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线性代数复习总结大全第一章 行列式 二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和 （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：行列式行列互换，其值不变。（转置行列式） 行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 行列式具有分行（列）可加性 将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式、代数余子式 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式时，有唯一解： 齐次线性方程组 ：当系数行列式时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D等于零 特殊行列式：转置行列式：对称行列式:反对称行列式: 奇数阶的反对称行列式值为零三线性行列式: 方法：用把化为零，。化为三角形行列式上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、 第二章 矩阵 矩阵的概念：（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）-交换、结合律 数乘-分配、结合律 乘法注意什么时候有意义 一般AB=BA，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置 (反序定理) 方幂： 几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB都是N阶对角阵，k是数，则kA、A+B、 AB都是n阶对角阵 数量矩阵：相当于一个数（若） 单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若） 对称矩阵 反对称矩阵 阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0 分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置 注：把分出来的小块矩阵看成是元素 逆矩阵：设A是N阶方阵，若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的， (非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵) 初等变换1、交换两行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵 倍乘阵 倍加阵） 等价标准形矩阵 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A可逆，则满秩 若A是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B） 初等变换不改变矩阵的秩 求法：1定义2转化为标准式或阶梯形 矩阵与行列式的联系与区别： 都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式 逆矩阵注：AB=BA=I则A与B一定是方阵 BA=AB=I则A与B一定互逆； 不是所有的方阵都存在逆矩阵；若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律： 1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且 2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且 3、可逆矩阵A的转置也是可逆的，且 4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且 但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但A为N阶方阵，若|A|=0，则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。 5、若A可逆，则伴随矩阵：A为N阶方阵，伴随矩阵： （代数余子式）特殊矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个矩阵都可逆） 1、分块矩阵 则 2、准对角矩阵， 则 3、 4、（A可逆） 5、 6、（A可逆） 7、 8、判断矩阵是否可逆：充要条件是，此时求逆矩阵的方法：定义法伴随矩阵法初等变换法 只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系： 设是m*n阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同等的m阶初等矩阵左乘以A：对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘以A （行变左乘，列变右乘） 第三章 线性方程组消元法 非齐次线性方程组：增广矩阵简化阶梯型矩阵 r(AB)=r(B)=r 当r=n时，有唯一解；当时，有无穷多解 r(AB)r(B)，无解 齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)n 当齐次线性方程组方程个数未知量个数，一定有非零解 当齐次线性方程组方程个数=未知量个数，有非零解充要|A|=0 齐次线性方程组若有零解，一定是无穷多个N维向量：由n个实数组成的n元有序数组。希腊字母表示（加法数乘） 特殊的向量：行（列）向量，零向量，负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系: 线性组合或线性表示 向量组间的线性相关（无）：定义向量组的秩：极大无关组（定义P188） 定理：如果是向量组的线性无关的部分组，则它是 极大无关组的充要条件是：中的每一个向量都可由线性表出。 秩:极大无关组中所含的向量个数。 定理：设A为m*n矩阵，则的充要条件是：A的列（行）秩为r。现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量，若则是线性组合 单位向量组 任意向量都是单位向量组的线性组合 零向量是任意向量组的线性组合 任意向量组中的一个都是他本身的线性组合向量组间的线性相关（无）注： n个n维单位向量组一定是线性无关 一个非零向量是线性无关，零向量是线性相关 含有零向量的向量组一定是线性相关 若两个向量成比例，则他们一定线性相关向量可由线性表示的充要条件是 判断是否为线性相关的方法：1、定义法：设，求（适合维数低的）2、 向量间关系法：部分相关则整体相关，整体无关则部分无关3、 分量法（n个m维向量组）：线性相关（充要） 线性无关（充要） 推论当m=n时，相关，则；无关，则 当mn时，线性相关推广：若向量组线性无关，则当s为奇数时，向量组 也线性无关；当s为偶数时，向量组也线性相关。 定理：如果向量组线性相关，则向量可由向量组线性表出，且 表示法唯一的充分必要条件是线性无关。极大无关组注：向量组的极大无关组不是唯一的，但他们所含向量的个数是确定的； 不全为零的向量组的极大无关组一定存在； 无关的向量组的极大无关组是其本身； 向量组与其极大无关组是等价的。齐次线性方程组（I）解的结构：解为 （I）的两个解的和仍是它的解； （I）解的任意倍数还是它的解； （I）解的线性组合也是它的解，是任意常数。非齐次线性方程组（II）解的结构：解为 （II）的两个解的差仍是它的解； 若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的一个解，则u+v是（II）的一个解。定理： 如果齐次线性方程组的系数矩阵A的秩，则该方程组的基础解系存在，且在每个基础解系中，恰含有n-r个解。 若是非齐次线性方程组AX=B的一个解，v是其导出组AX=O的全部解，则u+v是（II）的全部解。第四章 向量空间 向量的内积 实向量定义：（，）=性质：非负性、对称性、线性性 (,k)=k(,); (k,k)=(,); (+,)=(,)+(,)+(,)+(,); ,向量的长度 的充要条件是=0；是单位向量的充要条件是（，）=1单位化向量的夹角正交向量：是正交向量的充要条件是（，）=0正交的向量组必定线性无关正交矩阵：阶矩阵 性质：1、若A为正交矩阵，则可逆，且，且也是正交矩阵；、若A为正交矩阵，则；、若A、为同阶正交矩阵，则也是正交矩阵；、阶矩阵（）是正交矩阵的充要条件是的列（行）向量组是 标准正交向量；第五章 矩阵的特征值和特征向量特征值、特征向量 A是N阶方阵，若数使AX=X，即（I-A）=0有非零解，则称为A的一 个特征值，此时，非零解称为A的属于特征值的特征向量。 |A|= 注： 1、AX=X 2、求特征值、特征向量的方法 求 将代入（I-A）X=0求出所有非零解 3、对于不同的矩阵，有重根、单根、复根、实根（主要学习的） 特殊：的特征向量为任意N阶非零向量或 4、特征值： 若是A的特征值 则- 则- 则- 若=A则-=0或1 若=I则-=-1或1 若=O则-=0 迹tr(A )：迹（A）= 性质： 1、N阶方阵可逆的充要条件是A的特征值全是非零的 2、A与有相同的特征值 3、N阶方阵A的不同特征值所对应的特征向量线性无关 4、5、P281 相似矩阵定义P283：A、B是N阶矩阵，若存在可逆矩阵P，满足，则矩阵A与B 相似，记作AB性质1、自身性：AA,P=I 2、对称性：若AB则BA 3、传递性：若AB、BC则AC - - 4、若AB，则A与B同（不）可逆 5、若AB，则 两边同取逆， 6、若AB，则它们有相同的特征值。 （特征值相同的矩阵不一定相似） 7、若AB，则 初等变换不改变矩阵的秩 例子：则 A=O A=I A=矩阵对角化定理：N阶矩阵A与N阶对角形矩阵相似的充要条件是A有N个线性无关的特征向量注：1、P与中的顺序一致 2、A,则与P不是唯一的推论：若n阶方阵A有n个互异的特征值，则 （P281）定理：n阶方阵的充要条件是对于每一个重特征根，都有 注：三角形矩阵、数量矩阵的特征值为主对角线。约当形矩阵 约当块：形如的n阶矩阵称为n阶约当块； 约当形矩阵：由若干个约当块组成的对角分块矩阵（是约当块）称为约当形矩阵。定理：任何矩阵A都相似于一个约当形矩阵，即存在n阶可逆矩阵。第六章 二次型二次型与对称矩阵 只含有二次项的n元多项式f()称为一个n元二次型，简称二次型。 标准型：形如 的二次型，称为标准型。 规范型：形如 的二次型，称为规范型。线性变换矩阵的合同：设AB是n阶方阵，若存在一个n阶可逆矩阵C，使得 则称A与B是合同的，记作A B。合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换（二次型中不含有平方项） 关于：称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；线性无关；任意一个维向量都可以用线性表示. 行列式的计算： 若都是方阵（不必同阶）,则 上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积. 关于副对角线： 逆矩阵的求法: 方阵的幂的性质： 设，对阶矩阵规定：为的一个多项式. 设的列向量为,的列向量为，的列向量为, 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即： 矩阵方程的解法：设法化成 当时, 和同解（列向量个数相同）,则： 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； 它们对应的部分组有一样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 判断是的基础解系的条件： 线性无关； 是的解； . 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 向量组中任一向量都是此向量组的线性组合. 向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示. 维列向量组线性相关； 维列向量组线性无关. . 若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一. 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.向量组等价 和可以相互线性表示. 记作：矩阵等价 经过有限次初等变换化为. 记作： 矩阵与等价作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵与作为向量组等价矩阵与等价. 向量组可由向量组线性表示. 向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.向量组线性无关,且可由线性表示,则. 向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价； 任一向量组和它的极大无关组等价. 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 若是矩阵,则,若，的行向量线性无关； 若，的列向量线性无关,即：线性无关.线性方程组的矩阵式 向量式 矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：伴随矩阵的性质：线性方程组解的性质： 设为矩阵,若,则,从而一定有解. 当时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关. 是的上限. 矩阵的秩的性质： 且在矩阵乘法中有左消去律: 标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. .是单位向量 . 内积的性质： 正定性： 对称性： 双线性： 施密特 线性无关, 单位化： 正交矩阵 . 是正交矩阵的充要条件：的个行（列）向量构成的一组标准正交基. 正交矩阵的性质： ； ； 是正交阵,则（或）也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； 正交阵的行列式等于1或-1.的特征矩阵 .的特征多项式 .的特征方程 . 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素. 若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量. 若,则一定可分解为=、,从而的特征值为：, . 若的全部特征值，是多项式,则: 的全部特征值为； 当可逆时,的全部特征值为, 的全部特征值为. 与相似 （为可逆阵） 记为： 相似于对角阵的充要条件：恰有个线性无关的特征向量. 这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值. 可对角化的充要条件： 为的重数. 若阶矩阵有个互异的特征值,则与对角阵相似.与正交相似 （为正交矩阵） 相似矩阵的性质： 若均可逆 （为整数） ,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是关于的特征向量,是关于的特征向量. 从而同时可逆或不可逆 数量矩阵只与自己相似. 对称矩阵的性质： 特征值全是实数,特征向量是实向量； 与对角矩阵合同； 不同特征值的特征向量必定正交； 重特征值必定有个线性无关的特征向量； 必可用正交矩阵相似对角化（一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,重数=）.可以相似对角化 与对角阵相似. 记为： （称是的相似标准型） 若为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）. 设为对应于的线性无关的特征向量,则有：. 若, ,则：. 若,则,.二次型 为对称矩阵 与合同 . 记作： （） 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. 两个矩阵合同的充分条件是： 两个矩阵合同的必要条件是： 经过化为标准型. 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由 惟一确定的. 当标准型中的系数为1，-1或0时,则为规范形 . 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数. 任一实对称矩阵与惟一对角阵合同. 用正交变换法化二次型为标准形: 求出的特征值、特征向量； 对个特征向量单位化、正交化； 构造（正交矩阵）,； 作变换,新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值.正定二次型 不全为零，.正定矩阵 正定二次型对应的矩阵. 合同变换不改变二次型的正定性. 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）： 正惯性指数为； 的特征值全大于； 的所有顺序主子式全大于； 合同于，即存在可逆矩阵使； 存在可逆矩阵，使 （从而）； 存在正交矩阵，使 （大于）. 成为正定矩阵的必要条件： ； .