函数连续性定义和间断点.ppt

一、一、函数函数连续性的定性的定义 二、二、函数的函数的间断点断点 一、一、函数在一点的函数在一点的连续性性可可见,函数函数在点在点(1)在点在点即即(2)极限极限(3)连续必必须具具备下列条件下列条件:存在存在;有定有定义,存在存在;1.定定义:在在的某的某邻域内有定域内有定义,则称函数称函数设函数函数且且注意注意:在在点点连续,则极限运算和函数运极限运算和函数运算算 可以交可以交换顺序。即：序。即：(1)若若(2)函数函数存在存在例例1:讨论函数函数 在点在点处的的连续性性 2.函数函数在在点点连续的等价定的等价定义定义：设函数定义：设函数 自变量由自变量由 变到变到 ,则则叫做叫做自变量的增量自变量的增量；相应的函数值由；相应的函数值由 变到变到 ,则则 叫做叫做函数值函数值 的增量的增量（改变量）（改变量）当时,有函数函数在点在点连续有下列等价命题连续有下列等价命题:右连续左连续例例2.证明函数明函数在在点点连续.定定义1：若：若在某区在某区间上每一点都上每一点都连续,则称它在称它在该区区间上上连续,或称它或称它为该区区间上的上的连续函数函数.同理可同理可证：函数：函数在在点点连续.3.区区间上的上的连续函数函数.连续函数的函数的图形是一条形是一条连续而不而不间断的曲断的曲线.由例由例2知函数知函数及及在其定在其定义域区域区间内是内是连续的的二、二、函数的函数的间断点断点若函数在点不连续，则称 在点 间断，称为间断点间断点.在在(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但 不连续:则下列情形之一函数 在点虽有定义,但虽有定义,且在无定义;1.可去可去间断点断点，则称称为的可去的可去间断点断点但但如果如果，而，而 在在点无定点无定义，或者有定，或者有定义例例2：设,讨论在在x=1的的连续性性注意：注意：可去间断点只要改变或者补充间断处函数的可去间断点只要改变或者补充间断处函数的 定义定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.例例3：设,讨论在在x=0处的的连续性性解解:2.跳跳跃间断点断点例例4：解解则称称为函数函数 的跳的跳跃间断点断点如果如果 在在点存在左、右极限，但点存在左、右极限，但跳跳跃间断点与可去断点与可去间断点断点统称称为第一第一类间断点断点.特点：特点：3.第二第二类间断点断点则称称为 的第二的第二类间断点断点函数函数 在在点的左、右极限至少有一个不存在，点的左、右极限至少有一个不存在，例例5：处的的连续性性在在讨论函数函数例例6解解例例7解解三、小三、小结1.函数在一点函数在一点连续必必须满足的三个条件足的三个条件;3.间断点的分断点的分类与判与判别;2.区区间上的上的连续函数函数;第一第一类间断点断点第二第二类间断点断点间断点断点(见下下图)可去可去间断点断点跳跳跃间断点断点左右极限都存在左右极限都存在 无无穷间断点断点振振荡间断点断点左右极限至少有左右极限至少有一个不存在一个不存在第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyx可去型可去型oyx四、四、连续函数的性函数的性质与运算性与运算性性性质1:（局部有界性）（局部有界性）若函数若函数在在点点连续则存在存在的一个的一个邻域域及定及定值，当，当时，有，有。当当时，性性质2:（局部保号性）（局部保号性）若函数若函数在在点点连续，则存在存在的一个的一个邻域域，有有性性质3：（：（连续函数的四函数的四则运算法运算法则）例如：例如：例例1：证明函数明函数在在内是内是连续的。的。性性质4：（复合函数的：（复合函数的连续性）性）例例2：讨论函数函数的的连续性。性。在在上上连续，在在上各自上各自连续连续，解：函数解：函数可以看做是由可以看做是由，复合而成的，复合而成的，在在上各自上各自连续。所以所以性性质5：（反函数的：（反函数的连续性）性）连续且且严格格单调递增（增（递减）的反函数必是减）的反函数必是连续且且严格格单调递增（增（递减）的函数减）的函数.五、初等函数的五、初等函数的连续性性定理定理2：一切初等函数在其定一切初等函数在其定义区区间内都是内都是连续的的.例如例如,定理定理1：基本初等函数在定基本初等函数在定义域内是域内是连续的的.备用题备用题 确定函数间断点的类型.解解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.1 1、解解右连续但不左连续右连续但不左连续,2 2、解解四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理;两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.思考题思考题思考题解答思考题解答是它的可去间断点是它的可去间断点练练 习习 题题练习题答案练习题答案第一类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点震荡间断点震荡间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点无定义无定义、值太高值太高、值太低值太低跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点震荡间断点震荡间断点哎呀哎呀,不好不好!有个有个洞洞,还没有还没有支撑支撑，我我掉下去了掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.哎呀哎呀,不好不好!有个有个洞洞,还没有还没有支撑支撑，我我掉下去了掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，连上了，我和其他的点连我和其他的点连上了！上了！哎呀哎呀,太高太高了了!够不够不着，又有个着，又有个洞洞,我我还是掉下去了还是掉下去了!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，连上了，我和其他的点连我和其他的点连上了！上了！哎呀哎呀,太低太低了了!跳不跳不上去，唉，只能上去，唉，只能在下面呆着了在下面呆着了!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好正好，连上了，连上了，我和其他的点连我和其他的点连上了！上了！哎呀哎呀,前不着村，后不前不着村，后不着店的，就是能单边着店的，就是能单边撑着，也靠不住啊，撑着，也靠不住啊，我还是掉下去了我还是掉下去了!注意到：这种间断点称为跳跃间断点.这点放哪儿能接上呢？哎，小红点，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！这种间断点称为无穷间断点：Hi,小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？：Hi,小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！这种间断点称为震荡间断点。有界定理;最值定理;零点定理;介值定理.3.闭区区间上上连续函数的性函数的性质例3.设函数在 x=0 连续,则 a=,b=.提示:1当时，较(A)等价无穷小量 (B)同阶无穷小量(C)低阶无穷小量 (D)高阶无穷小量是 （）课堂测验课堂测验2下列各式中正确的是 （）B C D A3无穷小量是（）A 比零稍大一点的一个数 B 一个很小很小的数C 以零为极限的一个变量 D 数零4.已知已知，则则a=_。5.计计算算练练 习习 题题练习题答案练习题答案