1、双曲线与方程双曲线与方程【知识梳理知识梳理】1、双曲线的定义、双曲线的定义(1)平面内,到两定点、的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹称为双曲线,其中两1F2F1222,0a FFa a定点、称为双曲线的焦点,定长称为双曲线的实轴长,线段的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线1F2F2a12FF的第一定义.【注】,此时点轨迹为两条射线.12122PFPFaFFP(2)平面内,到定点的距离与到定直线的距离比为定值的点的轨迹称为双曲线,其中定点称为双曲线的1e e 焦点,定直线称为双曲线的准线,定值 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.e2、双曲线的简单性质、双曲线的简单性质标准方程222
2、21,0 xya bab22221,0yxa bab顶点坐标,0Aa0,Ba焦点坐标左焦点,右焦点1,0Fc2,0Fc上焦点,下焦点10,Fc20,Fc虚轴与虚轴实轴长、虚轴长2a2b实轴长、虚轴长2a2b有界性xa,ya对称性关于轴对称,关于轴对称,同时也关于原点对称.xy3、渐近线、渐近线双曲线的渐近线为,即,或.22221,0 xya bab22220 xyab0 xyabbyxa【注】与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为;22221xyab22220 xyab 渐近线为的双曲线方程可以设为;byxa 22220 xyab 共轭双曲线:共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚
3、轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.等轴双曲线:等轴双曲线:实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.4、焦半径、焦半径双曲线上任意一点到双曲线焦点的距离称为焦半径.若为双曲线上的任意一点,PF00(,)P xy22221,0 xya bab,为双曲线的左、右焦点,则,其中.1(,0)Fc2(,0)F c10|PFexa20|PFexacea5、通径、通径过双曲线焦点作垂直于虚轴的直线,交双曲线于、两点,称线段为双曲线的通径,22221,0 xya babFABAB且.22bABa6、焦点三角形、焦点三角形为双曲线上的任意一点,为双曲线的左右焦点,称为双曲线的焦P222
4、21,0 xya bab1(,0)Fc2(,0)F c12PFF点三角形.若,则焦点三角形的面积为:.12FPF122cot2F PFSb7、双曲线的焦点到渐近线的距离为、双曲线的焦点到渐近线的距离为(虚半轴长)(虚半轴长).b8、双曲线、双曲线的焦点三角形的内心的轨迹为的焦点三角形的内心的轨迹为22221,0 xya bab0 xa y 9、直线与双曲线的位置关系、直线与双曲线的位置关系直线,双曲线:,则:0l AxByC22221,0 xya bab与相交;l22222a Ab BC与相切;l22222a Ab BC与相离.l22222a Ab BC10、平行于(不重合)渐近线的直线与双曲
5、线只有一个交点、平行于(不重合)渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点,这样的直线可以为 4 条、3 条、2 条,或者 0 条.11、焦点三角形角平分线的性质、焦点三角形角平分线的性质点是双曲线上的动点,是双曲线的焦点,是的角平分线上一点,且(,)P x y22221,0 xya bab12,F FM12FPF,则,即动点的点的轨迹为.20F M MPuuuu r uuu rOMaM222xyaxa 12、双曲线上任意两点的坐标性质、双曲线上任意两点的坐标性质为双曲线上的任意两点,且,则.1122,A x yB xy22221,0 xya bab12
6、xx2221222212yybxxa【推广 1】直线 过双曲线的中心,与双曲线交于两点,为双曲线上的任l22221,0 xya bab1122,A x yB xyP意一点,则(均存在).22APBPbkka,APBPkk【推广 2】设直线交双曲线于两点,交直线于点若110lyk xm m、22221,0 xya babCD、22lyk x、E为的中点,则.ECD2122bk ka13、中点弦的斜率、中点弦的斜率直线 过与双曲线交于两点,且,则直线 的斜率l000,0M xyy 22221,0 xya bab,A BAMBMl.2020ABb xka y14、点是双曲线上的动点,过作实轴的平行线
7、,交渐近线于两(,)(0,0)P x yxy22221,0 xya babP,M N点,则定值.PM PN 2a15、点是双曲线上的动点,过作渐近线的平行线,交渐近线于(,)(0,0)P x yxy22221,0 xya babP两点,则定值.,M NOMPNSY2ab【典型例题典型例题】例例 1、双曲线的渐近线方程为,焦距为,这双曲线的方程为_.20 xy10【变式变式 1】若曲线表示双曲线,则的取值范围是_.22141xykkk【变式变式 2】双曲线的两条渐近线的夹角为_.22148xy【变式变式 3】已知椭圆和双曲线有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程为_.2222135xymn2222
8、123xymn【变式变式 4】若椭圆和双曲线有相同焦点、,为两曲线的一个交221(0)xymnmn221(0,0)xyabab1F2FP点,则_.12PFPF【变式变式 5】如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点,则实数的取值范围是2yx22:4C xy()A B.C.D.1,1)1,0(,10,1)U 1,0(1,)U【变式变式 6】直线与双曲线的渐近线交于两点,设为双曲线上的任意一点,若2x14:22 yxCBA,PC(为坐标原点),则下列不等式恒成立的是()OBbOAaOPORba,A.B.222ab2122baC.D.222ab2212ab【变式变式 7】设连接双曲线与的四个顶点为
9、四边形面积为,连接其四个焦点的四边形面积22221xyab22221yxba1S为,则的最大值为_.2S12SS例例 2、设分别是双曲线的左右焦点,若点在双曲线上,且,则12FF、2219yx P12=0PF PFuuu r uuu u rg=_.12PFPFuuu ruuu u r【变式 1】过双曲线的左焦点的弦,则(为右焦点)的周长为_.221109xy1F6AB 2ABF2F【变式 2】双曲线的左、右焦点、,是双曲线上的动点,且,则_.2211620 xy1F2FP19PF 2PF 例例 3、设是双曲线的两个焦点,点是双曲线的任意一点,且,求的面12FF、2214xyP123FPF12P
10、FF积.例例 4、已知直线与双曲线有两个不同的交点,如果以为直径的圆恰好过原点,1ykx2231xyAB、ABO试求的值.k例例 5、已知直线与双曲线相交于两点,那么是否存在实数使得两点关于直线1ykx2231xyAB、kAB、对称?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.20 xyk例例 6、已知双曲线的右焦点为,若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,求此直线的斜221124xyFF率的取值范围为_.【变式 1】已知曲线:;C21(4)xy yx(1)画出曲线的图像;C(2)若直线:与曲线有两个公共点,求的取值范围;l1ykxCk(3)若,为曲线上的点,求的最小值.0Pp、0p QCPQ
11、【变式 2】直线:与曲线:.l10axy C2221xy(1)若直线 与曲线有且仅有一个交点,求实数的取值范围;lCa(2)若直线 被曲线截得的弦长,求实数的取值范围;lC22 1PQaa(3)是否存在实数,使得以为直径的圆经过原点,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.aPQa例例 7、已知是双曲线的左焦点,,是双曲线右支上的动点,求的最小值.F221412xy(14)A、PPFPA【变式】是双曲线的右支上一点,分别是圆和上的点,则P221916xy,M N2254xy2251xy的最大值等于_.PMPN例例 8、已知动圆与两个定圆和都外切,求动圆圆心的轨迹方程.P2251xy22549x
12、yP【变式 1】的顶点为,,的内切圆圆心在直线上,则顶点的轨迹方程是ABC5 0A 、5,0BABC3x C_.【变式 2】已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为,直线与其相交于两点,线段7,0F1yxMN、的中点的横坐标为,求此双曲线的方程.MN23例例 9、已知双曲线,若点为双曲线上任一点,则它到两渐近线距离的乘积为_.221916xyM例例 10、焦点在轴上的双曲线的两条渐近线经过原点,且两条渐近线均与以点为圆心,以 1 为半径的xC(0,2)P圆相切,又知双曲线的一个焦点与关于直线对称CPyx(1)求双曲线的方程;(2)设直线与双曲线的左支交于两点,另一直线 经过点及的中点,求直线 在1
13、ymxC,A Bl(2,0)M ABl轴上的截距的取值范围.n【变式】设直线 的方程为,等轴双曲线:右焦点为.l1ykxC222xya2,0(1)求双曲线的方程;(2)设直线 与双曲线的右支交于不同的两点,记中点为,求实数的取值范围,并用表示点lAB、ABMkk的坐标;M(3)设点,求直线在轴上的截距的取值范围.1,0Q QMy例例 11、已知双曲线方程为:.C2212yx(1)已知直线与双曲线交于不同的两点,且线段的中点在圆上,求的0 xymCAB、AB225xym值;(2)设直线 是圆:上动点()处的切线,与双曲线交于不同的两点lO222xy00(,)P xy000 x y lC,证明的大
14、小为定值.AB、AOB例例 12、已知中心在原点,顶点在轴上,其渐近线方程是,双曲线过点.12AA、x2 33yx 6,6P(1)求双曲线的方程;(2)动直线 经过的重心,与双曲线交于不同的两点,问:是否存在直线,使平分线段l12APAGMN、lG,证明你的结论.MN例例13、已知点、为双曲线:的左、右焦点,过作垂直于轴的直线,在轴上方交1F2FC01222bbyx2Fxx双曲线于点,且圆的方程是CM3021FMFO222byx(1)求双曲线的方程;C(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为、,求的值;CP1P2P21PPPP(3)过圆上任意一点作圆的切线 交双曲线于、两点,中点为,求证:O00y,xQOlCABABM例例 14、已知双曲线:的一个焦点是,且C222210,0 xyabab22,0Fab3(1)求双曲线的方程;C(2)设经过焦点的直线l的一个法向量为,当直线 与双曲线 C 的右支相交于不同的两点时,求实2F)1,(mlBA,数的取值范围;并证明中点在曲线上mABM3)1(322yx(3)设(2)中直线 与双曲线的右支相交于两点,问是否存在实数,使得为锐角?若存在,请lCBA,mAOB求出的范围;若不存在,请说明理由m