—空间群.pptx

第十一讲第十一讲 空间群空间群(3)(3)：非点式空间群非点式空间群1 1、非点式空间群非点式空间群举例分析举例分析2 2、空间群国际表空间群国际表举例分析举例分析3 3、二维空间群二维空间群(全部全部)何种格子、何种基元？何种格子、何种基元？晶体结构晶体结构=点阵点阵(布拉菲格子布拉菲格子布拉菲格子布拉菲格子)+基元基元(点群点群点群点群)空空间间群群：结结晶晶学学空空间间群群就就是是能能使使三三维维周周期期物物体体(无无限限大大晶晶体体)自自身身重重复复的的所所有有几几何何对对称称操操作作的的集集合合，它它构成数学意义上的群。构成数学意义上的群。晶晶体体的的宏宏观观外外形形可可视视作作一一个个连连续续整整体体的的有有限限图图形形，而而晶晶体体微微观观结结构构是是不不连连续续排排列列的的原原子子在在三三维维空空间间的的无无限限展展开开。晶晶体体宏宏观对称性是晶体结构观对称性是晶体结构(原子排列对称性原子排列对称性)即微观对称的反映。即微观对称的反映。点点群群中中对对称称要要素素必必须须交交于于一一点点，只只有有方方向向的的概概念念。微微观观对对称性中对称要素无须交于一点，要引入称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和位置平移和位置的概念。的概念。第九讲第九讲 空间群空间群(I)(I)：点式空间群点式空间群 螺螺旋旋轴轴：11种种，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65 滑移面：滑移面：a、b、c；n；d点对称操作：点对称操作：r=Rr r=xa+yb+zc r=xa+yb+zc空间群操作：空间群操作：r=R|tr=Rr+t (赛兹算符赛兹算符)对非点式操作对非点式操作 t=，是单胞的分数平移是单胞的分数平移，而对于，而对于点式操作点式操作t=0第十讲第十讲 空间群空间群(II)(II)：非点式对称操作非点式对称操作点点式式空空间间群群：由由全全部部作作用用于于同同一一个个公公共共点点上上的的对对称称操操作作完完全全确确定定，或或者者说说仅仅由由点点对对称称操操作和平移对称操作组合而产生。作和平移对称操作组合而产生。螺旋轴或滑移面不是其螺旋轴或滑移面不是其基本操作基本操作。点点式式空空间间群群在在单单胞胞中中一一定定至至少少有有一一个个位位置置具具有有与与空间群点群相同的空间群点群相同的位置对称性位置对称性空间群操作：空间群操作：r=R|tr=Rr+t (赛兹算符赛兹算符)对非点式操作对非点式操作 t=，是单胞的分数平移是单胞的分数平移是单胞的分数平移是单胞的分数平移对于点式操作对于点式操作t=0R|t、1|tn、R|0、R|点对称点对称条件条件晶系晶系点群点群四个三次轴四个三次轴四个三次轴四个三次轴三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方1(E)或或1(i)2(C2)或或2(m)两个两个2(C2)或或2(m)4(C4)或或4(S43)3(C3)或或3(S65)6(C6)或或6(S35)布拉菲布拉菲点阵点阵PP,BP,C,I,FP,IPP,I,FP1(C1),1(Ci)m(C1h),2(C2),2/m(C2h)222(D2),mm2(C2v),mmm(D2h)42m(D2d)4(S4),422(D4),4/mmm(D4h),4mm(C4v),4/m(C4h),4(C4),3m(D3d)3(C3),3m(C3v),32(D3),3(S6),622(D6),6/mmm(D6h),6mm(C6v),6/m(C6h),6(C6),62(D3h)6(C3h),23(T),m3(Th),432(O),m3m(Oh)43m(Td),晶系晶系点群点群布拉菲布拉菲点阵点阵7373种种种种点式空间群点式空间群三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方PPPPPPP1,1m,2,2/m222,mm2,mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3,3m,32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23,m3,432,m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,PmmmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3,P3m1,P312,P3,P23,Pm3,P432,Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222,Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3,R3m,R32,R3,P321,P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23,Im3,I432,Im3mI43m,F23,Fm3,F432,Fm3mF43m,Pmmm(D2h,No.47)1+,-+,-,+,-+,-+,-,+,-+,-+,-,+,-+,-+,-,+,-+P 2/m 2/m 2/m俯视图俯视图(单胞单胞)：(左左)一般等效点位置一般等效点位置 (右右)对称元素分布对称元素分布8 1 x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z.1 a mmm 0,0,0.abc+_+_+_+_+_+_+_+_+_+_+_+_螺旋轴螺旋轴,218 p 1 x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z;y,x,z;y,x,z;y,x,z;y,x,z.1 a 42 0,0,0.P422(D4)1Pm+,-+,-+,-+,-Bm+,-+,-+,-1/2+,1/2-+,-1/2+,1/2-1/4单斜单斜 B B滑移面滑移面+_+P222abc+_+_+_+纸面内二次轴纸面内二次轴+_+C222abc+_+_+_+_+螺旋轴螺旋轴,21点群各符号的顺序点群各符号的顺序晶系晶系在在在在 国国国国 际际际际 符符符符 号号号号 中中中中 的的的的 位位位位 置置置置123三斜三斜单斜单斜正交正交四方四方三方三方六方六方立方立方只用一个符号只用一个符号第一种定向：第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴是唯一轴2或或2沿沿a2或或2沿沿b2或或2沿沿c4或或4沿沿c2或或2沿沿a和和b2或或2沿沿ab3或或3沿沿c2或或2沿沿a、b和和a+b6或或6沿沿c2或或2 a、b和和a+b3或或3沿沿2或或2沿沿2或或2 a、b和和a+b2或或2沿沿a、b和和a+b4、4、2或或2沿沿62m(Li63L23P)xy6m2(Li63P3L2)xy三方三方六方六方3或或3沿沿c2或或2沿沿a、b和和a+b6或或6沿沿c2或或2 a、b和和a+b2或或2 a、b和和a+b2或或2沿沿a、b和和a+bP3m1(C3v,No.156)1P31m(C3v,No.157)2+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,P62m(D3h,No.189)3+,_,+,_,+,_,+,_,+,_,+,_,+,_,+,_,+,_,+,_,+,_,+,_,Origin at 62m12 l 1 x,y,z;y,x-y,z;y-x,x,z;x,y,z;y,x-y,z;y-x,x,z;y,x,z;x,y-x,z;x-y,y,z;y,x,z;x,y-x,z;x-y,y,z.1 b 6m2 0,0,.1 a 6m2 0,0,0.2(C2,L2)+_二次螺旋轴二次螺旋轴 21+_+1/2+_a/2或或b/2221二次旋转轴二次旋转轴二次螺旋轴二次螺旋轴221平行于纸面平行于纸面无无平行于纸面平行于纸面c/2a/2或或b/2螺旋操作螺旋操作：螺旋操作是一种对称操作，它是由真旋转螺旋操作是一种对称操作，它是由真旋转与平行于旋转轴的非初基平移结合而成的。与平行于旋转轴的非初基平移结合而成的。RIr=Rr+三次螺旋轴三次螺旋轴3132三次旋转轴三次旋转轴三次螺旋轴三次螺旋轴三次反演轴三次反演轴331323无无无无c/32c/33(C3,L3)+3+1/3+2/3+3132+2/3+1/3+四次螺旋轴四次螺旋轴4142434(C4,L4)+4+1/4+3/4+1/2+41+1/2+1/2+42+3/4+1/4+1/2+43四次旋转轴四次旋转轴4四次反演轴四次反演轴四次螺旋轴四次螺旋轴434无无无无c/441422c/43c/4六次螺旋轴六次螺旋轴6(C6,L6)[phone]+1/6+1/3+1/2+2/3+5/6+1/3+2/3+1/3+2/3+1/2+1/2+1/2+5/6+2/3+1/2+1/3+1/6+2/3+1/3+2/3+1/3+六次旋转轴六次旋转轴六次螺旋轴六次螺旋轴六次反演轴六次反演轴661656无无c/65c/6626364无无2c/63c/64c/6滑移面滑移面：滑移面是由非真旋转滑移面是由非真旋转2(m)与非初基平移结合而成与非初基平移结合而成的新对称操作，同样可由赛兹算符的新对称操作，同样可由赛兹算符RIr=Rr+描述。晶体中有描述。晶体中有三种不同的滑移面：三种不同的滑移面：轴滑移、对角轴滑移、对角n滑移、金刚石滑移。滑移、金刚石滑移。轴向滑移轴向滑移：平移矢量平移矢量 平行于平行于反映面，大小是单胞反映面，大小是单胞轴长的一半。有轴长的一半。有a滑移、滑移、b b滑移、滑移、c c滑移；滑移；n n滑移。滑移。ab+，b/2b/2+ab+，a/2a/2+ab+_，b/2b/2+a/2a/2n滑移滑移左左(中，右中，右)图：沿图：沿 b(a,c)滑移面的滑移面的a(b,n)轴滑移轴滑移 如如 Pban对称轴符号对称轴符号符符号号对称轴对称轴图示图示符号符号沿轴向的沿轴向的右手螺旋右手螺旋平移特征平移特征一次旋转轴一次旋转轴1一个反演轴一个反演轴二次旋转轴二次旋转轴二次螺旋轴二次螺旋轴三次旋转轴三次旋转轴三次螺旋轴三次螺旋轴三次反演轴三次反演轴2213313231无无无无无无平行于纸面平行于纸面无无平行于纸面平行于纸面无无无无c/2a/2或或b/2c/32c/3符符号号对称轴对称轴图示图示符号符号沿轴向的沿轴向的右手螺旋右手螺旋平移特征平移特征四次旋转轴四次旋转轴4四次反演轴四次反演轴四次螺旋轴四次螺旋轴六次旋转轴六次旋转轴六次螺旋轴六次螺旋轴六次反演轴六次反演轴43661654无无无无6无无c/4c/65c/641422c/43c/4626364无无2c/63c/64c/6对称面符号对称面符号符号符号对称面对称面反映面反映面(镜面镜面)轴滑移面轴滑移面ma,bcnd对角滑移面对角滑移面(网网)“金刚石金刚石”滑移面滑移面图示符号图示符号滑移特征滑移特征垂直于投影面垂直于投影面 平行于投影面平行于投影面没没有有(如如果果平平面面在在z=1/4的的高高度度，就就在在符符号号边边标标注注1/4)无无沿沿 100滑滑 移移 a/2，或或 沿沿010滑滑移移b/2，或或沿沿滑移滑移沿沿z轴轴滑滑移移c/2，或或在在菱菱形形轴轴中沿中沿111滑移滑移(a+b+c)/2(a+b)/2,(b+c)/2,(a+c)/2,或或(a+b+c)/2(四方和立方四方和立方)(ab)/4,(bc)/4,(ac)/4,或或(abc)/4(四方和立方四方和立方)(a或或b轴轴)(c轴轴)3/81/8Origin on 61P61(C6,No.169)2+1/6+1/3+1/2+2/3+5/6+1/6+1/3+1/2+2/3+5/6+1/6+1/3+1/2+2/3+5/6+1/6+1/3+1/2+2/3+5/6+Origin on 661+1/6+1/3+1/2+2/3+5/6+P65(C6,No.170)3P62(C6,No.171)4P64(C6,No.172)5P63(C6,No.173)6+1/3+2/3+1/3+2/3+1/2+1/2+1/2+5/6+2/3+1/2+1/3+1/6+2/3+1/3+2/3+1/3+1 1、非点式空间群非点式空间群举例分析举例分析2 2、空间群国际表空间群国际表举例分析举例分析3 3、二维空间群二维空间群(全部全部)P4nc4mm Tetragonal+,+,8 c 1 x,y,z;x,y,z;+x,-y,+z;-x,+y,+z;y,x,z;y,x,z;+y,+x,+z;-y,-x,-z.4 b 2 0,z;,0,z;0,+z;,0,+z.2 a 4 0,0,z;,+z.Origin on 4Number of positions,Wyckoff notation,and point symmetryCo-ordinates of equivalent positions6C4vNo.104P4ncConditions limiting possible reflectionsGeneral:hkl:No conditions 0kl:k+l=2n hkl:l=2nSpecial:hkl:h+k=2n;l=2n hkl:h+k+l=2nPmmm(D2h,No.47)1+,-+,-,+,-+,-+,-,+,-+,-+,-,+,-+,-+,-,+,-+P 2/m 2/m 2/m俯视图俯视图(单胞单胞)：(左左)一般等效点位置一般等效点位置 (右右)对称元素分布对称元素分布8 1 x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z;x,y,z.1 a mmm 0,0,0.Pban(D2h,No.50)4P 2/b 2/a 2/n8 m 1 x,y,z;x,y,z;1/2-x,1/2-y,z;1/2+x,1/2+y,z;x,y,z;x,y,z;1/2-x,1/2+y,z;1/2+x,1/2-y,z.2 a 222 0,0,0;,0.+,+,-,-,-+-+-+-+Origin at 222,at,0 from 1Orthorhombic mmmP 21/n 21/m 21/aNo.62Origin at 1_,_,+,_,_,+,_,+,+,+_P nma D2h16Number of positions,Wyckoff notation,and point symmetryCo-ordinates of equivalent positions 8 d 1 x,y,z;+x,-y,-z;x,+y,z;-x,y,+z;x,y,z;-x,+y,+z;x,-y,z;+x,y,-z.4 c m x,z;x,z;-x,+z;+x,-z.4 b 1 0,0,;0,;,0,0;,0.4 a 1 0,0,0;0,0;,0,;,.Origin at 1 P 21/n 21/m 21/aabc_,_,+,_,_,+,_,+,+,+_ 21/a 21/m 21/n ,Number of positions,Wyckoff notation,and point symmetryCo-ordinates of equivalent positions_,_,+,_,_,+,_,+,+,+_1 1、非点式空间群非点式空间群举例分析举例分析2 2、空间群国际表空间群国际表举例分析举例分析3 3、二维空间群二维空间群(全部全部)基元基元Basis点阵，点阵，Latticeab1234初基晶胞，初基晶胞，primitive unit cell晶胞，晶胞，lattice unit cellOblique,a b 90o基元基元Basis点阵，点阵，LatticeRectangular,a b =90oRectangular,a b =90oSquare,a=b =90o60o angle rhombus,Hexagonal,a=b =120oOblique,a b 90oRectangular,a b =90oSquare,a=b =90o60o angle rhombus,Hexagonal,a=b =120o斜方斜方长方长方有心长方有心长方正方正方六角六角对称条件对称条件晶系晶系特点特点四个三次轴四个三次轴四个三次轴四个三次轴三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方1(E)或或1(i)2(C2)或或2(m)两个两个2(C2)或或2(m)4(C4)或或4(S43)3(C3)或或3(S65)6(C6)或或6(S35)abc,abc,=90o abc,=90oa=bc,=90oa=bc,=90o,=120oa=b=c,=90oa=b=c,=菱形菱形a=bc,=90o,=120o全对称点群全对称点群12/mmmm4/mmm6/mmmm3m3m1(C1)m(C1h)1(Ci)42m(D2d)2(C2)2/m(C2h)222(D2)mm2(C2v)mmm(D2h)4(S4)422(D4)4/mmm(D4h)4mm(C4v)4/m(C4h)4(C4)62(D3h)6(C3h)622(D6)6/mmm(D6h)6mm(C6v)6/m(C6h)6(C6)23(T)m3(Th)432(O)m3m(Oh)3m(D3d)3(C3)3m(C3v)32(D3)43m(Td)3(S6)3232种种点点群群符符号号点对称点对称条件条件晶系晶系点群点群四个三次轴四个三次轴四个三次轴四个三次轴三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方1(E)或或1(i)2(C2)或或2(m)两个两个2(C2)或或2(m)4(C4)或或4(S43)3(C3)或或3(S65)6(C6)或或6(S35)布拉菲布拉菲点阵点阵PP,BP,C,I,FP,IPP,I,FP1(C1),1(Ci)m(C1h),2(C2),2/m(C2h)222(D2),mm2(C2v),mmm(D2h)42m(D2d)4(S4),422(D4),4/mmm(D4h),4mm(C4v),4/m(C4h),4(C4),3m(D3d)3(C3),3m(C3v),32(D3),3(S6),622(D6),6/mmm(D6h),6mm(C6v),6/m(C6h),6(C6),62(D3h)6(C3h),23(T),m3(Th),432(O),m3m(Oh)43m(Td),晶系晶系点群点群布拉菲布拉菲点阵点阵7373种种种种点式空间群点式空间群三三 斜斜单单 斜斜正正 交交四四 方方三三 方方六六 方方立立 方方PPPPPPP1,1m,2,2/m222,mm2,mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3,3m,32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23,m3,432,m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,PmmmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3,P3m1,P312,P3,P23,Pm3,P432,Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222,Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3,R3m,R32,R3,P321,P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23,Im3,I432,Im3mI43m,F23,Fm3,F432,Fm3mF43m,十七种十七种十七种十七种二维空间群二维空间群点阵点阵点群点群空间群空间群序号序号斜形斜形1p11 1对应图像对应图像p矩形矩形p,c正方形正方形p六方形六方形p2p211p4433m66mmp3p3m1p31mp6p6mm2 2p2mmp2mgp2ggc2mm2mm6 67 78 89 91010p4mmc4gm4mm1111121213131414151516161717p1m1p1g1c1m1m3 34 45 5The 17 Two-dimensional Space GroupsEquivalent positions,Symmetry,and Possible reflectionsp1p2 p2111 a 1 x,y.Origin on 1Number of positions,Wyckoff notation,and point symmetryOrigin at 22 e 1 x,y,x,y.1 d 2 1/2,1/2.1 c 2 1/2,0.1 b 2 0,1/2.1 a 2 0,0.pm p1m1pg p1g1cm c1m1,Origin on m2 c 1 x,y;x,y.1 b m 1/2,y.1 a m 0,y.Origin on m4 b 1 x,y;x,y.2 a m 0,y.,Co-ordinates of equivalent positions(0,0;1/2,1/2)+,Origin on g2 a 1 x,y;x,1/2+y.pmm p2mmpmg p2mgOrigin at 2mmOrigin at 24 i 1 x,y;x,y;x,y;x,y.2 h m ,y;,y.2 g m 0,y;0,y.2 f m x,1/2;x,1/2.2 e m x,0;x,0.1 d mm 1/2,1/2.1 c mm 1/2,0.1 b mm 0,1/2.1 a mm 0,0.,4 d 1 x,y;x,y;+x,y;-x,y.2 c m ;y;,y.2 b 2 0,;,.2 a 2 0,0;,0.pgg p2ggOrigin at 2,4 c 1 x,y;x,y;+x,-y;-x,+y.2 b 2 ,0;0,.2 a 2 0,0;,.cmm c2mmOrigin at 2mm,Co-ordinates of equivalent positions(0,0;1/2,1/2)+8 f 1 x,y;x,y;x,y;x,y.4 e m 0,y;0,y.4 d m x,0;x,0.4 c 2 ,;,.2 b mm 0,.2 a mm 0,0.p4 p4p4m p4mmOrigin at 44 d 1 x,y;x,y;y,x;y,x.2 c 2 ,0;0,.1 b 4 ,.1 a 4 0,0.Origin at 4mm,8 g 1 x,y;x,y;y,x;y,x;x,y;x,y;y,x;y,x.4 f m x,x;x,x;x,x;x,x.4 e m x,;x,;,x;,x.4 d m x,0;x,0;0,x;0,x.2 c mm ,0;0,.1 b 4mm ,.1 a 4mm 0,0.abcP4mm+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,P4bmp4g p4gmOrigin at 4,8 d 1 x,y;y,x;-x,+y;-y,-x;x,y;y,x;+x,-y;+y,+x.4 c m x,+x;x,-x;+x,x;-x,x.2 b mm ,0;0,.2 a 4 0,0;,.P4bm,Plus+,and zp3 p3Origin at 33 d 1 x,y;y,x-y;y-x,x.1 c 3 2/3,1/3.1 b 3 1/3,2/3.1 a 3 0,0.p3m1 p3m1p31m p31m,Origin at 3m1Origin at 31m6 e 1 x,y;y,x-y;y-x,x;y,x;x,x-y;y-x,y.3 d m x,x;x,2x;2x,x.1 c 3m 2/3,1/3.1 b 3m 1/3,2/3.1 a 3m 0,0.6 d 1 x,y;y,x-y;y-x,x;y,x;x,y-x;x-y,y.3 c m x,0;0,x;x,x.2 b 3 1/3,2/3;2/3,1/31 a 3m 0,0.p6 p66 d 1 x,y;y,x-y;y-x,x;x,y;y,y-x;x-y,x.3 c 2 ,0;0,;,.2 b 3 1/3,2/3;2/3,1/3.1 a 6 0,0.Origin at 6p6m p6mmOrigin at 6mm,12 f 1 x,y;y,x-y;y-x,x;y,x;x,y-x;x-y,y;x,y;y,y-x;x-y,x;y,x;x,x-y;y-x,y.6 e m x,x;x,2x;2x,x;x,x;x,2x;2x,x.6 d m x,0;0,x;x,x;x,0;0,x;x,x.3 c mm 1/2,0;0,1/2;1/2,1/2.2 b 3m 1/3,2/3;2/3,1/3.1 a 6mm 0,0.作业：作业：作下面二维空间群的俯视图（一作下面二维空间群的俯视图（一般等效位置和对称操作）：用赛兹算般等效位置和对称操作）：用赛兹算符推导；并给出位置数、符推导；并给出位置数、Wyckoff 表表示、位置对称性和等效位置：示、位置对称性和等效位置：p6,p6m,pgg,p4gP 21/n 21/m 21/aabcca