圆锥曲线复习提纲与重要题型.doc

圆锥曲线复习提纲
一、知识归纳：
名 称
椭圆
双曲线

图 象

定 义

平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即
当2﹥2时，轨迹是椭圆，
当2＝2时，轨迹是一条线段
当2﹤2时，轨迹不存在
平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线. 即
当2﹤2时，轨迹是双曲线
当2＝2时，轨迹是两条射线
当2﹥2时，轨迹不存在
标准方 程
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上
焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
常数的关 系
，，
最大，
，
最大，
渐近线

焦点在轴上时：
焦点在轴上时：
1.椭圆的性质：椭圆方程
（1）范围：，椭圆落在组成的矩形中。
（2）对称性：图象关于y轴对称，图象关于x轴对称，图象关于原点对称。
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
椭圆共有四个顶点：，。
叫椭圆的长轴，长为2a，叫椭圆的短轴，长为2b。
（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。。（）可以刻画椭圆的扁平程度，越大，椭圆越扁，越小，椭圆越圆.
(5)点是椭圆上任一点，是椭圆的一个焦点，则，.
(6)点是椭圆上任一点，当点在短轴端点位置时，取最大值.
(7)椭圆的第二定义：当平面内点到一个定点的距离和它到一条定直线：的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.
2、点与椭圆位置关系
点与椭圆位置关系：（1）点在椭圆内 （2）点在椭圆上 （3）点在椭圆外
3、直线与椭圆位置关系
（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法
位置关系
公共点
判定方法
相交
有两个公共点

直线与椭圆方程首先应消去一个未知数得一元二次方程的根的判别式
相切
有且只有一个公共点

相离
无公共点

（2）弦长公式：设直线交椭圆于
则，或
4、双曲线的几何性质：
（1）顶点
顶点：，特殊点：
实轴：长为2a，a叫做实半轴长。虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长。
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。
（2）渐近线
双曲线的渐近线（）
（3）离心率
双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：e>1
（4）等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
等轴双曲线的性质：a、渐近线方程为：；
b、渐近线互相垂直；
c、离心率。
（5）共渐近线的双曲线系：如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程写成。
（6）共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。
（7）.直线与双曲线位置关系同椭圆. 特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.

抛物线：
图象

方程

焦点

准线

抛物线的几何性质
（1）顶点：抛物线的顶点就是坐标原点。
（2）离心率： 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e＝1。
（3）的几何意义：表示焦点到准线的距离. 表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.
（4）若点是抛物线上任意一点，则.
(5)若过焦点的直线交抛物线于、两点，则弦长
二．重点题型
1.圆锥曲线的定义：
（1）已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 （ ）
A． B．
C． D．
（2）方程表示的曲线是_____
（3）已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）已知方程表示椭圆，则的取值范围为____
（2）若，且，则的最大值是____，的最小值是
（3）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______
（4）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______
3.圆锥曲线的几何性质：
（1）若椭圆的离心率，则的值是_ _
（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__
（3）双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率等于______
（4）双曲线的离心率为，则=
（5）设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________
（6）设，则抛物线的焦点坐标为________
4．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是_______
（2）直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_______
（3）过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有_____条
（4）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有______
（5）过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______
（6）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，若4，则满足条件的直线有___ _条
（7）对于抛物线C：，我们称满足的点在抛物线的内部，若点在抛物线的内部，则直线：与抛物线C的位置关系是______
（8）过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则_______
（9）设双曲线的右焦点为，右准线为，设某直线交其左支、右支和右准线分别于，则和的大小关系为___________
（10）求椭圆上的点到直线的最短距离
（11）直线与双曲线交于、两点。①当为何值时，、分别在双曲线的两支上？②当为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？
5、焦半径
（1）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于____；
（2）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为_____
（3）抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为______
6、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。
（1）短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________
（2）设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为
（3）椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当·<0时，点P的横坐标的取值范围是
（4）双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且是与等差中项，则＝__________
（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程
7、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质、弦长公式：
（1）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_______
（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点，已知|AB|=10，O为坐标原点，则ΔABC重心的横坐标为_______
8、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是
（2）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称
9．动点轨迹方程：
（1）(待定系数法)线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为
（2）（直接法）已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．
（3）（定义法）由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为
（4）点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______
(5) 一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为
（6）（参数法）动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________
（7）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是____
（8）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是________

参考答案：
1.圆锥曲线的定义：
(1)C (2) 双曲线的左支 (3) 2
2.圆锥曲线的标准方程
(1) ） (2) (3) (4)
3.圆锥曲线的几何性质：
(1) 3或 (2) (3) 或）； (4) 4或 (5) (6)
4．直线与圆锥曲线的位置关系：
(1) (-,-1) (2) [1，5）∪（5，+∞）(3) 3 (4) 2 (5) (6) 3
(7) 相离 (8) 1 (9) 等于 (10) （11）①；②）
5．焦半径
（1）7（2）（3）2
6．焦点三角形
（1）6 （2） （3） （4） （5）
7、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质、弦长公式：
（1）8 （2）3
8．圆锥曲线的中点弦问题
（1） （2）
9．动点轨迹方程：
(1) （2）或 (3) (4) (5) 双曲线的一支 (6) (7) (8)

离心率的求法
椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率．
一、直接求出、，求解
已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解决。
例1已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A B C D
.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A
二、构造、的齐次式，解出
根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。
例2：已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. 　　B. 　　C. 　　D.
解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式，
即，得，解得
（舍去），故选D
变式练习1：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，又, ∴,两边平方，得，整理得，得或，又 ，∴，∴，∴，故选A
变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为（ ）

A B C D
解：在中， 由余弦定理，得,
即，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，故选B
三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解
例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
解：
变式设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为（ ）
A B C D .若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B。
四、构建关于的不等式，求的取值范围
例4： 已知双曲线（）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A B C D
解：双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e2=，∴ e≥2，选C