高等代数1期末考试试卷.doc

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2011学年第一学期　 高等代数Ⅰ(A卷)
一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
1. 设 如果是的一阶导数的重根, 则（ ）
A. 是的重根 B. 不是的重根
C. 可能是的重根 D. 是的单根
2. 已知方阵的第1行元素分别为，，，
且知的伴随矩阵，则（ ）
A. 0 B. -1 C. 1 D. 以上答案都不对
3. 下列命题中与命题“阶方阵可逆”不等价的是（ ）
A. B.
C. 方程组有非零解 D. 的行（列）向量组线性无关
4. 设为级矩阵，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 设为5级方阵，且，是的两个不同的解向量，则
的通解为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
1. 以1－i为根的次数最低的实系数多项式是 .
2. 设均为3阶方阵，且，为的伴随矩阵, 则
.
3. 若矩阵经过初等行变换化为，那么向量组的秩为 ，它的一个极大线性无关组为 .
4. 当 时, 向量可由向量组
线性表出.
5. 若二次型是正定的，
则的取值范围为 .
1.5CM
三、判别题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“´”）
1. 每一个多项式都有唯一确定的次数. （ ）
2. 有理系数多项式没有有理根，则在有理数域上不可约. （ ）
3. n级排列中奇排列的个数为。 （ ）
4. 下列矩阵中: , , , ,

只有一个是初等矩阵. （ ）

5. 在数域P上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. （ ）
1.5CM
四、解答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
1.设 求使得

2. 计算级行列式：

3. 已知线性方程组，讨论方程组何时无解，何时有解，
并在有无穷多解时求出通解.

4．设矩阵, 矩阵满足 求

5. 作非退化线性替换把实二次型

化为实数域中的规范形.

1.5CM
五、证明题（本大题共 5 小题，共 25 分）
1．证明：如果, 那么. （（本小题5分）

2. 已知的秩为, 证明: 中任意个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组. （（本小题5分）

3. 设是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系, 证明 也是的一个基础解系. （本小题6分）

4. 设A是n级正定矩阵，B是n级半正定矩阵，证明A+B是正定矩阵.（本小题5分）

5. 已知为3级矩阵且满足，证明矩阵可逆.
（本小题4分）

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