排列组合问题解法总结.doc

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排列组合问题的常见解法
一.元素相同问题隔板策略
例1.有10个运发动名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差异，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法．
注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的．
练习题：
1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法？
2.求这个方程组的自然数解的组数
二.环排问题直排策略
如果在圆周上个不同的位置编上不同的号码，那么从个不同的元素的中选取个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从个不同的元素的中选取个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一个个元素的环形排列，相当于一个有个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个个元素的环形排列对应着个直线排列，设从个元素中取出个元素组成的环形排列数为个，那么对应的直线排列数为个，又因为从个元素中取出个元素的排成一排的排列数为个，所以，所以．
即从个元素中取出个元素组成的环形排列数为．
个元素的环形排列数为
例2. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有种排法，即 种

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120　
三.多排问题直排策略
例3.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,那么共有种排法．〔排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可〕
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，
与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列
四.排列组合混合问题先选后排策略
例4.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有
练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,那么不同的选法有 192 种
五.小集团问题先整体后局部策略
例5.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？〔注：两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列〕．
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法.
练习题：
１.方案展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为
2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种
六.正难那么反总体淘汰策略
例6.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有．再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有
练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
七.平均分组问题除法策略
例7. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，假设第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),那么中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法．

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)防止重复计数。

练习题：
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？〔〕
名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的
分组方法 〔1540〕
3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安
排2名，那么不同的安排方案种数为______〔〕
八. 合理分类与分步策略
例8.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员．选上唱歌人员为标准进行研究
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有
种．

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
此题还有如下分类标准：
以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准；以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准；
以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准；都可经得到正确结果
练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，假设这4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法共有34
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. 〔27〕

九.构造模型策略
例9. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或
3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决
练习题：某排共有10个座位，假设4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？〔120〕
十.实际操作穷举策略
例10.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒,3号球只能装入4号或5号盒,共两种装法,当3号球装4号盒时，那么4,5号球只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有种 .
练习题：
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张
别人的贺年卡，那么四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,
那么不同的着色方法有 72种
十一. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取假设干个组成乘积，

所有的偶因数为：
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线.(是连成异面直线,所以包括对角线)
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共,每个四面体有
3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成对异面直线
分解与合成策略是排列组合问题的一种最根本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比拟复杂的问题都要用到这种解题策略
十二.化归策略
例12. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
解：将这个问题退化成9人排成3××3方队中选3人的方法有种．再从5×5方阵选出3××5方队中选取3行3列有选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有选法．从方阵中任取3个人时,因这三人不在同一行同一列,
所以每行必有一人,据此,从每行任了

练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成，其中实线表示马路，
从A走到B的最短路径有多少种？()
十三.数字排序问题查字典策略
例13．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个
没有重复的比324105大的数？
解:
数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计
数原理求出其总数。
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140
十四.树图策略
例14．人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过次传求后,球仍回到甲的手中,那么不同的传球方式有______
对于条件比拟复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果
二五.复杂分类问题表格策略
例15．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,那么共有多少种不同的取法
红
1
1
1
2
2
3
黄
1
2
3
1
2
1
兰
3
2
1
2
1
1
取法

解:

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比拟多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,那么分类明确,能保证题中须满足的条件,能到达好的效果.
小结
本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习稳固．排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证．同学们只有对根本的解题策略熟练掌握．根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比拟复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的根底．
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