初等数论-第三章-同余.doc

第三章 同 余
§1 同余得概念及其基本性质

同余性质在算术中得一些应用。
一、检查因数得方法
1、一整数能被3(或9)整除得充分必要条件就是它得十进位数码之与能被3(或9)整除。
证明 只需讨论正整数即可。任取,则a可以写成十进位得形式:

2、设正整数,则7(或11或13)|a得充分必要条件就是7(或11或13)|
证明 因为7×11×13=1001。
例3 a=5874192能被3与9整除。
例4 a=435693能被3整除,但不能被9整除。
例5 a=637693能被7整除;a=75312289能被13整除。
二、弃九法(验算整数计算结果得方法)
例6 设a=28997,b=39495,P=ab=1145236415,检查计算就是否正确。
解 令

则 (*)
若(*)不成立,则P≠ab,故在本题中,计算不正确。
注 (1) 若(*)不成立,则计算不正确;但否命题不成立。
(2) 利用同样得方法可以用来验证整数得加、减运算得正确性。
§2 剩余类及完全剩余系

推论 m个整数作成模m得一个完全剩余系得充分必要条件就是它们对模m两两不同余。
例如,下列序列都就是模m得完全剩余系:

§3 简化剩余系与欧拉函数

§4 欧拉定理·费马定理