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线性代数性质定理复习

第一章 行列式
本章重点是行列式的计算，对于阶行列式的定义只需了解其大概的意思。要注重学会利用行列式的各条性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算，对于计算行列式的技巧毋需作过多的探索。

1、行列式的性质
（1）行列式与它的转置行列式相等，即。
（2）互换行列式的两行（列），行列式变号。
（3）行列式中如有两行（列）相同或成比例，则此行列式为零。
（4）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式；换句话说，若行列式的某一行（列）的各元素有公因子，则可提到行列式记号之外。
（5）把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）上，行列式的值不变。
（6）若行列式的某一行（列）的各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。

2、行列式的按行（按列）展开
（1）代数余子式：把阶行列式中元所在的第行和第列划掉后所剩的阶行列式称为元的余子式，记作；记，则称为元的代数余子式。
（2）按行（列）展开定理：
阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积之和，即可按第行展开：
也可按第列展开：

（3）行列式中任意一行（列）的各元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即；
或。
3、克拉默法则：，其中是把中第列元素用方程右端项替代后所得到的行列式。
4、常用的行列式
上（下）三角形行列式等于其主对角线上的元素的乘积；特别，（主）对角行列式等于其对角线上各元素的乘积。学会利用行列式各性质将行列式化为三角形，以方便计算。

第二章 矩阵及其运算
了解矩阵的加法、数乘、矩阵与矩阵相乘、矩阵的转置和方阵的行列式等概念。本章重点是要熟练掌握矩阵的线性运算（加法与数乘）、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵的行列式及其运算规律；掌握可逆矩阵的概念以及矩阵可逆的充要条件；理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵。

1、矩阵的运算
（1）矩阵加法满足
（a)
（b)
（2）数乘矩阵满足
（a)
（b)
（c)
（3）矩阵与矩阵相乘满足（前面矩阵的列数=后面矩阵的行数）
（a)
（b)
（c)
注意：
（a) 一般情况下，；若，则称是可交换的。
（b) 即便，可以都不是零矩阵。
（4）矩阵的转置满足
（a)
（b)
（c)
（d)
（e)
（5）方阵的幂（为正整数，）
（a) （均为正整数）。
（b) 若方阵是不可交换的，则。
（6）方阵的行列式（均为方阵）满足
（a) 。
（b)
（c)
2、逆矩阵
（1）定义：设，若有，使得（单位阵），则称矩阵是可逆的，是的逆阵，记作。
（2）方阵可逆有，使有，使。
（3）逆阵的性质
（a) 若可逆，则也可逆，且
（b) 若可逆，则也可逆，且
（c) 若可逆，，则也可逆，且
（d) 若均可逆，则也可逆，且
（4）伴随矩阵：设，的伴随阵定义为，（其中是中元的代数余子式。
伴随阵的性质：
（a)
（b) 若，则
（c) 若，则
（d)
（e)
3、克拉默法则的矩阵表示
若，则方程组有唯一解。

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
本章重点是要熟练掌握用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形的方法，并熟练掌握用矩阵初等行变换求解线性方程组的方法。理解矩阵的秩的概念，并掌握用矩阵初等变换求矩阵的秩的方法。
理解非齐次线性方程组无解、有唯一解或无穷多解的充要条件和齐次线性方程组有非零解的充要条件。
1、定义
初等行变换：；
初等列变换：；
初等变换：，即与等价，秩相等。
2、矩阵的秩
（1）矩阵的最高阶非零子式的阶数，称为矩阵的秩，记作。
（2）的最简形含个非零行的标准形。
（3）矩阵的秩的性质：
（a) 。
（b) 。
（c) 。
（d) 若可逆，则。
（e) 特别，当时，有。
（f) 。
（g) 。
（h) 若，则。
3、线性方程组理论
（1）元非齐次线性方程组有解的充要条件是，当时有唯一解；当时有无穷多解；无解的充要条件是。
（2）元齐次线性方程组有非零解的充要条件是；只有零解的充要条件是。
（3）矩阵方程有解的充要条件是。
第四章 向量组的线性相关性
在本章学习中，，要特别注意方程语言、矩阵语言、几何语言三者之间的转换，，突出的典型问题是对所作的解释：
矩阵语言：是与的乘积矩阵；
方程语言：是矩阵方程的一个解；
几何语言：向量组能由向量组线性表示，是这一表示的系数矩阵。
理解向量组线性组合以及一个向量（或向量组）能由一个向量组线性表示的概念，特别地，要熟悉这些概念和线性方程组的联系。理解向量组线性相关和线性无关的概念，并熟悉它们与齐次线性方程组的联系。理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念，会用矩阵的初等变换求向量组的最大无关组和秩。
本章的另一个重点是理解齐次线性方程组的基础解系的概念，并能熟练地求出基础解系，理解齐次与非齐次线性方程组通解的构造。
1、维向量、向量组
个有次序的数构成的有序数组称为维向量，记作

与分别称为列向量和行向量，也就是列矩阵和行矩阵。
若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组。含有有限个向量的向量组可以构成一个矩阵。

2、线性组合与线性表示
（1）向量能由向量组线性表示
方程组有解
（定理1）
（2）向量组能由向量组线性表示矩阵方程
有解
（定理2）
（3）向量组与向量组等价（能相互线性表示）
（4）若向量组能由向量组线性表示，则。 （定理3）

3、线性相关与线性无关
向量组线性相关
齐次线性方程组
有非零解
（定理4）
向量组线性相关的充要条件是存在某个向量，它能由其它个向量线性表示。
4、向量组线性相关性的重要结论
（1）向量组线性相关，则向量组也线性相关。（定理5-1）
（2）个维向量组成的向量组，当，即个数大于维数时一定线性相关。（定理5-2）
（3）设向量组线性无关，而向量组线性相关，，则向量必能由向量组线性表示，且表示式是唯一的。（定理5-3）

5、向量组的最大无关组与向量组的秩
（1）定义：如果在向量组中能选出个向量，满足
（a) 向量组线性无关；
（b) 向量组中任意个向量都线性相关，那么称向量组是向量组的一个最大无关组；最大无关组所含向量个数称为向量组的秩，记作。只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0。
（c) 上述条件（b）可改为：向量组中任一向量都能由向量组线性表示。
（2）只含有限个向量的向量组构成矩阵，矩阵的秩等于向量组的秩，即。 （定理6）

6、齐次线性方程组的基础解系与通解
设元齐次线性方程组的解集为，则；解集的一个最大无关组称为齐次线性方程组的基础解系，其中含个解向量。设为齐次线性方程组的基础解系，则其通解为
7、非齐次线性方程组的通解
设非齐次线性方程组的一个解为，对应的齐次线性方程组的基础解系为，则非齐次方程组的通解为。
8、向量空间
（1）设是维向量的集合，如果非空，且对向量的线性运算封闭，那么就称为向量空间。
向量空间的最大无关组称为的基，向量空间的秩称为的维，若，则称为维向量空间。
设维向量空间的一个基为，则任一向量，总有唯一的一组有序数，使，有序数组就称为向量在基下的坐标。
（2）给定维向量组，集合

是一个向量空间，称为由向量组所生成的向量空间。
向量组与向量组等价，则由它们所生成的向量空间相等。
第五章 相似矩阵及二次型
本章的重点特征值与特征向量的计算与矩阵的对角化，特别是对称矩阵的对角化。而求得正交矩阵，使，既是相似，又是合同。学好本章的关键是掌握对称矩阵正交相似对角化的原理和步骤，其它概念如向量的内积、正交、施密特正交化方法、正交矩阵、特征值和特征向量等都围绕正交相似对角化这一中心议题。要熟练地掌握特征值和特征向量的求法以及它们和正交矩阵的关系。
1、 向量的内积、长度及正交性
（1）设有n维向量
则 被称为向量与的内积。
（2）非负实数 被称为向量的长度（或范数）。当时，称为单位向量。。
（3）当时，称向量与正交。零向量与任何向量都正交。
2、正交向量组：
一组两两正交的非零向量称为正交向量组。正交向量组一定线性无关。
给定一个线性无关的向量组，寻求一个与等价的正交向量组，称为把向量组正交化。
施密特正交化过程：设向量组：线性无关，令
；
；
……

则向量组两两正交，且与组等价。
设n维向量是向量空间（）的一个基，如果两两正交，且都是单位向量，则称为的一个规范正交基。
3、正交矩阵
如果n阶矩阵满足 ，则称为正交矩阵，简称正交阵。
（1）；
（2）可逆，且；
（3）的行（列）向量组两两正交，且都是单位向量。
4、特征值与特征向量
（1）设是阶矩阵, 若有数和n维非零向量使关系式，则称为方阵的特征值, 非零向量称为的对应于特征值的特征向量。
（2）的次多项式 称为阶矩阵的特征多项式，称为矩阵的特征方程，特征方程的根就是的特征值。在复数范围内恒有解，阶矩阵有个特征值（重根按重数计算）。
设方阵的特征值为，则有
1）；
2）
3）若是方阵的特征值，则是的特征值；是矩阵多项式的特征值（其中；）。
（3）设是方阵的一个特征值，则齐次方程的全部非零解就是方阵对应于特征值的全部特征向量，而该齐次方程的基础解系就是对应于特征值的全体特征向量的最大无关组。
（4）设是方阵的个特征值，对应的特征向量依次为，如果各不相等，则线性无关。
5、相似矩阵
（1） 对于阶矩阵和, 若有可逆矩阵，使得,则称与相似,把化成的运算，称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵。
若矩阵与相似，则与的特征多项式相同，从而有相同的特征值。
（2） 若矩阵与对角阵相似（此时，称矩阵能相似对角化），即若有可逆矩阵，使得,则
1）是的个特征值；
2）的第个列向量是的对应于的特征向量；
3）矩阵能相似对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。
6、对称矩阵的对角化
（1）对称矩阵的性质
1) 对称矩阵的特征值都是实数；
2) 对应不同特征值的特征向量正交；
3) 给定对称阵，存在正交阵，使。
（2）对称阵对角化的步骤
1) 求出的全部互不相等的特征值，它们的重数依次为。
2) 对每个重特征值，求方程的基础解系，得个线性无关的特征向量。再把它们规范正交化，得个两两正交的单位特征向量。因，故总共得到个两两正交的单位特征向量。
3) 把这个两两正交的单位特征向量构成正交阵，便有。
7、二次型化标准形

（1）二次齐次函数

称为二次型。
令,，把二次型记作，对称矩阵称为二次型的矩阵, 并规定二次型的秩为矩阵的秩。
（2）二次型研究的主要问题是：寻求可逆变换,
使
这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（法式）。
当时，则称上式为二次型的规范形。
（3）对于阶矩阵和, 若有可逆矩阵使得,则称矩阵与合同。把化为的变换称为合同变换。
对二次型作可逆变换，相当于对对称矩阵作合同变换，把二次型化成标准形相当于把对称矩阵用合同变换化为对角阵（称为把对称矩阵合同对角化），即寻求可逆矩阵，使。
（4）给定二次型，存在正交变换，使

其中为对称矩阵的个特征值。
（5）配方法是化二次型为标准形（规范形）的一种较为方便的方法。

8、惯性定理、正定二次型
（1）惯性定理：设二次型的标准形为
则系数中正数的个数是确定的，而且上式里项数（等于的秩）也是确定的。
在二次型的标准形中，正项个数称为的正惯性指数；负项个数称为的负惯性指数。若二次型的秩为，正惯性指数为，则的规范形为

（2）如果, 则称二次型为正（负）定的, 并称的矩阵是正（负）定的，记作。
正定的正惯性指数
的个特征值全为正
的各阶主子式全为正
的规范形为
合同于单位阵
，可逆。