最大值为:A.8 B.16 C.20 D.24考点四：考点四：双曲线的离心率例例 1 1、已知 F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点，过 F1作垂直于22221(0,0)xyababX X 轴的直线与双曲线交于 A A、B B 两点，若AF2B 是直角三角形，求双曲线的离心率。变式训练：1、若AF2B 是等边三角形，则双曲线的离心率为_。2、若AF2B 是锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为_。3、若AF2B 是钝角三角形，则双曲线的离心率的取值范围为_。巩固训练巩固训练：1、已知 F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点，过 F2作倾斜角为22221(0,0)xyabab的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。602、已知 F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点，过 F2作垂直于渐22221(0,0)xyabab近线的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。3、直线与双曲线没有公共点，则的取值范围为_,有两1 kxy422 yxk个公共点，则的取值范围为_,有一个公共点，则的取值范围为_,与kk左支有两个公共点，则的取值范围为_。k考点五：考点五：双曲线中的焦点三角形例、设 F1和 F2为双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，已知22xy1169F1PF2=600求F1PF2的面积变式训练：设 F1和 F2为双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，22xy1169已知PF1PF2=32,求F1PF2的余弦值与三角形 F1PF2面积巩固训练：1.双曲线左焦点的弦长为 6，则（为右焦点）的周长是221169xy1FAB2ABF2F_2、已知定点，且，动点满足，则的最小值是 AB，6AB P4PAPBPA3、设 F1和 F2为双曲线的两个焦点，P 为双曲线上一点，若F1PF2=900,22xy14则三角形 F1PF2面积是 4、设 F1和 F2为双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，已知F1PF2=60022xy1169则 P 点到 F1和 F2两点的距离之和为_5、已知双曲线 C （a0,b0）的两个焦点为 F1(-2,0),F2(2,0),点 P（3，2222xy1ab）在双曲线 C 上（1）求双曲线 C 的方程（2）记 O 在坐标原点，过 Q（0，2）的7直线 L 与双曲线 C 相交于不同的两点 E,F，若OEF 的面积 2，求直线 L 的方程2考点六：考点六：直线和双曲线的位置关系例 4.已知曲线的离心率，直线l过A(a，0)、B22221(0,0)xyabab2 33e 两点，原点O到l的距离是。(1)求双曲线的方程；(2)过点B作直线m交(0,)b32双曲线于M、N两点，若，求直线m的方程。23ONOM变式训练：练：直线的右支交于不同的两点12:1:22yxCkxyl与双曲线A、B.（）求实数k的取值范围；（）是否存在实数k，使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.